南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）考研辅导练习题——第四部分线性方程组.pdf_大学文库

7.设 A 是矩阵， m n T A 是 A 的转置，若 1 2 ,,,    t 是齐次线性方程组的基础解系，则秩 0 T A x  r A( )  （A） t; （B） n t  ；（C） m t  ；（D）n m 。 8.要使  1 2   (2,1,1) , (1, 2, 1) T  T 都是齐次线性方程组 Ax  0的解，只要系数矩阵 A 为（A）；（B） 21 1 121         13 5 1 3 5         ；（C）；（D） 1 42 12 1         1 31 2 6 2         。 9. a  1是齐次线性方程组 0 有非零解的 123 1 23 2 12 3 0 2 4 0 xxx x x ax x x ax          （A）充分必要条件；（B）充分而非必要条件；（C）必要而非充分条件；（D）既非充分又非必要条件。 10.已知 1 2  , 是 n元齐次线性方程组 Ax  0的 2 个不同的解，若秩 rA n () 1   ，则的通解是 Ax  0 （A） 1 k ；（B） 2 k ；（C） 1 2 k(  ) ；（D） 1 2 k( )   。 11.设，若齐次线性方程组 3 24 5 11 2 a A aa              5 Ax  0的任一非零解均可以用 线性表示，那么必有a  （A）3；（B）5；（C）3 或‐5；（D）5 或‐3. 12.设 Ax b  有通解，则下列向量中不是 11 22 1 2 (1, 0,1) ( 1, 3, 2) (0,1, 1) T T kk k k         T Ax  b 的解向量的是（A）1   (3, 5, 4)T ；（B） 2  (0, 4, 2)T ；（C） 3   (3, 2, 1)T ；（D） 4 (3,1, 4)T    。 13.下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是（A）；（B） 123 2 2 3 1 2 2 3 xxx x x x          123 2 3 2 3 0 2 1 3 6 xxx x x x x             ；

（C）；（D） 12 3 123 123 2 1 224 321 xx x xxx xxx            3 2 3 1 23 123 12 3 2 1 234 3 5 x xx xxx xx x              。 14.设 12345  ,,,,  都是四维列向量， 1234 A  [, , ,   ]，非齐次线性方程组 Ax  5 有通解 k k    (1, 1, 2, 0) (2,1, 0, ，则下列关系式中不正确的是 T  1)T （A） 1245 2 0    ；（B） 54 3 1    2 3 0 ；（C） 12 35      2 0 ；（D） 54 3 2    4 3 0 。 15.已知方程组有两个不同的解，则 123 1 23 12 3 (2 ) 2 2 1 2 (5 ) 4 2 2 4 (5 ) xxx x xx xx x                      1 （A）‐1；（B）10；（C）1；（D）2. 16.齐次方程组 Ax  0只有零解的充分必要条件是（A） A n 是阶可逆矩阵；（B）非齐次方程组 Ax b  无解；（C）A 的列向量组线性无关；（D）A 的行向量组线性无关。 17.设Ａ为秩是 r 的矩阵，非齐次线性方程组 m n Ax b  有解的充分条件是（A） r  m ；（B）；（ m n  C） r  n；（D） m n  。 18.设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax b  有解的充分条件是（A）秩 rA mn ( ) min( , )  ；（B） A 的行向量组线性无关；（C）； m n  （D） A 的列向量组线性无关。 19.设线性方程组 Ax b  有 m 个方程，n 个未知数且 m n  ，则正确命题是（A）若只有零解，则 Ax  0 Ax b  必有唯一解；（B）若有非零解，则 Ax  0 Ax b  必有无穷多解；（C）若 Ax b  无解，则只有零解； Ax  0 （D）若 Ax b  有无穷多解，则 Ax  0必有非零解。 20.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是（A）若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax  0仅有零解；（B）若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax b  必有唯一解；（C）若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax  0仅有零解；（D）若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax b  必有唯一解。 21.已知 4 阶方阵 1234 A  [, , ,   ]， 1234  ,,,  均为四维列向量，其中 1 2  , 线性无关，若 1 1 23 4 ,2 3 2 23 123 2 ,             4      Ax  1 ， k , 为任意常数，那么 2 k   的通解为

（A） 1 2 ；（B） 1 1 2 1 1 1 0 1 k k                   2 3 1 2 2 1 1 2 11 0 12 1 1 0 1 1 k k                                 1 1 2 2 1 1 2 2 ；（C） 1 2 ；（D） 2 2 3 3 1 0 2 1 k k            1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 k k                                  。 22.设 A 为 n 阶矩阵， T A 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（I）Ax  0和（II），必有 0 T A Ax  （A）（I）的解是（II）的解，；（II）的解也是（I）的解（B）（I）的解是（II）的解，（II）的解不是（I）的解；（C）（II）的解是（I）的解，（I）的解不是（II）的解；（D）（II）的解不是（I）的解，（I）的解也不是（II）的解。 23.设 A 是 n阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） 0 n A x  和（II），现有四个命题（1）（I）的解必是（II）的解，（2）（II）的解必是（I）的解，（3）（I）的解不是（II）的解，（4）（II）的解不是（I）的解，以上命题中正确地是 1 0 n A x   （A）(1)(2)；（B）(1)(4)；（C）(3)(4); （D）(2)(3). 二、填空题 1.四元齐次线性方程组的基础解系是_________。 1 4 3 4 2 0 3 0 x x x x        2.已知齐次线性方程组   有无穷多解，那么a 123 1 2 123 330 2 3 2 0 ax x x xa x x xxx           3 0  _______ . 3.已知方程组 12 3 12 3 12 3 2 3 6 4 11 xx xa xx xa x x xa     2 3          有无穷多解，那么a  _______ . 4.已知方程组 1 23 4 12 3 4 2 34 2 3 2 43 2 6 x xx x xx x x ax x x      1    5      无解，则a  _______

5.设1   (6, 1,1)T 与 2  ( 7, 4, 2)T 是线性方程组 11 2 33 4 123 1 23 321 25 8 ax a ax a xxx x xx            的两个解，那么此方程组的通解是___________. 6.设线性方程组 A3 4 x b   ，即（1） 11 1 12 2 13 3 14 4 1 21 1 22 2 23 3 24 4 2 31 1 32 2 33 3 34 4 3 ax ax ax ax b ax ax ax ax b ax ax ax ax b         有通解 [1, 2, 1,1] [1, 1, 0, 2] ，其中 k 是任意常数，则方程组 T k   T B3 3 y b   即 12 1 13 2 14 3 1 22 1 23 2 24 3 2 32 1 33 2 34 3 3 a y a y a y b a y a y a y b a y a y a y b         （2）有一个特解是__________。 7.设线性方程组 3 3 x b  ，即 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b               A （1）有唯一解 [1, 2, 3] 。T   方程组 B3 4 y  b  即 11 1 12 2 13 3 14 4 1 21 1 22 2 23 3 24 4 2 31 1 32 2 33 3 34 4 3 a y a y a y a y b a y a y a y a y b a y a y a y a y b         （2）有特解 [ 2,1, 4, 2] ，则方程组（2）的通解是__________。 T    8.设 A a  [ ]ij 是三阶正交矩阵，其中a b 33   1, [0, 0, 5]T ，则线性方程组 Ax b  的解是 __________。 9.已知齐次线性方程组（1） 11 1 12 2 13 3 14 4 21 1 22 2 23 3 24 4 0 0 ax ax ax ax ax ax ax ax      有通解 k k 1 2 [2, 1, 0,1] [3, 2,1, 0]   T T ，则方程组 11 1 12 2 13 3 14 4 21 1 22 2 23 3 24 4 1 24 0 0 2 0 ax ax ax ax ax ax ax ax x xx          （2）的通解是__________________________

南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）考研辅导练习题——第四部分 线性方程组

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