=F,即F闭;对Vx0∈[」Fn=F,彐i0满足xo∈Fi0,对ε>0,彐d nind(x0,F)=min{d(x0,F-1),d(x0,F+1)}>0,当x∈E∩N(x0,d)时,有 f(x)-f(x0)|<e,故f在F=UFn上连续。)证毕 定理4.3.7(鲁津定理的第二形式)若f是直线上的可测子集E上的几乎 处处有限的可测函数,则对V8>0,3g∈C(-∞,+∞)使得mE[f≠g]<8 且|g(x)|≤sup{|f(x)||x∈E} 证明由定理4.3.6知:对V8>0,彐闭集F∈E,且m(E-F6)<δ,f 在Fδ上连续。作g满足在闭集Fδ保持与f一致,在CFδ上补充定义使其连续。 注意:CF6是开集, 设CF。=U(a,b) f(x)x∈F, f(b)x∈(-ab) a)x∈(a,+∞) ,证毕 f(a)+ f(b)-f(a1) (x-a,)a,b,有限 其实,以上两定理结果也是可测函数的本质特征,即具有上述结果的函数 定是可测函数,证明留作习题。 可测函数可以表成简单函数的极限这一本质特征,为通过 Lebesgue大、小 和定义积分的传统方法提供了思路和理论保证。可测函数的正、负部函数下方图 形皆可测这一本质特征为本教材直接利用正、负部函数下方图形测度之差定义积 分奠定了基础。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示 我们:尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多,但通过牛顿——莱布尼兹 公式计算积分仍为主渠道＝F，即 F 闭；对∀ x 0∈U ∞ n=1 F n ＝F，ョ i 0 满足 x 0∈Fi 0，对∀ ε＞0 ，ョ d ＝ 0 min i≠i d(x 0 ,F i )＝min｛d(x 0，F 1 i0 − ),d(x 0 ,F 1 i0 + )｝＞0，当 x∈E∩N(x 0 ,d)时， 有｜ f(x)－f(x 0 )｜＜ε，故 f 在 F＝U ∞ n=1 F n 上连续。) 证毕 定理４.3.７ (鲁津定理的第二形式)若 f是直线上的可测子集 E上的几乎 处处有限的可测函数，则对∀ δ＞0，ョ g∈C(-∞,+∞)使得 mE[f≠g]＜δ， 且|g(x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝ 证明 由定理４.3.６知：对∀ δ＞0，ョ闭集 Fδ ⊂ E，且 m(E-F δ )＜δ，f 在 F δ 上连续。作 g 满足在闭集 Fδ 保持与 f 一致，在 CFδ 上补充定义使其连续。 注意：CFδ 是开集， 设 CFδ ＝U i∈I (a i ,b i ) （I ≤a） 令 g(x)＝ ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( )( )          − − − + ∈ +∞ ∈ − ∞ ∈ i i i有限 i i i i i j j k k x a a b b a f b f a f a f a x a f b x b f x x F , , , , , , , , , , δ ，证毕 其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一 定是可测函数，证明留作习题。 可测函数可以表成简单函数的极限这一本质特征，为通过 Lebesgue 大、小 和定义积分的传统方法提供了思路和理论保证。可测函数的正、负部函数下方图 形皆可测这一本质特征为本教材直接利用正、负部函数下方图形测度之差定义积 分奠定了基础。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示 我们：尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹 公式计算积分仍为主渠道