7、(07,4分)二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y+3y=2产的通解y= 求函数y=x)的极值 8、(08,4分)微分方程(y+xe)-xd=0的通解为y=_ 8、(9.7分)求初值问题 +F+了]本-迹=0(x>0)的解 9、(10,4分)3阶常系数线性齐次微分方程y”-2y”+y-2y=0的通解为y= yl=0 10、(11,4分)微分方程y+y=ec0sx满足条件0)=0的解为y= 9、(明.8分)设函数x(x≥0)二阶可导，且y(x)>0,(0)=1,过曲线 三、计算题 y=x)上任一点P八x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所 I、(95,8分)设y=e是微分方程灯+p叫xy=x的一个解，求此微分方程两足条件 围成的三角形的面积记为S,区间0，x]上以y=(x)为曲边的曲边梯形面积记 y儿-h2=0的特解 为S2,并设2S-S恒为1，求此曲线y=yx)的方程 2.(97,5分)求微分方程(3r2+2y-y2)d+(x2-2y)d=0的通解。 10(00,7分)某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物4的污水量为广/6， 3.(97,8分)设曲线L的极坐标方程为r=r(0),M(r,为L上任一点，Mo(2,0)为 流入湖泊内不含A的水量为V16,流出湖泊的水量为V13.己知199年底湖 L上一定点.若极径OM。,OM与画线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M。,M 中A的含量为5m。,超过国家规定标准，为了治理污染，从2000年初胞，限定 两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。 排入湖泊中含污水A的浓度不超过m,少.问至多需经过多少年，湖泊中污染 4、(97,5分)已知片=xe+e产，乃=xe+e”,片=xe+e2”-e是某二阶线性非 物A的含量降至以内？（注：设湖水中A的浓度是均匀的.） 齐次微分方程的三个解，求此微分方程 1、(00.8分)函数f(x)在0，+∞)上可导，f0)=1.且满足 手(os,5分)利用代炭=将方程y/cos-2sm+3cos=d化筒，并 求出原方程的通解， fewe-本厂od=0 6、(98,6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉速度 (1)求导数f'(x):(2)证明：当x≥0时，成立不等式e≤f(x)≤1. y(从海平面算起)与下沉速废之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平 面由静止开始铅直下沉。在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用。设仪器的质量为 12、(01,7分)设函数f(x).g(x)满足f'(x)=gx,g'(x)=2e-f(x),且 m,体积为B,海水比重为P,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为片 0=,80=2.+0+ (x)f(x) (k>0.).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=w). 7、(98,8分)设y=x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为 十了产·且此线上点@处的切线方程为y=+1,求该线的方程.并 13、(0L,7分)一个半球体状得雪堆，其体积融化的速幸与半球面面积S成正比，比 第2页共4页第 页 共 页 2 4 32 x 7、（07，4 分）二阶常系数非齐次线性微分方程 y¢¢- +y ye ¢ = 的通解 y = 8、（08，4 分）微分方程  0 的通解为 2 x e xdy  ( ) y x  dx  y = 9、（10，4 分）3 阶常系数线性齐次微分方程 y yy y ¢¢¢ ¢¢ ¢ - +- = 2 2 0 的通解为 y = 10、（11，4 分）微分方程 co x y y e s     x 满足条件 y(0) 0  的解为 y = . 三、计算题 1、（95，8 分）设 x y = e 是微分方程 xy pxy ¢+ ( ) ln 2 |x= = 2 ) ( 2 ) 0 dx x xy dy +- = = x 的一个解，求此微分方程满足条件 y 0的特解. 2、（97，5 分）求微分方程 的通解。 2 2 (3 2 x xy y + - 3、(97，8 分)设曲线 L 的极坐标方程为 ， r r = (q) M ( ,r q) 为 L 上任一点， 为 0 M (2,0) L 上一定点.若极径OM0 ， 与曲线 OM L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0 ， M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程. 4、（97, 5 分）已知 2 2 1 2 , , 3 x x x - y xe e y xe e =+ =+ x xx y xe e e- = +- x 是某二阶线性非 齐次微分方程的三个解，求此微分方程 5、（98，5 分）利用代换 cos y u x = 将方程 cos 2 sin 3 cos x y¢¢ ¢ xy xyx - + y v m = e 化简，并 求出原方程的通解。 6、（98, 6 分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉速度 （从海平面算起）与下沉速度 之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平 面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用。设仪器的质量为 ，体积为 B ，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 r k k > y v y f = ( ) （ 0.）.试建立 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 ( ) v . 7、（98，8 分）设 y = y x 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(, ) x y 处的曲率为 2 1 1+ y¢ y x = +1 y yx = ( ) ，且此曲线上点 处的切线方程为 ，求该曲线的方程，并 求函数 的极值. (0,1) 8、（99，7 分）求初值问题 ( ) 2 2 1 0 ( 0) | 0 x y x y dx xdy x y = ìïï + + -= > ïíïïïî = y x( )( 0) x ³ yx y ¢( ) 0, (0) 1 > Pxy (, ) 的解 9、（99, 8 分）设函数 二阶可导，且 = .过曲线 y yx = ( ) 上任一点 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所 围成的三角形的面积记为 ，区间 1 S [0, ] x 上以 ) 为曲边的曲边梯形面积记 为 ，并设 2 恒为 1，求此曲线 的方程. y yx = ( 1 -S y yx = ( ) V A V / 6 2 S 2S 10（00，7 分）某湖泊的水量为 ，每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 ， 流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 。已知 1999 年底湖 中 V / 6 V / 3 A 的含量为 5 ，超过国家规定标准，为了治理污染，从 2000 年初起，限定 排入湖泊中含污水 的浓度不超过 。问至多需经过多少年，湖泊中污染 物 0 A 0 m V/ m A 的含量降至 以内?(注：设湖水中 A 的浓度是均匀的.) m0 11、（00，8 分）函数 f ( ) x 在 上可导， ，且满足 [0, ) +¥ f (0) 1 = 0 1 ( ) ( ) () 0 1 + x f x f x f t dt x ¢ - = + ò ( ) ， ¢ x x ³ 0 () 1. x e fx - £ £ ( ), ( ) （1）求导数 f ；（2）证明：当 时，成立不等式 x gx ( ) ( ), ( ) 2 ( ) x 12、（01,7 分）设函数 f 满足 f ¢ ¢ x gx g x e f x = =- 0) 2 ，且 f g (0) 0, ( = = ，求 ( )2 0 () () 1 1 gx f x dx x x p é ù ê - ú ê ú ê + + ú ë û ò 13、（01,7 分）一个半球体状得雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比 2 4