南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（自测题）定积分

南阳师范学院《数学分析》一定积分 (数学与应用数学) 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划X) 1.若函数f(x)在(-0，+o)上连续，则对任意的三个常数a,b,c,都有 (s-f( 2.6≤∫(1+x)dk≤10. () 3.设函数fm)是以T为周期的连续函数，则fuh=2"f0h,a∈R.（ 4[sin2dsin2t(其中a<b). 5.函数fx)在[a,b]上连续是函数fx)在[a,b上可积的充要条件. 6设函数/在a创上连续，则层0)=0， 7.函数fx)在[a,b1上连续，fx)≥0，且fx达=0，则fx)=0. &.若f0h=-cOsxe,则f)=e(cosx-sinx). 9.若函数f(x)在闭区间[a,b1单调，则函数f(x)在[a,b可积. 10曲线y=edh在(-0,0)上是凸的，在0o)上是四的. n如果广品女=L则a=e 12.如果Fx)是fx)的一个原函数，则∫ef(e)=F)-FO). 13=0 14.若函数fx)在R上连续，则3x2fx)d=∫心f0)d0. 15.当x→0时，sn是x的高阶无穷小 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1.fx)=sinx在[0，π]上的平均值为

1 南阳师范学院 《数学分析》---定积分 （数学与应用数学） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1.若函数 f x( ) 在 ( , )   上连续，则对任意的三个常数 abc , , ，都有 ( ) ( ) ( ) b c c a a b f x dx f x dx f x dx      . （ ） 2.   4 2 1 6 1 10    x dx  . （ ） 3.设函数 f x( ) 是以 T 为周期的连续函数，则 0 ( ) ( ) , T a T a f t dt f t dt a R      . （ ） 4. 3 3 sin sin b b a a xdx x dx    (其中 a b  ）. （ ） 5.函数 f x( ) 在 a,b 上连续是函数 f x( ) 在 a,b 上可积的充要条件. （ ） 6.设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，则   ( ) 0 b a d xf t dt dx   . （ ） 7.函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续， f x( ) 0,  且 ( ) 0 b a f x dx   ，则 f x( ) 0.  （ ） 8.若 0 ( ) cos x x f t dt xe   ，则 ( ) (cos sin ) x f x e x x   . （ ） 9.若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 单调，则函数 f x( ) 在 [ , ] a b 可积. （ ） 10 曲线 2 0 x t y e dt   在 ( ,0)  上是凸的，在 (0, )  上是凹的. （ ） 11. 如果 2 1, ln e e dx x x    则   e . （ ） 12. 如果 F x( ) 是 f x( ) 的一个原函数，则 1 0 ( ) (1) (0) x x e f e dx F F    . （ ） 13. 2015 1 2 11 x dx x     0. （ ） 14. 若函数 f x( ) 在 R 上连续，则 2 3 3 ( ) ( ) ( ) b b a a x f x dx f t d t    . （ ） 15. 当 x 0 时， 2 0 sin x tdt  是 2 x 的高阶无穷小. （ ） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. f x x ( ) sin  在 [0, ]  上的平均值为

2.["x'sin'xdx= 3.设fx)是连续函数，且fx)=x+2f)d,则fx)= .xows 三、选择题 1.设fx)在[a,b1上可积，则() Afx)在[a,b]上连续Bf(x)在[a,b)上有界 Cfx)在[a,b1上可导Dfx)在[a,b1上可微 2.若函数fx)和g(x)在[a,b1上都连续，则下列等式不一定成立的是( A[x)±gx本=广fx±gx B∫kxd=fx本(k为常数). cfh=-∫fx Dfxg(x达=fx[g(x 3.设fx)是连续函数且∫fx)d本=F(x)+C,则下列等式错误的是( A ['f(tdt=F(x)-F(a) BF(-F() cF(=f() D F(=f(x) 4.设fx)在[a,b上连续，且fx=1,求fa+b-xk() B 2 C-1D-2 5.若f)在0，]上连续，∫fx=1,则f-x=（)。 A1 B2 C-1D-2 6.在闭区间[-1,1]上不可积的函数是(). A:f(x)= xsin≠0， B:f(x)= rcos7x≠0， 0,x=0. 0,x=0

2 2. 4 5 x xdx sin     . 3.设 f x( ) 是连续函数，且 1 0 f x x f t dt ( ) 2 ( )    ，则 f x( )  . 4. 2 0 2 cos _____________ x d x t dt dx   三、 选择题 1.设 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积，则（ ）. A f x( ) 在 [ , ] a b 上连续 B f x( ) 在 [ , ] a b 上有界 C f x( ) 在 [ , ] a b 上可导 D f x( ) 在 [ , ] a b 上可微 2.若函数 f x( ) 和 g x( ) 在 [ , ] a b 上都连续，则下列等式不一定成立的是（ ）. A  ( ) ( ) ( ) ( )  b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       B ( ) ( ) b b a a k f x dx k f x dx    （ k 为常数）. C ( ) ( ) b a a b f t dt f x dx     D ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     3.设 f x( ) 是连续函数且 f x dx F x C ( ) ( )    ，则下列等式错误的是（ ）. A ( ) ( ) ( ) x a f t dt F x F a    B ( ) ( ) x a F t dt F x          C ( ) ( ) x a F t dt f x    D ( ) ( ) x a F t dt f x           4. 设 f x 在 a,b 上连续，且   1  f x dx b a ，求 f a b xdx b a   （ ）. A 1 B 2 C -1 D -2 . 5. 若 f x( ) 在 [0,1] 上连续， 1 0 f x dx ( ) 1   ，则 1 0 f x dx (1 )    （ ）. A 1 B 2 C -1 D -2 6.在闭区间 [ 1,1]  上不可积的函数是（ ）. A： 1 sin , 0, ( ) 0, 0. x x f x x x         B： 2 2 1 cos , 0, ( ) 0, 0. x x f x x x        

C:f(x片sgn D:f(x(x+) 1 7.设有以下四个条件： ①f(x)在[a,b]上连续②f(x)在[a,b]上有界 ③f(x)在[a,b]上可导 ④f(x)在[a,b上可积 则这四个条件之间的关系是( A:③→①→①H② B:③→①→② C:③→②→①→④ D:①→③→④→② 8.下列等式错误的是()· A:∫fx=f)+C B (frxd)=) c.rds)=() D:["f(x)dx=f(b)-f(a) 9.若函数f(x)在闭区间[-a,ad上都连续，则下列等式成立的是( A:∫fxt=0 B:∫fx=∫[fx)-f-x C:∫fx=2fx本 D:∫二fx=g/)+f-xh 四、计算题 1.计算下列定积分 ”r 2)aretanxdx 3)xsinxdx ∫arctan4 1 2.求下列极限 g)✉a0h 0包 ∫e x2

3 C： f x x ( ) sgn  D： 1 ( ) ( 1) f x x x   7.设有以下四个条件： ① f x( ) 在 [ , ] a b 上连续 ② f x( ) 在 [ , ] a b 上有界 ③ f x( ) 在 [ , ] a b 上可导 ④ f x( ) 在 [ , ] a b 上可积 则这四个条件之间的关系是（ ）. A：③  ④  ①  ② B：③  ①  ④  ② C：③  ②  ①  ④ D：①  ③  ④  ② 8.下列等式错误的是（ ）. A： f x dx f x C ( ) ( )    B：  ( ) ( )  d f x dx f x dx   C：   ( ) ( ) b a d f x dx f x dx   D： ( ) ( ) ( ) b a f x dx f b f a     9. 若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a a 上都连续.，则下列等式成立的是（ ）. A： ( ) 0 a a f x dx    B：   0 ( ) ( ) ( ) a a a f x dx f x f x dx       C： 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx     D：   0 ( ) ( ) ( ) a a a f x dx f x f x dx       四、计算题 1. 计算下列定积分 1） 2 1 x e dx x  2） 3 0 arctan xdx  3） 0 x xdx sin   4） 2 1 arctan x dx x  5） 1 1 1 ln e dx x x   2. 求下列极限 （1） 3 0 2 0 sin lim x t dt x x   . （2） x e dt x t x ln lim 1 1 2   . （3）   2 0 0 ln 1 lim x t dt x x    （4） 2 0 2 0 cos lim x x t tdt  x  （5） 2 2 0 2 0 1 lim x x t dt  x   . （6） 1 2 cos 0 2 0 lim arcsin t x x x e dt t dt    

3.设fx)有连续的导数，f0)=0,f(0)≠0，Fx)=∫(x2-i产f)d 讨论当k取何值时，F'()与x是x→0时的同阶无穷小 4.设函数F(x)=∫-1)h.求 (1)求函数F(x)的单调区间： (2)求函数F(x)的极值 五、综合题 1.证明若函数)是以T为周期的连续函数，则fut=fh,a∈R。 2.证明若函数fx)在[-a,a连续，且f(x)是偶函数，则 ∫Cfx=2fxt. 3.证明若函数fx)在-a,ad连续，且f(x)是奇函数，则∫fx本=0 4.设函数f)在R连续，则f(sinx本=f(cosx)本。 5.设fx)在[a,b上连续，且fx)>0, xf-可a,el 证明方程F(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根。 6.叙述并证明积分第一中值定理

4 3. 设 f x 有连续的导数， f (0) 0  ， f (0) 0  ， 2 2 0 ( ) ( ) ( ) x F x x t f t dt    ， 讨论当 k 取何值时， F x ( ) 与 k x 是 x 0 时的同阶无穷小. 4. 设函数 1 ( ) ( 1) x F x t t dt    .求 （1）求函数 F x( ) 的单调区间； （2）求函数 F x( ) 的极值. 五、综合题 1.证明 若函数 f x( ) 是以 T 为周期的连续函数，则 0 ( ) ( ) , T a T a f t dt f t dt a R      . 2. 证 明 若函数 f x( ) 在 [ , ] a a 连续，且 f x( ) 是偶函数，则 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx     . 3.证明 若函数 f x( ) 在 [ , ] a a 连续，且 f x( ) 是奇函数，则 ( ) 0 a a f x dx    . 4.设函数 f x( ) 在 R 连续，则 2 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) (cos )      . 5. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续, 且 f x( ) 0  ， 1 ( ) ( ) ( ) x b a x F x f t dt dt f t     , x a b [ , ] 证明方程 F x( ) 0  在 ( , ) a b 内有且仅有一个根. 6. 叙述并证明积分第一中值定理