2.若f为E上的一般可测函数,则存在E上的简单函数列{φ}满足 φ,→f(不妨中,按定理4.3.1方法所构造) a)若m<+∞,因E[lf=+∞]=∩Ef≥n,由内极限定理知, 对v8>0,3N满足mE[f≥N<,而中。一数→f于E[N 由1知,对6>0及n,闭集 F CElf(NI,m(E<M-5人、。x n=1,2,3,,中在F上连续,从而所有φ在闭集F=∩Fn上连续,且 n(EF)≤m(E-E[<N+m(<N]-F)≤2+mE-∩F) 2+0+,)<2+22m=6,又因为中,一于F,故 f在F上连续 b)若mE=+∞,则令In={(x1,x2,…,x9)||xk|<nk=1,2,,q En=(In-I-)∩E,显然皿n<+,E=∪En,由a)知闭集FncE,满 足mEnF)<,f在F,上连续,令F=UF,则m(E-<∑mEnF,) ≤∑ 278。由于此处F的特殊性,可以得到两个在一般情况下并不一定具 备的特殊性质:①F=UFn闭②f在F上连续。(事实上,x"∈F,x"-→x0 时,x”一定有界,即3M>0,x∈UFn,而UF,闭,所以x∈UF,=∪Pn2.若f为E 上的一般可测函数，则存在 E 上的简单函数列{φn }满足 φn →f(不妨 φn 按定理４.3.１方法所构造) a) 若 mE＜＋∞，因 E[|f|＝＋∞]＝I ∞ n=1 E[|f|≥n]，由内极限定理知， 对∀ δ＞0,ョ N 满足 mE[f≥N]＜ 2 δ ，而 φn 一致→ f 于 E[f<N] 由 1 知，对∀δ＞0 及 n，ョ闭集 F n ⊂ E[f<N]， m ( [ ] ) N Fn E f < − ＜ 1 2i+ δ ， n=1,2,3,...，φn 在 F n 上连续，从而所有 φn 在闭集 F＝I ∞ n=1 F n 上连续，且 m(E-F)≤m ( ) E − E[f < N] ＋m ( ) E[f < N]− F ≤ 2 δ ＋m(E[f<N]- I ∞ n=1 F n ) ＜ 2 δ ＋mU ∞ n=1 (E[f<N] -F n )＜ 2 δ ＋∑ ∞ n=1 1 2i+ δ ＝δ，又因为 φn 一致→ f 于 F，故 f 在 F 上连续。 b) 若 mE＝＋∞，则令 I n ＝｛(x1 ,x 2 ,...,x q )｜|x k |＜n k=1,2,...,q｝ E n ＝(I n －I n−1 )∩E，显然 mE n ＜＋∞，E＝U ∞ n=1 E n ，由 a)知ョ闭集 F n ⊂ E n 满 足 m(E n -F n )＜ 2 δ ，f 在 F n 上连续，令 F＝U ∞ n=1 F n ，则 m(E－F)＜∑ ∞ n=1 m(E n -F n ) ＜∑ ∞ n=1 n 2 δ ＝δ。由于此处 F n 的特殊性，可以得到两个在一般情况下并不一定具 备的特殊性质：①F＝U ∞ n=1 F n 闭 ②f 在 F 上连续。(事实上， x n ∈F，x n --→x 0 时，x n 一定有界，即ョ M＞0，x n ∈U M n=1 F n ，而U M n=1 F n 闭，所以 x 0∈U M n=1 F n ⊂ U ∞ n=1 F n