第四部分线性方程组 一、选择题 「1-123-41 1.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 15-2自变量若取为 20 (1)x,,(2)x,x,(3)x,x,(4)2,,那么正确的共有 (A)1个：(B)2个：(C)3个：(D)4个。 2.已知a,a是非齐次线性方程组A=b的两个不同的解，那么 a-4,30-2a3a+2a,h2(a+a)中，仍是线性方程组M=b特解的共有 (A)4个：(B)3个：(C)2个：(D)1个. 3.已知a,a,a是非齐次线性方程组Ar=b的三个不同解，那么下列向量a4,-a2, a+a-2a,(a,-aha-3a+2a,中导出组=0解得向量共有 (A)4个：(B)3个：(C)2个：(D)1个. 4齐次线性方程组+2，一0的基陆解系是 x+x2+x=0 (A)(-2,2,1,0,(1,2,0,10; (B)(-1,0,1,1),(2,0,-2,-2) (c)(-2,2,1,0),(2,2,-3,-4);(D)(1,-2,0,1). 5.已知a,=(1,1-1)了，a,=(1,2,0)'是齐次线性方程组=0的基础解系，那么下列向量 中是Ax=0的解向量的是 (A)(L,-1,3: (B)(2,1,-3): (c)(2,2,-5): (D)(2,-2,6)。 6.设7,2，，，是齐次线性方程组A=0的基础解系，则=0的基础解系还可以是 (A)几，-，乃2+nn-n4n+n: (B)+2,++,n-+n (c)n+72,2+,ns+n4,n+n: (D)7+,n2-7,+n4,n4+刀
第四部分 线性方程组 一、选择题 1.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 1 123 4 15 2 2 0 自变量若取为 （1） ，（ x x 4 5 , 2） x x 3 5 , , （3） ，（ x x 1 5 , 4） ，那么正确的共有 2 3 x x, （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个。 2. 已 知 1 2 , 是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同的解，那么 1 2 1 , 3 2 2 1 2 12 1 1 , ( 2 ), ( ) 3 2 中，仍是线性方程组 Ax b 特解的共有 （A）4 个；（B）3 个；（C）2 个；（D）1 个。 3.已知 123 , , 是非齐次线性方程组 Ax b 的三个不同解，那么下列向量1 2 ， 12 3 2 11 2 2 2 , ( ), 3 3 3 2 中导出组 Ax 0解得向量共有 （A）4 个；（B）3 个；（C）2 个;（D）1 个。 4.齐次线性方程组 的基础解系是 1 34 124 2 0 0 x xx xxx （A）( 2, 2,1, 0) , (1, 2, 0,1) ; （B）( T T 1, 0,1,1) , (2, 0, 2, 2) T T ； （C）( 2, 2,1, 0) , (2, 2, 3, 4) ； （D）(1 。 T T T , 2, 0,1)T 5.已知 1 2 (1,1, 1) , (1, 2, 0) T 是齐次线性方程组 Ax 0的基础解系，那么下列向量 中是 的解向量的是 Ax 0 （A）(1, 1, 3) ； （B）(2 ； T ,1, 3)T （C） ； (2, 2, 5) （D） 。 T (2, 2, 6)T 6.设 1234 ,,, 是齐次线性方程组 Ax 0的基础解系，则 Ax 0的基础解系还可以是 （A） 1 22 33 44 1 ,,, ； （B） 1 2 2 3 11 2 , , 3 ； （C） 1 22 33 44 ,,, 1 ； （D） 1 22 33 44 ,,, 1
7.设A是m×n矩阵，A是A的转置，若n,,,n,是齐次线性方程组4x=0的基础 解系，则秩r(A)= (A)t;(B)n-t;(c)m-t:(D)n-m. 8要使a,=(2,1,1)',a2=(L,-2,-1)'都是齐次线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A 为 aBa 副 e427 12-1 o6 x+x2+x3=0 9.a=1是齐次线性方程组x+2x2+代=0有非零解的 x+42+ax=0 (A)充分必要条件 (B)充分而非必要条件 (C)必要而非充分条件： (D)既非充分又非必要条件。 10.已知，n,是n元齐次线性方程组Ar=0的2个不同的解，若秩r(4)=n-1,则Ar=0 的通解是 (A)k:(B)k,: (C)k(n,+): (D)k(-) 「3a+241 11.设A=5aa+5,若齐次线性方程组Ar=0的任一非零解均可以用a线性表 -12J 示，那么必有a= (A)3:(B)5:(C)3或-5： (D)5或-3. 12.设Ax=b有通解k,5+k,5+7=k(1,0,1)+k,(-1,3,2了+(0,1，-1)，则下列向量 中不是Ax=b的解向最的是 (A)a=(3,-5,-4: (B)a2=(0,4,2 (C)g=(3,-2,-l;(D)a=3,1-4. 13.下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是 x,+x2-3=1 [x+x2+x3=0 (A){2=2 (B) x-2x=1 x2-2x3=3 x+3x3=6
7.设 A 是 矩阵， m n T A 是 A 的转置，若 1 2 ,,, t 是齐次线性方程组 的基础 解系，则秩 0 T A x r A( ) （A） t; （B） n t ； （C） m t ； （D）n m 。 8.要使 1 2 (2,1,1) , (1, 2, 1) T T 都是齐次线性方程组 Ax 0的解，只要系数矩阵 A 为 （A） ； （B） 21 1 121 13 5 1 3 5 ； （C） ； （D） 1 42 12 1 1 31 2 6 2 。 9. a 1是齐次线性方程组 0 有非零解的 123 1 23 2 12 3 0 2 4 0 xxx x x ax x x ax （A）充分必要条件； （B）充分而非必要条件； （C）必要而非充分条件； （D）既非充分又非必要条件。 10.已知 1 2 , 是 n元齐次线性方程组 Ax 0的 2 个不同的解，若秩 rA n () 1 ，则 的通解是 Ax 0 （A） 1 k ； （B） 2 k ； （C） 1 2 k( ) ； （D） 1 2 k( ) 。 11.设 ，若齐次线性方程组 3 24 5 11 2 a A aa 5 Ax 0的任一非零解均可以用 线性表 示，那么必有a （A）3； （B）5； （C）3 或‐5； （D）5 或‐3. 12.设 Ax b 有通解 ，则下列向量 中不是 11 22 1 2 (1, 0,1) ( 1, 3, 2) (0,1, 1) T T kk k k T Ax b 的解向量的是 （A）1 (3, 5, 4)T ； （B） 2 (0, 4, 2)T ； （C） 3 (3, 2, 1)T ； （D） 4 (3,1, 4)T 。 13.下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是 （A） ； （B） 123 2 2 3 1 2 2 3 xxx x x x 123 2 3 2 3 0 2 1 3 6 xxx x x x x ；
51-5+2x3=1 [x1-2x2-x3=1 (c) -2x+2x-46=-3: (D)2x+3x,-4=2 x1+3x2-2x3=1 3x1+x2-5x3=3 14.设a1,a2,a,a4,a都是四维列向量，A=a1,a2,a,a,,非齐次线性方程组Ar=a3 有通解k5+7=k(L,-1,2,0)'+(2,1,0,1)了，则下列关系式中不正确的是 (A)2a+a2+a4-a=0: (B)a-a-2a-3a1=0 (c)a,-g2+2a3-a=0: (D)a-a,+4a3-3a2=0. [(2-)x1+2x2-2x3=1 15.已知方程组2x,+(5-)x2-4x,=2 有两个不同的解，则三 -2x-4x2+5-)x=-1-1 (A).1: (B)10:(c)1: (D)2 16.齐次方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是 (A)A是阶可逆矩阵 (B)非齐次方程组A=b无解 (C)A的列向量组线性无关： (D)A的行向量组线性无关。 17.设A为秩是r的m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是 (A)r=m:(B)m=n:(C)r=n:(D)m<n 18.设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ar=b有解的充分条件是 (A)秩r(4A)=min(m,m):(B)A的行向量组线性无关。 (C): (D)A的列向量组线性无关。 19.设线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知数且m≠n,则正确命题是 (A)若x=0只有零解.则x=b必有唯一解： (B)若Ar=0有非零解，则A=b必有无穷多解 (C)若=b无解，则A=0只有零解： (D)若A女=b有无穷多解，则A=0必有非零解。 20.设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是 (A)若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解 (B)若A中有n阶子式不为零，则Ar=b必有唯一解 (c)若A中有m阶子式不为零，则Ar=0仅有零解： (D)若A中有m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解。 21.已知4阶方阵A=a1,a2,a,a,a,C2,%,a,均为四维列向量，其中a1,C2线性无 关，若1+2a2-a=B,a++a+a=B,2a+3a+a%+2a,=B，k,k2为任 意常数，那么Ax=B的通解为
（C） ； （D） 12 3 123 123 2 1 224 321 xx x xxx xxx 3 2 3 1 23 123 12 3 2 1 234 3 5 x xx xxx xx x 。 14.设 12345 ,,,, 都是四维列向量， 1234 A [, , , ]，非齐次线性方程组 Ax 5 有通解 k k (1, 1, 2, 0) (2,1, 0, ，则下列关系式中不正确的是 T 1)T （A） 1245 2 0 ； （B） 54 3 1 2 3 0 ； （C） 12 35 2 0 ； （D） 54 3 2 4 3 0 。 15.已知方程组 有两个不同的解，则 123 1 23 12 3 (2 ) 2 2 1 2 (5 ) 4 2 2 4 (5 ) xxx x xx xx x 1 （A）‐1； （B）10； （C）1； （D）2. 16.齐次方程组 Ax 0只有零解的充分必要条件是 （A） A n 是 阶可逆矩阵 ； （B）非齐次方程组 Ax b 无解； （C）A 的列向量组线性无关； （D）A 的行向量组线性无关。 17.设Ａ为秩是 r 的 矩阵，非齐次线性方程组 m n Ax b 有解的充分条件是 （A） r m ； （B） ；（ m n C） r n；（D） m n 。 18.设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax b 有解的充分条件是 （A）秩 rA mn ( ) min( , ) ；（B） A 的行向量组线性无关； （C） ； m n （D） A 的列向量组线性无关。 19.设线性方程组 Ax b 有 m 个方程，n 个未知数且 m n ，则正确命题是 （A）若 只有零解，则 Ax 0 Ax b 必有唯一解； （B）若 有非零解，则 Ax 0 Ax b 必有无穷多解； （C）若 Ax b 无解，则 只有零解； Ax 0 （D）若 Ax b 有无穷多解，则 Ax 0必有非零解。 20.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是 （A）若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax 0仅有零解； （B）若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax b 必有唯一解； （C）若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax 0仅有零解； （D）若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax b 必有唯一解。 21.已知 4 阶方阵 1234 A [, , , ]， 1234 ,,, 均为四维列向量，其中 1 2 , 线性无 关，若 1 1 23 4 ,2 3 2 23 123 2 , 4 Ax 1 ， k , 为任 意常数，那么 2 k 的通解为
1 0 2 (A) +kV 31 2 (B) 1* o 10 -1 「2] 「2] 「1 To] 3 3 1 2 (c) 0t2 (D) -2 +0+2 21 2 -11 2 22.设A为n阶矩阵，A'是A的转置矩阵，对于线性方程组()Ar=0和(1)AA=0, 必有 )(D的解是()的解，()的解也是①的解 (B)(1)的解是()的解，(I)的解不是()的解： (C)()的解是()的解，()的解不是()的解： (D)(1)的解不是(1)的解，()的解也不是（Ⅱ）的解。 23.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组()A”x=0和()A*x=0,现有四个命 题(1)()的解必是()的解，(2)()的解必是()的解，(3)()的解不是() 的解，(4)()的解不是()的解，以上命题中正确地是 (A)(12:(B)(14:(C)(34h:(D)(23. 二、填空题 1四元济次线性方程组5+2=0 飞~3x,=0的基础解系是 [x-3x2+3x3=0 2.已知齐次线性方程组x,+(a+2)x2+3x=0有无穷多解，那么=· (2x+53-53=0 x,+x2+2x3=a 3.已知方程组3x,-x-6x=a+2有无穷多解，那么a= x+4x2+113=a+3 [x+2x2-x+3x=1 4.已知方程组{2x,+x+43+3x,=5无解，则a= ax2+2x,-x=-6
（A） 1 2 ； （B） 1 1 2 1 1 1 0 1 k k 2 3 1 2 2 1 1 2 11 0 12 1 1 0 1 1 k k 1 1 2 2 1 1 2 2 ； （C） 1 2 ； （D） 2 2 3 3 1 0 2 1 k k 1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 k k 。 22.设 A 为 n 阶矩阵， T A 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（I）Ax 0和（II） ， 必有 0 T A Ax （A）（I）的解是（II）的解，；（II）的解也是（I）的解 （B）（I）的解是（II）的解，（II）的解不是（I）的解； （C）（II）的解是（I）的解，（I）的解不是（II）的解； （D）（II）的解不是（I）的解，（I）的解也不是（II）的解。 23.设 A 是 n阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） 0 n A x 和（II） ，现有四个命 题（1）（I）的解必是（II）的解，（2）（II）的解必是（I）的解，（3）（I）的解不是（II） 的解，（4）（II）的解不是（I）的解，以上命题中正确地是 1 0 n A x （A）(1)(2)； （B）(1)(4)； （C）(3)(4); （D）(2)(3). 二、填空题 1.四元齐次线性方程组 的基础解系是_________。 1 4 3 4 2 0 3 0 x x x x 2.已知齐次线性方程组 有无穷多解，那么a 123 1 2 123 330 2 3 2 0 ax x x xa x x xxx 3 0 _______ . 3.已知方程组 12 3 12 3 12 3 2 3 6 4 11 xx xa xx xa x x xa 2 3 有无穷多解，那么a _______ . 4.已知方程组 1 23 4 12 3 4 2 34 2 3 2 43 2 6 x xx x xx x x ax x x 1 5 无解，则a _______
ax+az+ax,=a 5.设a=(6,-1,1与a,=(-7,4,2是线性方程组{x+3x,-2x=1的两个解，那 2x1+5x2+x3=8 么此方程组的通解是 6.设线性方程组Ax4x=b,即 aux +anx:+ausx3 aux=b ax+ax+ax+ax=b (1) a31+a52+a3g+a3x4=by 有通解1,2，-L,1+L,-1,0,2,其中k是任意常数，则方程组By=b即 az八1+as2+a43=b az八+a2》2+a43=b2 (2) as2y+asy:+aay,=b 有一个特解是 a5+a1252+a153=b 7.设线性方程组Ax=b,即ax+a+a3=b, (1) +anx:+asx,=bs 有唯一解5=1,2,3 方程组BxJy=b即{a2+a2+a2s+4以=么 (2) an+az2+a+ay=b 有特解n=-2,1,4,2,则方程组(2)的通解是 8设A=a,是三阶正交矩阵，其中a=-,b=0,0,5,则线性方程组A=b的解是 9.已知齐次线性方程组 ak1+a252+as5+44x4=0 (1) a2+a2n2+a2g53+a2水，=0 有通解k[2,-1,0,1+k3,2,1,0,则方程组 aux+anxx+auxs +auxs=0 0+a3+a5+a44=0 (2) x1-2x2+x,=0 的通解是
5.设1 (6, 1,1)T 与 2 ( 7, 4, 2)T 是线性方程组 11 2 33 4 123 1 23 321 25 8 ax a ax a xxx x xx 的两个解，那 么此方程组的通解是___________. 6.设线性方程组 A3 4 x b ，即 （1） 11 1 12 2 13 3 14 4 1 21 1 22 2 23 3 24 4 2 31 1 32 2 33 3 34 4 3 ax ax ax ax b ax ax ax ax b ax ax ax ax b 有通解 [1, 2, 1,1] [1, 1, 0, 2] ，其中 k 是任意常数，则方程组 T k T B3 3 y b 即 12 1 13 2 14 3 1 22 1 23 2 24 3 2 32 1 33 2 34 3 3 a y a y a y b a y a y a y b a y a y a y b （2） 有一个特解是__________。 7.设线性方程组 3 3 x b ，即 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b A （1） 有唯一解 [1, 2, 3] 。T 方程组 B3 4 y b 即 11 1 12 2 13 3 14 4 1 21 1 22 2 23 3 24 4 2 31 1 32 2 33 3 34 4 3 a y a y a y a y b a y a y a y a y b a y a y a y a y b （2） 有特解 [ 2,1, 4, 2] ，则方程组（2）的通解是__________。 T 8.设 A a [ ]ij 是三阶正交矩阵，其中a b 33 1, [0, 0, 5]T ，则线性方程组 Ax b 的解是 __________。 9.已知齐次线性方程组 （1） 11 1 12 2 13 3 14 4 21 1 22 2 23 3 24 4 0 0 ax ax ax ax ax ax ax ax 有通解 k k 1 2 [2, 1, 0,1] [3, 2,1, 0] T T ，则方程组 11 1 12 2 13 3 14 4 21 1 22 2 23 3 24 4 1 24 0 0 2 0 ax ax ax ax ax ax ax ax x xx （2） 的通解是__________________________
10.已知方程组() {2工+3无+5=0D+5=0,那么0与（①的公共解 31+2x2-x3=0 是 11.已知非齐次线性方程组(0)与()同解，其中 D压+5-2=5m匹+，+，= 6+6=2 2x+52-3=16 则a=
10.已知方程组（I） （II） 1 23 1 23 2 0 2 3 x xx x xx 0 0 1 3 x x 5 ，那么（I）与（II）的公共解 是__________。 11.已知非齐次线性方程组（I）与（II）同解，其中 （I） （II） 12 3 2 3 2 5 2 xx x x x 1 23 1 23 4 1 25 1 ax x x x x ax 1 6 则a _______
