第十二章数项级数 ● 一、基本内容 §12.1级数的收敛性 S12.2正项级数 §12.3般项级数 二、研究级数的目的与要求 1、借助级数表示很多有用的非初等函数。2、解微分方程。3、利佣多项式 来逼近一般的函数。4、实数的近似计算。熟练掌握数项级数收敛的概念 与必要条件掌握级数敛散性的Cuch准则，熟练掌握收敛级数的运 算性质：熟练掌握正项级数收敛的常用判别法：熟练掌握关于交错级 数的Leibniz判别法：腥Al变换，会便用天股数项级数的Abe 判别法和Dirichl©t判别法：掌握绝对收敛级数及其基本性质，了解级 数重排间题、级数乘积间题。 三、重点与难点 重点：是级数敛散性的概念和正页级数敛散性的判别 难点：一般项级数数敛散性的判 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 第十二章 数项级数 • 一、基本内容 • §12.1 级数的收敛性 • §12.2 正项级数 • §12.3 一般项级数 • 二、研究级数的目的与要求 • 1、借助级数表示很多有用的非初等函数。 2、解微分方程。 3、利用多项式 来逼近一般的函数。 4、 实数的近似计算。熟练掌握数项级数收敛的概念 与必要条件；掌握级数敛散性的Cauchy准则；熟练掌握收敛级数的运 算性质；熟练掌握正项级数收敛的常用判别法；熟练掌握关于交错级 数的Leibniz判别法；了解Abel变换，会使用关于一般数项级数的Abel 判别法和Dirichlet判别法；掌握绝对收敛级数及其基本性质，了解级 数重排问题、级数乘积问题。 • 三、重点与难点 • 重点：是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别 • 难点：一般项级数数敛散性的判别
§12.1 级数的收敛性 1、级数收敛的定义 定义1给定一个数列{u,,将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 山1+儿2+…+Wn+… (1) 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中4 称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §12.1 级数的收敛性 1、级数收敛的定义 定义1 给定一个数列{un }, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 1 2 (1) u u un 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也
数项级数(1)的前n项之和记为 S,=24=4+4,+…+, (2) k-I 称为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和. 定义2若数项级数(1)的部分和数列{S}收敛于S (即limS=S),则称数项级数()收敛，S称为数 H->00 项级数(1)的和，记作 前页 返回
前页 后页 返回 数项级数(1)的前n项之和记为 1 2 1 , (2) n n k n k S u u u u 称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和. 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 { } Sn lim n n (即 S S ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数 项级数(1)的和,记作 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 { } Sn 收敛于 S
S=41+h2+…+4n+…,或S=∑4n n=1 若{Sn}是发散数列，则称数项级数(1)发散， 例1讨论等比级数（也称几何级数） a+ag+ag2+…+ag”+… (3) 的收敛性（≠0）， 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 1 2 1 , . n n n S u u u S u 或 例1 讨论等比级数(也称几何级数) 2 (3) n a aq aq aq 的收敛性(a≠0). 若 { } Sn 是发散数列,则称数项级数(1)发散
2、级数收敛的判别法 定理12.1（级数收敛的柯西准则级数(1）收敛的充要 条件是：任给正数ε，总存在正整数N,使得当m>N 以及对任意的正整数p都有 um1+um2+…+山np<&. (4) 推论（级数收敛的必要条件）若级数(1)收敛，则 limu,=0. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 2、级数收敛的判别法 定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要 条件是:任给正数 , , 总存在正整数 N 使得当 m N 以及对任意的正整数 p 都有 1 2 . (4) u u u m m m p 推论(级数收敛的必要条件) 若级数(1)收敛,则 lim 0. n n u
3、级数的基本性质 定理12.2若级数∑4，与∑yn都收敛，则对任意常 数c,d,级数∑(cn+dyn)亦收敛，且 ∑(cun+dyn)=c∑4，+d∑yn 定理12.3去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性 定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变 级数的收敛性，也不改变它的和 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定理12.2 , 若级数 与 都收敛 u v n n 则对任意常 数c, d， 级数( ) cu dv n n 亦收敛，且 ( ) . n n n n cu dv c u d v 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 级数的收敛性,也不改变它的和. 3、级数的基本性质
·小结： ·1、级数收敛和发散的定义 ·2、级数收敛的柯西准则 ·3、级数的基本性质 前页 后页 返回
前页 后页 返回 • 小结： • 1、级数收敛和发散的定义 • 2、级数收敛的柯西准则 • 3、级数的基本性质
§12.2 正项级数 ·收敛性是级数研完中最基本的问题，本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则， 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、 比式判别法和根式判别法 三、积分判别法 四、拉贝判别法 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §12.2 正项级数 • 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则. 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法 四、拉贝判别法
1、正项级数收敛性的一般判别原则 定理12.5正项级数∑4.收敛的充要条件是：部分和 数列{S,}有界，即存在某正数M,对一切正整数n有 S N都有 un≤yn () 则 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1、正项级数收敛性的一般判别原则 定理12.5 正项级数 un 收敛的充要条件是:部分和 { } 数列 Sn 有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有 . S M n 定理12.6 设 和 是两个正项 u v n n (比较原则) 级数, 如果存在某正数N, 对一切 n > N 都有 (1) u v n n 则
(①)若级数∑yn收敛，则级数∑4n也收敛； ()若级数∑4n发散，则级数∑yn也发散 例1考察∑ 的收敛性 n(n2+1) 前页 后页 返回
前页 后页 返回 (i) , ; n n 若级数 收敛 则级数 也收敛 v u (ii) , . 若级数 发散 则级数 也发散 u v n n 例1 2 1 . n n( 1) 考察 的收敛性