第7章群、环和域 (1)(a1)1=a (2)a*b有逆元，且(a*b)1=b1*a1 证明：(I)因a*al=al*a=e,故(awl)l=a (2)因(a*b)*(b1*arl)=(a*(b*b1)*a1 =a*e*al=a*al=e 又 (b1*ar1)*(a*b)=(b1*a1)*(a*b) =b1*(am1*a)*b=b1*e*b=b-1*b=e 故 (a*b)-1=b-1*a1 定义7.1.4设<G,>是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则侧称半群<G,>为由a所生成的循环 半群，而a称为半群<G,>的生成元素，并记(a。 定理7.1.6一个循环半群一定是可换半群。第7章 群、环和域 ⑴ (a –1 ) –1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b) –1=b–1*a –1 证明：⑴ 因a*a –1=a–1*a=e，故(a –1 ) –1=a ⑵ 因(a*b)*(b –1* a –1 )=(a*(b*b –1 )*a –1 =a*e*a –1=a*a –1=e 又 (b –1* a –1 )*(a*b)=(b –1*a –1 )*(a*b) =b–1*(a –1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e 故 (a*b) –1=b–1*a –1 定义7.1.4 设<G,*>是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则称半群<G,*>为由a所生成的循环 半群，而a称为半群<G,*>的生成元素，并记(a)。 定理7.1.6 一个循环半群一定是可换半群