例常数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为的雪堆在 张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量9000g的飞机， 开始限化的3小时内，原化了其体积的。 问雪堆全部融化需要多少小时？ 着陆时的水平速度为700m/h,经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞 机的速度成正比（比例系数k=6.0×10°）.问从着隔点算起，飞机滑行的最大 14、(01,9分)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,yx>0)到坐标原点的距 距离大概是多少（注：g表示千克，km/h表示千米/小时） 高相等于孩点的时线在y鞋上的更，且上过传小 19、(05,12分)用变量代换x=c0st(0<t<T)化简微分方程 (1)试求曲线L的方程 -x2)y”-+y=0,并求其满足yl-0=1yL-。=2的特解. (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小 20、(07.10分)求微分方程y"(x+y2)=y满足初始条件)=y)=1的特解 15、(02,7分)求微分方程x+(x-2y)k=0的一个解y=x),使得由曲线y=x) 21、(08,11分)设f(x)是区间0，十)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1, 与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小 对任意的1∈0，十o),直线x=0,x=1,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边 16、@3,12分没位于第一象限的黄线y=过高5别 22 其上任一点Px,y)处的法 梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数f(x)的表达式. 线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分 x=x(t) (1)求曲线y=f(x)的方程 22、(08,10分)设函数y=(x)由参数方程 y=。nl+mdh 确定，其中x)是 (2)己知曲线y=sinx在0，]上的弧长为I,试用I表示曲线y=f(x)的弧长s dx 17、(03,10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=(y)(y之0)绕y轴旋转而成的 初值问题山 2e=0的解.求月 dx xo=0 旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m,根据设计要求，当以3m3/mi的速幸向容 23、(09.10分)设非负函数y=x)(x≥0)满足微分方程”-y+2=0,当曲 器内注入液体时，液面的面积将以可m之/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容 器内无液体)· 线y=y(x)过原点时，其与直线x=L,y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕 (1)根据t时刻液面的面积，写出1与(y)之间的关系式 y轴旋转所得旋转体的体积 (2)求曲线x=(y)的方程 24.（09.12分》设y=国是区同(-，)内过万万的光潘面线.当 (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分) -开<x<0时，曲线上任一点处的法线都过原点：当0≤x<时，函数(x)满足 18、(04,11分)某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地辑间，飞机尾部 第3页共4页 第 页 共 页 k > 0. 0 例常数 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 的雪堆在 r 开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 7 8 L Pxy x ( , )( 0) > y L ，问雪堆全部融化需要多少小时？ 14、（01，9 分）设 是一条平面曲线，其上任意一点 到坐标原点的距 离，恒等于该点处的切线在 轴上的截距，且 经过点 1 ,0 2æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø， （1）试求曲线 L 的方程 （2）求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小 15、（02,7 分）求微分方程 xdy x x +- = ( 2y d) 0 的一个解 y = y x( ) ，使得由曲线 y = y x( ) 与直线 x x =1, 2 = 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积最小. 16、(03, 12 分)设位于第一象限的曲线 y = f x( ) 过点 2 1, 2 2 æ ö ç ÷÷÷÷÷ çççè ø，其上任一点 处的法 P x( , y) 线与 y 轴的交点为 ，且线段 被 Q PQ x 轴平分 （1）求曲线 y = f x( ) sin 的方程 （2）已知曲线 y = x [0, l y f = ( s x yy =j( )( 0 在 上的弧长为 ，试用 表示曲线 p] l x) 的弧长 17、（03,10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 ³ ) 绕 y 轴旋转而成的 旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 ，根据设计要求，当以 m n 的速率向容 3 3 / mi m 2 pm / min t t ( 器内注入液体时，液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容 器内无液体）. (1)根据 时刻液面的面积，写出 与j y) ( ) 之间的关系式 (2)求曲线 x =j y m 9000kg 700 / km h 6 k = ´ 6.0 10 kg km h/ x tt = << cos (0 ) p 2 - - += x y xy y ) ¢¢ ¢ 0, 0 | 1, | x x y y = = = ¢ 2 ( ) 的方程 （注： 表示长度单位米，min 表示时间单位分） 18、（04,11 分）某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部 张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量 的飞机， 着陆时的水平速度为 ，经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞 机的速度成正比（比例系数 ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最大 距离大概是多少 （注: 表示千克， 表示千米/小时） 19、（05，12 分）用变量代换 化简微分方程 (1 并求其满足 0= 2 的特解。 20、（07，10 分）求微分方程 y¢¢ ¢ ¢ xy y + = 满足初始条件 y y (1) (1) 1 = ¢ = 的特解 21、（08,11 分）设 f ( ) x [0, ¥ 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 ， 对任意的 ，直线 [0, ) +¥ f (0) 1 = t Î + ) x = = 0, x t ，曲线 以及 y fx = ( ) x 轴所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( ) x 的表达式。 22、（08,10 分）设函数 由参数方程 du y yx = ( ) 2 确定，其中 0 ( ) ln(1 ) t x xt y u ìï = ïïíïï = + ïî ò x( )t 是 初值问题 0 2 0 t= - = | 0 = dx x te dt x - ìïïïíïïïî 的解，求 2 2 d y dx y yx x = ( )( 0 xy y ¢¢ ¢ - +=2 x y = = 1, 0 D D y y yx = ( ) ( , -p p 23、（09,10 分）设非负函数 ³ ) 满足微分方程 0，当曲 线 过原点时，其与直线 围成的平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体的体积 y yx = ( ) 24、（09,12 分）设 是区间 ) 内过点 , 2 2 æ ö p p ç - ÷ ç ÷ ç ÷÷ è ø - <p x 0 £ <x p y x( ) 的光滑曲线，当 < 0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 时，函数 满足 3 4