微分方程（数二）考研真题 (C)y”+-2y=3xe (D)y"+y-2y=3 6.(08年，4分)在下列微分方程中，以y=Ce+C2cos2x+C,sin2xr(C,C,C 一、选择愿（将最佳答案的序号填写在括号内） 为任意常数)为通解的是() (A)y"+y-4y'-4y=0. (B)y"+y"+4+4y=0. 小、(8年，3分)已知函爱y=)在任意点x处的增量△y=中子△r+a,且当 V (C)y-y-4y+4y=0. (D)y"-y'+4y-4y=0 △x→0时，a是△x的高阶无穷小，0)=T,则)等于() 7、(10年，4分)设，乃，是阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=qx)的两个特 (A)2 (B)T (C) (D)e 解，若常数入μ使入+4%是该方程的解，入一%是该方程对应的齐次力 2、(00年，3分)具有特解片=e,片=2xe,乃=3的三阶常系数济次线性微分方 程的解，则() 程是() wA==)A= 2=2 (4)y-y-y+y=0. (B)y+y-y'-y=0 2 (C)y"-6y+11y-6y=0. (D)y-2y°-y+2y=0 @)A==写)A=号= 8、(11年，4分)微分方程y-产y=e“+e“(a>0)的特解形式为() 头年4分》已奥y=言是分方程-兰+目保，则月表达式 (A)a(e+e) (B)re+e“) 为() (c)xae“+be") (D)x2(ae“+be-) w-片@苔心手o手 二、填空愿 1.(99.3分)微分方程y”-4y=e产的通解为 4.(04年，4分)微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为() (A)y=ar+bx+c+x(Asinx+Bcosx) (B)y'=x(ax'+bx+c+Asinx+Bcosx) 3、(02,3分)微分方程y+y2=0滴足初始条件y儿=l儿=与的特解 (C)y'=ax2+bx+c+Asinx 为 4.(04,4分)微分方程0+达-2亦=0满足儿=名的特解为 (D)y=ax+bx+c+Acosx 5、(06年，4分)函数y=c,+ce2:+xe满足的一个微分方程是（) 《@s,4分)预分方程了42y=hx满足0=-写的特解为 6、(06,4分)微分方程y=-卫的适解是 (A)y"-y-2y=3xe (B)y"-y-2y=3e 第1页共4页
微分方程（数二）考研真题 第 页 共 页 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1、 （98 年，3 分）已知函数 y = y x( ) 在任意点 x 处的增量 2 1 y y x D = D + D a x+a ，且当 x 0时， 是Dx y(0) = p y(1) p p 的高阶无穷小， ，则 等于（ ） （A） 2 （B） （C） 4 p e （D） 4 e p p 3 2、（00 年，3 分）具有特解 , 2, 3 1 2 x x x y e y xe y e 的三阶常系数齐次线性微分方 程是（ ） A y y y y 0 . B y y yy 0 1 . C y y 6 1 y 6 0 y . D y yy y 2 20 3、（03 年，4 分）已知 lnx y x = 是微分方程 y x y x y jæ ö ç ÷ çç ÷ ç ÷ è ø ¢ = + ÷的解，则 xy jæ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 的表达式 为（ ） （A） 2 2 y x - （B） 2 2 y x （C） 2 2 x y - （D） 2 2 x y 2 4、（04 年，4 分）微分方程 y y x 1 sin ( sin cos x 的特解形式可设为（ ） （A） ) 2 y ax bx c * = + ++ x A x B x + （B） sin oc s ) 2 y x ax bx c ( * = + ++ A x B x + （C） sin 2 y ax bx * = + + +c A x （D） cos 2 y ax bx * = + + +c A x 2 1 2 5、（06 年，4 分）函数 x x x e c e xe - + 2 y c = + 满足的一个微分方程是（ ） （A） 3 x y¢¢- -y y ¢ = xe （B） 2 3 x y¢¢ ¢ -- = y y 2 3 e （C） x ¢¢ ¢ +- = y yxe （D） 2 3 x y y¢¢ ¢ +- = y y 12 3 cos 2 sin 2 x e 6、（08 年，4 分）在下列微分方程中，以 y Ce C x C x 1 2 （CCC , , 3 为任意常数）为通解的是（ ） A y y 4 4 y y 0 . B yy y y 4 40 . C y y 4 4 y y 0 D yy y y 4 4 1, . 0 7、（10 年，4 分）设 2 y y y pxy q ¢+ = () () l m, 1 是一阶线性非齐次微分方程 x 的两个特 解，若常数 使 2 l m y + y 是该方程的解， 1 2 l m y - y 是该方程对应的齐次方 程的解，则（ ） （A） 1 1 , 2 2 l m = = （B） 1 1 , 2 2 l m =- =- （C） 2 1 , 3 3 l m = = （D） 2 2 , 3 3 l m = = 2 ( x x y ye e 8、（11 年，4 分）微分方程 0) ( 的特解形式为（ ） （A） ) x x ae e ( ) （B） x x ax e e （C） ( ) x x x ae be 2 ( ) （D） x x x ae be 2 4 二、填空题 x 1、（99，3 分）微分方程 y¢¢- =y e 的通解为 2、（01，3 分）过点 1 ,0 2æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø且满足关系式 2 arcsin 1 1 y y x x 的曲线方程 3、（02，3 分）微分方程 满足初始条件 2 yy y ¢¢ ¢ + = 0 0 1 | 1, | 2 x x y y = = = ¢ 0= 的特解 为 4、（04，4 分）微分方程 0 3 ( )2 y x dx xdy 满足 1 6 | 5 x y 的特解为 5、（05，4 分）微分方程 xy yx 2 l n x 满足 1 (1) 9 y 的特解为 . 6、（06，4 分）微分方程 y x (1 ) y x - ¢ = 的通解是 1 4
7、(07,4分)二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y+3y=2产的通解y= 求函数y=x)的极值 8、(08,4分)微分方程(y+xe)-xd=0的通解为y=_ 8、(9.7分)求初值问题 +F+了]本-迹=0(x>0)的解 9、(10,4分)3阶常系数线性齐次微分方程y”-2y”+y-2y=0的通解为y= yl=0 10、(11,4分)微分方程y+y=ec0sx满足条件0)=0的解为y= 9、(明.8分)设函数x(x≥0)二阶可导，且y(x)>0,(0)=1,过曲线 三、计算题 y=x)上任一点P八x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所 I、(95,8分)设y=e是微分方程灯+p叫xy=x的一个解，求此微分方程两足条件 围成的三角形的面积记为S,区间0，x]上以y=(x)为曲边的曲边梯形面积记 y儿-h2=0的特解 为S2,并设2S-S恒为1，求此曲线y=yx)的方程 2.(97,5分)求微分方程(3r2+2y-y2)d+(x2-2y)d=0的通解。 10(00,7分)某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物4的污水量为广/6， 3.(97,8分)设曲线L的极坐标方程为r=r(0),M(r,为L上任一点，Mo(2,0)为 流入湖泊内不含A的水量为V16,流出湖泊的水量为V13.己知199年底湖 L上一定点.若极径OM。,OM与画线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M。,M 中A的含量为5m。,超过国家规定标准，为了治理污染，从2000年初胞，限定 两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。 排入湖泊中含污水A的浓度不超过m,少.问至多需经过多少年，湖泊中污染 4、(97,5分)已知片=xe+e产，乃=xe+e”,片=xe+e2”-e是某二阶线性非 物A的含量降至以内？（注：设湖水中A的浓度是均匀的.） 齐次微分方程的三个解，求此微分方程 1、(00.8分)函数f(x)在0，+∞)上可导，f0)=1.且满足 手(os,5分)利用代炭=将方程y/cos-2sm+3cos=d化筒，并 求出原方程的通解， fewe-本厂od=0 6、(98,6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉速度 (1)求导数f'(x):(2)证明：当x≥0时，成立不等式e≤f(x)≤1. y(从海平面算起)与下沉速废之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平 面由静止开始铅直下沉。在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用。设仪器的质量为 12、(01,7分)设函数f(x).g(x)满足f'(x)=gx,g'(x)=2e-f(x),且 m,体积为B,海水比重为P,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为片 0=,80=2.+0+ (x)f(x) (k>0.).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=w). 7、(98,8分)设y=x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为 十了产·且此线上点@处的切线方程为y=+1,求该线的方程.并 13、(0L,7分)一个半球体状得雪堆，其体积融化的速幸与半球面面积S成正比，比 第2页共4页
第 页 共 页 2 4 32 x 7、（07，4 分）二阶常系数非齐次线性微分方程 y¢¢- +y ye ¢ = 的通解 y = 8、（08，4 分）微分方程 0 的通解为 2 x e xdy ( ) y x dx y = 9、（10，4 分）3 阶常系数线性齐次微分方程 y yy y ¢¢¢ ¢¢ ¢ - +- = 2 2 0 的通解为 y = 10、（11，4 分）微分方程 co x y y e s x 满足条件 y(0) 0 的解为 y = . 三、计算题 1、（95，8 分）设 x y = e 是微分方程 xy pxy ¢+ ( ) ln 2 |x= = 2 ) ( 2 ) 0 dx x xy dy +- = = x 的一个解，求此微分方程满足条件 y 0的特解. 2、（97，5 分）求微分方程 的通解。 2 2 (3 2 x xy y + - 3、(97，8 分)设曲线 L 的极坐标方程为 ， r r = (q) M ( ,r q) 为 L 上任一点， 为 0 M (2,0) L 上一定点.若极径OM0 ， 与曲线 OM L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0 ， M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程. 4、（97, 5 分）已知 2 2 1 2 , , 3 x x x - y xe e y xe e =+ =+ x xx y xe e e- = +- x 是某二阶线性非 齐次微分方程的三个解，求此微分方程 5、（98，5 分）利用代换 cos y u x = 将方程 cos 2 sin 3 cos x y¢¢ ¢ xy xyx - + y v m = e 化简，并 求出原方程的通解。 6、（98, 6 分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉速度 （从海平面算起）与下沉速度 之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平 面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用。设仪器的质量为 ，体积为 B ，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 r k k > y v y f = ( ) （ 0.）.试建立 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 ( ) v . 7、（98，8 分）设 y = y x 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(, ) x y 处的曲率为 2 1 1+ y¢ y x = +1 y yx = ( ) ，且此曲线上点 处的切线方程为 ，求该曲线的方程，并 求函数 的极值. (0,1) 8、（99，7 分）求初值问题 ( ) 2 2 1 0 ( 0) | 0 x y x y dx xdy x y = ìïï + + -= > ïíïïïî = y x( )( 0) x ³ yx y ¢( ) 0, (0) 1 > Pxy (, ) 的解 9、（99, 8 分）设函数 二阶可导，且 = .过曲线 y yx = ( ) 上任一点 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所 围成的三角形的面积记为 ，区间 1 S [0, ] x 上以 ) 为曲边的曲边梯形面积记 为 ，并设 2 恒为 1，求此曲线 的方程. y yx = ( 1 -S y yx = ( ) V A V / 6 2 S 2S 10（00，7 分）某湖泊的水量为 ，每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 ， 流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 。已知 1999 年底湖 中 V / 6 V / 3 A 的含量为 5 ，超过国家规定标准，为了治理污染，从 2000 年初起，限定 排入湖泊中含污水 的浓度不超过 。问至多需经过多少年，湖泊中污染 物 0 A 0 m V/ m A 的含量降至 以内?(注：设湖水中 A 的浓度是均匀的.) m0 11、（00，8 分）函数 f ( ) x 在 上可导， ，且满足 [0, ) +¥ f (0) 1 = 0 1 ( ) ( ) () 0 1 + x f x f x f t dt x ¢ - = + ò ( ) ， ¢ x x ³ 0 () 1. x e fx - £ £ ( ), ( ) （1）求导数 f ；（2）证明：当 时，成立不等式 x gx ( ) ( ), ( ) 2 ( ) x 12、（01,7 分）设函数 f 满足 f ¢ ¢ x gx g x e f x = =- 0) 2 ，且 f g (0) 0, ( = = ，求 ( )2 0 () () 1 1 gx f x dx x x p é ù ê - ú ê ú ê + + ú ë û ò 13、（01,7 分）一个半球体状得雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比 2 4
例常数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为的雪堆在 张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量9000g的飞机， 开始限化的3小时内，原化了其体积的。 问雪堆全部融化需要多少小时？ 着陆时的水平速度为700m/h,经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞 机的速度成正比（比例系数k=6.0×10°）.问从着隔点算起，飞机滑行的最大 14、(01,9分)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,yx>0)到坐标原点的距 距离大概是多少（注：g表示千克，km/h表示千米/小时） 高相等于孩点的时线在y鞋上的更，且上过传小 19、(05,12分)用变量代换x=c0st(0<t<T)化简微分方程 (1)试求曲线L的方程 -x2)y”-+y=0,并求其满足yl-0=1yL-。=2的特解. (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小 20、(07.10分)求微分方程y"(x+y2)=y满足初始条件)=y)=1的特解 15、(02,7分)求微分方程x+(x-2y)k=0的一个解y=x),使得由曲线y=x) 21、(08,11分)设f(x)是区间0，十)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1, 与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小 对任意的1∈0，十o),直线x=0,x=1,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边 16、@3,12分没位于第一象限的黄线y=过高5别 22 其上任一点Px,y)处的法 梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数f(x)的表达式. 线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分 x=x(t) (1)求曲线y=f(x)的方程 22、(08,10分)设函数y=(x)由参数方程 y=。nl+mdh 确定，其中x)是 (2)己知曲线y=sinx在0，]上的弧长为I,试用I表示曲线y=f(x)的弧长s dx 17、(03,10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=(y)(y之0)绕y轴旋转而成的 初值问题山 2e=0的解.求月 dx xo=0 旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m,根据设计要求，当以3m3/mi的速幸向容 23、(09.10分)设非负函数y=x)(x≥0)满足微分方程”-y+2=0,当曲 器内注入液体时，液面的面积将以可m之/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容 器内无液体)· 线y=y(x)过原点时，其与直线x=L,y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕 (1)根据t时刻液面的面积，写出1与(y)之间的关系式 y轴旋转所得旋转体的体积 (2)求曲线x=(y)的方程 24.（09.12分》设y=国是区同(-，)内过万万的光潘面线.当 (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分) -开<x<0时，曲线上任一点处的法线都过原点：当0≤x<时，函数(x)满足 18、(04,11分)某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地辑间，飞机尾部 第3页共4页
第 页 共 页 k > 0. 0 例常数 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 的雪堆在 r 开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 7 8 L Pxy x ( , )( 0) > y L ，问雪堆全部融化需要多少小时？ 14、（01，9 分）设 是一条平面曲线，其上任意一点 到坐标原点的距 离，恒等于该点处的切线在 轴上的截距，且 经过点 1 ,0 2æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø， （1）试求曲线 L 的方程 （2）求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小 15、（02,7 分）求微分方程 xdy x x +- = ( 2y d) 0 的一个解 y = y x( ) ，使得由曲线 y = y x( ) 与直线 x x =1, 2 = 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积最小. 16、(03, 12 分)设位于第一象限的曲线 y = f x( ) 过点 2 1, 2 2 æ ö ç ÷÷÷÷÷ çççè ø，其上任一点 处的法 P x( , y) 线与 y 轴的交点为 ，且线段 被 Q PQ x 轴平分 （1）求曲线 y = f x( ) sin 的方程 （2）已知曲线 y = x [0, l y f = ( s x yy =j( )( 0 在 上的弧长为 ，试用 表示曲线 p] l x) 的弧长 17、（03,10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 ³ ) 绕 y 轴旋转而成的 旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 ，根据设计要求，当以 m n 的速率向容 3 3 / mi m 2 pm / min t t ( 器内注入液体时，液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容 器内无液体）. (1)根据 时刻液面的面积，写出 与j y) ( ) 之间的关系式 (2)求曲线 x =j y m 9000kg 700 / km h 6 k = ´ 6.0 10 kg km h/ x tt = << cos (0 ) p 2 - - += x y xy y ) ¢¢ ¢ 0, 0 | 1, | x x y y = = = ¢ 2 ( ) 的方程 （注： 表示长度单位米，min 表示时间单位分） 18、（04,11 分）某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部 张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量 的飞机， 着陆时的水平速度为 ，经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞 机的速度成正比（比例系数 ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最大 距离大概是多少 （注: 表示千克， 表示千米/小时） 19、（05，12 分）用变量代换 化简微分方程 (1 并求其满足 0= 2 的特解。 20、（07，10 分）求微分方程 y¢¢ ¢ ¢ xy y + = 满足初始条件 y y (1) (1) 1 = ¢ = 的特解 21、（08,11 分）设 f ( ) x [0, ¥ 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 ， 对任意的 ，直线 [0, ) +¥ f (0) 1 = t Î + ) x = = 0, x t ，曲线 以及 y fx = ( ) x 轴所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( ) x 的表达式。 22、（08,10 分）设函数 由参数方程 du y yx = ( ) 2 确定，其中 0 ( ) ln(1 ) t x xt y u ìï = ïïíïï = + ïî ò x( )t 是 初值问题 0 2 0 t= - = | 0 = dx x te dt x - ìïïïíïïïî 的解，求 2 2 d y dx y yx x = ( )( 0 xy y ¢¢ ¢ - +=2 x y = = 1, 0 D D y y yx = ( ) ( , -p p 23、（09,10 分）设非负函数 ³ ) 满足微分方程 0，当曲 线 过原点时，其与直线 围成的平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体的体积 y yx = ( ) 24、（09,12 分）设 是区间 ) 内过点 , 2 2 æ ö p p ç - ÷ ç ÷ ç ÷÷ è ø - <p x 0 £ <x p y x( ) 的光滑曲线，当 < 0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 时，函数 满足 3 4
y”+y+x=0,求函数(x)的表达式 25、（10,Ⅱ分)设通数y=例由参数方程=2+0>-)所确定，我中40 y=o) 有2号题且0=号，0=6：已尝-来0 3 26、(11,10分)设函数(x)具有二阶导数，且曲线1：y=x)与直线y=x相切于 原点，记a为曲线1在点任，)处切线的概角。若血=少，求时的表达式 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 y yx ¢¢++= 0，求函数 的表达式 y x( ) 25、（10,11 分）设函数 y f = (x) 由参数方程 所确定，其中 2 2 ( 1) ( ) x tt t y t f ìïï = + í >- ïïî = f( )t 具有 2 阶导数，且 5 (1) 2 f = ， ，已知 f¢(1) 6 = 2 2 3 4(1 ) d y dx t = + ，求 f( )t 26、（11,10 分）设函数 y x( ) 具有二阶导数，且曲线l y: () = y x 与直线 y = x 相切于 ( , y)处切线的倾角，若 d dy dx dx a 原点，记 为曲线 在点 a l x = ，求 的表达式 y x( )
