证明设R(P)=M(P),且P2=P.则Vax,y∈H,a-Px∈ M(P),y-Py∈N(P),故有 (Pa, y)=(P, Py+(y-Py))=(Pa, Py) (Pt +(a- Pr), Py)=(=, Py) 这表明P是对称的,从而依定义P是投影算子.反之,设P是 投影算子,则 x∈N(P)→y∈H,(x,Py)=(Px,y)=0 →c⊥R(P), 即有N(P)=R(P).又由P2=P推知R(P)=M(I-P),从而 欠(P)为H的闭子空间.因此有R(P)=R(P)=M(P).■ 12可闭算子、对称算子与自共轭算子 定理15设A∈L(H,K)为稠定的,则 (1)A·为闭的,且9(A")=W(-A); (2)若A为闭的,则A*稠定,且A*=A; 3)当且仅当A稠定时A可闭.这时A为A的闭包 证明(1)设y∈K,z∈H,则有 {y,z∈9(A}→y∈D(A"),z=A“g →(2,x)=(y,Ax),m∈D(A →({3,2},{-Ax,x})=0,v∈D(A) 这表明9(A)=w(-A).特别9(A)为K⊕H的闭子空间,即 A·为闭算子 2)由于-A为闭算子,故g(-A)是H⊕K的闭子空间,从 而w(-A)是K田H的闭子空间.由(1)知KH有如下正交分 解: K⊕H=Wv(-A⊕9(A°) (112)