证这里仅对lim A为有限数时来证明。 g'(x) 先证明imf(x)=limg(x)=0的情况。 X→a+ x→a+ 补充定义f(a)=g(a)=0,则f(x)和g(x)在[a+d]上连续,在 a,a+d]上满足 Cauchy中值定理的条件,因而对于任意x∈(a,a+d),存 在ξ∈(a,a+d),满足 f(x)f(x)-f(a) f(s g(x)g(x)-gla g5 当x→a+时显然有ξ→a+。两端令x→a+,即有 (x)_1f(5 x→a+g(x)5ag(5)x+g(° Im证 这里仅对 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = A为有限数时来证明。 先证明 lim ( ) lim ( ) x a x a f x gx → + → + = = 0 的情况。 补充定义 = agaf = 0)()( ，则 xf )( 和 xg )( 在[ , + daa ]上连续，在 [ ] , + daa 上满足Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 ∈ + daax ),( ,存 在 ξ ∈ + daa ),( ，满足 () () () () () () () () fx fx fa f gx gx ga g ξ ξ − ′ = = − ′ 。 当 x → + a 时显然有 ξ → +a 。两端令 x → + a ，即有 )( )( lim )( )( lim )( )( lim xg xf g f xg xf ax a ax ′ ′ = ′ ′ = +→ +→ ξ +→ ξ ξ