即有‖Ax|2<a2|x2,从而‖A≤a.但相反的不等式恒成立,故 (1.6)得证 设A∈L(H,K),B∈L(K,E).B与A的乘积定义如下 D(BA)={x∈D(A):Ax∈D(B)}, (BA)x=B(Aa),c∈D(BA) 于是BA∈L(H,E) 引理13设A∈L(H,K),B∈L(K,E).如果A,B及BA都 是稠定的,则 A·B·c(BA) (1.10) 若进一步B是有界算子,则 A"B·=(BA) (1.11) 证明(1.10)可以从共轭算子定义出发直接验证.为证{11) 只需证(BA)°CA·B*.设B∈C(K,E),由于D(A)=D(BA) D(B*)=E,故对任一y∈D(BA)*),有 (A, B"y)=((BA)a, y)=(a, (BA)y), Va E D(A) 这表明B"y∈D(A)(从而y∈D(AB))且有A·B"y=(BA)’y, 于是(BA)cAB.(1.11)得证 设M为H的一个闭子空间,M为M在H中的正交补, 则对任给x∈H,x有如下唯一分解: 十z 其中y∈M,z∈M4.我们用Pa表示y,称Px为x到M上的投 影.显然P为H上的有界对称线性算子,且是冪等的,即P=P 我们称幂等的有界对称线性算子为投影算子 下一引理给出了投影算子的一个刻画 引理14设P∈C(F).则当且仅当R(P)=M(P)且 P2=P时P为投影算子