第二十二章 曲面积分 教学课节: §1第一型曲面积分 §2第二型曲面积分 §3高斯公式与斯托克斯公式 前页 后页 返回
前页 后页 返回 第二十二章 曲面积分 教学课节: §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式
§1第一型曲面积分 教学内容: 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 前页 后页 返回
前页 后页 返回 教学内容: 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 §1 第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念 如同第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块S, 且密度函数p(x,y,z)在S上连续时,曲面块S的质 量为极限 Iim∑p(5,7,5)△S, 1IT1-→0 i=1 其中T={S1,2,.,Sn}为曲面块的分割,△S表 示小曲面块S,的面积,(5,7,S)为S,中任意一点, ‖T‖为分割T的细度,即为诸S,中的最大直径, 前页 后页 返回
前页 后页 返回 示小曲面块 Si (,, ) iii ξηζ 的面积, 为 Si 中任意一点, 1 2 {, , } T SS S = n ..., 其中 为曲面块的分割,∆Si 表 一、第一型曲面积分的概念 如同第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S, 量为极限 → = ∑ i || || 0 1 lim ( , , ) , n ii i T i ρξ η ζ ∆S || || T 为分割 T 的细度,即为诸 Si 中的最大直径. 且密度函数 ρ(, ,) xyz 在 S上连续时,曲面块 S 的质
定义1设S是空间中可求面积的曲面,f(x,y,z)为 定义在S上的函数.对曲面S作分割T,它把S分成 n个小曲面块S,(i=1,2,,n),以△S,记小曲面块 S,的面积,分割T的细度T=max{S,的直径},在 <i< S,上任取一点(5,7,5)(i=1,2,,m),若存在极限 lim∑f(5,n,5)△S,=, IT-→0 i=1 且与分割T及(5,,5)的取法无关,则称此极限为 f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分,记作 前页 后页 返回
前页 后页 返回 Si ( , , ) ( 1, 2, , ), iii 上任取一点 ξηζ i n = 若存在极限 || || 0 1 lim ( , , ) , n iii i T i f SI ξηζ ∆ → = ∑ = 定义在S上的函数. 对曲面S作分割T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 Si n S i i ( 1, 2, , ), = 以 ∆ 记小曲面块 Si { } 1 || || max i i n T S ≤ ≤ 的面积, 分割T 的细度 = 的直径 ,在 定义1 设S是空间中可求面积的曲面, f xyz (, ,) 为 且与分割 T 及 (,, ) ξηζ iii 的取法 无关, 则称此极限为 f xyz S (,,) 在 上的第一型曲面积分, 记作
1=∬fx,zas. (0 于是,前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: m=∬p(x,Jyz)dS. S 特别地,当f(x,y,z)=1时,曲面积分∬dS就是曲面 块S的面积. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 ( , , )d . (1) S I f xyz S = ∫∫ 于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: f xyz (,,) 1 ≡ d S S 特别地 ∫∫ , 当 时,曲面积分 就是曲面 块 S 的面积. ( , , )d . S m xyz S = ρ ∫∫
二、第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分可化为二重积分来计算. 定理22.1设有光滑曲面 S:z=z(x,y),(x,y)∈D, f(x,y,z)为S上的连续函数,则 /.zs=∬fx,2++ad. …(2) 前页 后 返回
前页 后页 返回 二、第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分可化为二重积分来计算. 定理22.1 设有光滑曲面 S z zxy xy D : ( , ),( , ) , = ∈ f xyz (, ,) 为S上的连续函数, 则 2 2 ( , , )d ( , , ( , )) 1 d d . x y S D f xyz S f xyzxy z z x y = + + ∫∫ ∫∫ (2)
例1计算,ds,其中s 是球面x2+y2+z2=a2被 平面z=h(0<h<)所截 得的顶部(图22-1). 图22-1 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 d , S S z 例1 计算 ∫∫ 其中 S 2 22 2 是球面 xyza ++= 被 平面 zh ha = << (0 ) 所截 得的顶部(图22-1). x y h O z a 图 22 1 −
例2计算∬(y+zx+z)dS, 其中S为圆锥面z=√x2+少 =x+y 被圆柱面x2+y2=2x所割 下的部分(图22-2). x2+y2=2x 图22-2 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例2 计算 ( )d , S xy zx yz S + + ∫∫ S 2 2 其中 为圆锥面 z xy = + 被圆柱面 2 2 x y ax + = 2 所割 下的部分(图22-2). 图22 2 − y x O 2 2 z xy = + 2 2 x y ax + = 2 z
§2第二型曲面积分 教学内容: 一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 前页 后页 返回
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一、曲面的侧 设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法 线),曲面在其上每一点处的法线有两个方向:当取 定其中一个指向为正方向时,另一个指向就是负方 向.又设M,为S上任一点,L为S上任一经过点M, 且不超出S边界的闭曲线.当S上的动点M从M。 出发沿L连续移动一周而回到时,如果有如下特 征:出发时M与M取相同的法线方向,而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面S是双侧的. 前页 返回
前页 后页 返回 一、曲面的侧 设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面 (或法 线), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向:当取 定其中一个指向为正方向时, 另一个指向就是负方 向. 又设 M0 为S 上任一点, L为 S上任一经过点 0 M , 且不超出 S 边界的闭曲线. 当S 上的动点M 从 M0 出发沿 L 连续移动一周而回到 时,如果有如下特 M0 征 M0 :出发时 M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的