现设z∈K,且z⊥D(A*),则{z,0}⊥9(A·).故由(112)知 {z,0}∈w(-A),从而z=-A0=0.这表明D(A*)在K中稠.对 A*及-A应用(1.12)得 H⊕K=)(-A")由9(A-), KH=w(4)⊕9(-A· (1.14) 但(1.14)等价于H⊕K的如下正交分解: H⊕K=g(A)曲W(-A (1.15) 比较(113)及(115)得9(A)=9(4),即有A=A (3)设A可闭,A是A的闭包,则A>A,由共轭算子定义 知A·→A*.特别D(A-)→D(A*),故由(2)知A·是稠定的.对 A应用(1)得 K⊕H=v(A)g(A) 上式等价于 H⊕K=9(4)M(-A^) (1.17 比较(1.13)及(117)知9(A)=9(A),即A*为A的闭包 反之,设A*稠定,往证A可闭.由于A*为闭算子,(1.13) 仍成立.另一方面恒有(117),故得g(A)=9(A),这表明A是 可闭的 定理16设A∈L(H)且对称,则有下述结论: (1)A可闭,A为A的闭包,A对称; (2)若D(A)=H,则A为有界自共轭算子; (3)若A自共轭且可逆,则R(A)在H中稠且A-1自共轭; (4若R(A)在H中稠,则A可逆 (5)若R(A)=H,则A自共轭且A1为有界自共轭算子 证明(1)由于A*A,故A·稠定,从而由定理15(3)知A 可闭,且A*为A的闭包.此外,由于ACA,故A*+cA* 从而A对称