第一部分矩阵与行列式 、选择题 .A=dz an as B=2az dus da+az 且4=m,则B= a1aa」2a1aga1+a (A)m:(B)-8m:(C)2m:(D)-2m. 2.下列n阶行列式中，取值必为1的是 11 11 (A) (B) 11 1 00…01 10 01…00 (c) 1. (D)非：.： .0 00…10 10 10…00 3.设a,a,a,月，B2均为4维列向量，A=[a,a2,a,B],B=[a,a,a2,B],且 A=1B=2,则A+B= (A)9:(B)6:(C)3:(D)1. 4.设A=[a,a2,a]是三阶矩阵，则A= (A)a-a a-a a-a:(B)a+a,a+a,a;+al: (c)a+2a,aa+al:(D)aa+a,a+a 5.已知a,a2,月，月，y都是3维列向量，且行列式 la月1=laB=la月=la月，Y=3, 那么-2ya4+a月+2B= (A)18:(B)36:(C)64:(D)-96. 6设n阶矩阵A=a,a,,a,1B=[a,a,a,,a小，若行列式=l,则4-- (A)0:(B)2:(C)1+(-1)1(D)1+(-1)n
第一部分 矩阵与行列式 一、选择题 1.设 11 12 13 11 13 11 12 21 22 23 21 23 21 22 31 32 33 31 33 31 32 2 , 2 2 a a a a a aa A aaaB aaaa aa a aa aa ，且 A m，则 B （A） m ；（B） ；（ 8m C） ；（ 2m D） 2m。 2.下列 n 阶行列式中，取值必为‐1 的是 （A） 1 1 1 1 ； （B） 1 1 1 1 1 1 1 1 ； （C） 0 1 1 0 1 0 1 0 ； （D） 00 01 01 00 00 10 10 00 . 3. 设 12312 ,,,, 均 为 4 维列向量， 12 31 312 2 A B [ , , , ], [ , , , ] ， 且 A B 1, 2 ，则 A B （A）9； （B）6； （C）3； （D）1. 4.设 123 A [, , ] 是三阶矩阵，则 A （A） 12 23 3 1 ； （B） 12 2 3 31 ； （C） 1 232 2 1 ； （D） 1 23 21 。 5.已知 1212 ,,,, 都是 3 维列向量，且行列式 11 1 2 21 2 2 3， 那么 12 1 2 2 2 n （A）‐18； （B）‐36； （C）64； （D）‐96. 6.设 n 阶矩阵 1 2 12 1 [ , , , ], [ , , , , ] A B n n ，若行列式 A 1，则 A B （A）0； （B）2； （C）1+（‐1）n+1； （D）1+（‐1）n
[1020 0-200 7.设矩阵A= -010矩阵B满足AB+B+A+2E=0.则B+ 0001J 1 (A)-6:(B)6:(C) 1 2:o)2 「200] 8.已知A=013,矩阵B满足AB+2A=B,其中A是A的伴随矩阵，则B= 025 1 9.设A为三阶方阵，金是A的件随矩阵，4-=；，则4A-(3A)川 (A)}(B)3:(c)6:(D)9. 10.已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a,则D= (A)0:(B)a2:(c)-a2:(D)na2. 11.设A是三阶矩阵，A是A的伴随矩阵，己知A的每行元素之和为k,A的每行元素之 和为m,则A= Ahm:(B)(Irm:(cg(o(-旷高 12.设A是三阶矩阵，其中a1≠0，A,=a,i=1,2,3,j=12,3,则24= (A)0:(B)2:(C)4:(D)8. 13.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且n>m,则必有 (A)4B=0:(B)BA=0:(C)4B=BA:(D)AB4B=4B4B. 14.设A,B是n阶矩阵，则下列结论正确的是 (A)AB=O白A=O且B=O: (B)A=0A=0: (c)AB=0台A=0或B=0: (D)A=1÷A=E
7.设矩阵 ，矩阵 1 0 20 0 200 1 0 10 0 0 01 A B 满足 AB B A E O 2 ，则 B E （A）‐6；（B）6；（C） 1 12 ；（D） 1 12 8.已知 ，矩阵 200 013 025 A B 满足 * 1 AB A B 2 * ，其中 是A A 的伴随矩阵，则 B （A） 2 15 ；（B） 2 9 ；（C） 1 30 ；（D） 1 12 。 9.设 A 为三阶方阵， 是* A A 的伴随矩阵， 1 3 A ，则 * 1 4 (3 ) A A （A） 1 3 ；（B）3；（C）6；（D）9. 10.已知 阶行列式 的某一列元素及其余子式都等于 ，则 2n D a D （A）0；（B） ；（ a 2 C） ；（ a 2 D） 。2 na 11.设 A 是三阶矩阵， 是* A A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 ， 的每行元素之 和为 ，则 k * A m A （A） km ；（B）( 1) ；（C） n km m k ；（D） 1 n k m 。 12.设 A 是三阶矩阵，其中 ， 11 a 0 , 1, 2,3, 1, 2,3 A ai j ij ij ，则 2 T A （A）0；（B）2；（C）4；（D）8. 13.设 A 是 矩阵， m n B 是 矩阵，且 ，则必有 n m n m （A） AB 0；（B） BA 0；（C） AB BA ；（D） AB AB AB AB 。 14.设 A, B 是 阶矩阵，则下列结论正确的是 n （A） AB O A O 且 ； B O （B） AO A 0； （C） AB A 0 0或 B 0； （D） A 1 A E
[00521 15.设A= 0021 1300 ,则A= 1200 「001-2 「00-231 (A) 00-25 :(B) 001-1 2-300 1-200 -1100 -2500 「001-3] [00-131 (c) 00-12 1-200o 001-2 -1200 -2500 2-500 16.设A,B均为n阶可逆矩阵，正确的法则是 (A)(A+B)(A-B)=A-B2; (B)(A+B)=A+B: (C)(A+B)2=A2+2AB+B2: (D)(AB)=BA。 17.设A是n阶可逆阵，则下列等式不成立的是 (A)(A+)=A2+2A4+(A)P: (B)(4+4)=4+244+(4); (C)(A+Ay2=A2+2AA+(A): (D)(A+E)2=+2AE+E2. 18.设A,B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)2=E,则(E+BA= (A)(A+B)B:(B)E+AB:(C)A(A+B):(D)(A+B)A. 19.设A,B均为n阶方阵，且(AB)=E,则必有 (A)A-=B:(B)AB=E AB=-E:(C)AB=E:(D)A-=BAB 20下列命题中，(1)如果矩阵AB=E,则A可逆，且A=B:(2)如果n阶矩阵A,B满
15.设 ，则 0052 0021 1300 1200 A 1 A （A） ；（B） 001 2 0 0 25 2 30 0 11 0 0 0 0 23 001 1 1 20 0 25 0 0 ； （C） ；（D） 001 3 0 0 12 1 20 0 25 0 0 0 0 13 0 0 1 2 12 0 0 2 50 0 。 16.设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，正确的法则是 （A） ； 2 2 ( )( ) ABAB A B （B） ； 1 1 ( ) AB A B 1 2 * （C） ； 2 2 () 2 A B A AB B （D） 。 * * ( ) AB B A 17.设 A 是 阶可逆阵，则下列等式不成立的是 n （A） ； 12 2 1 12 ( ) 2( A A A AA A ) 2 ) T ) 2 （B） ； 2 2 ( ) 2( T T A A A AA A （C） ； *2 2 * *2 ( ) 2( A A A AA A （D） 。 2 2 () 2 A E A AE E 18.设 A, B 均为 阶可逆矩阵，且 n 2 ( ) AB E ，则 1 1 ( ) E BA （A）(A B B) ；（B） ；（C） 1 E AB A(A B ) ；（D）( ) A B A 。 19.设 A, B 均为 阶方阵，且 n 2 ( ) AB E ，则必有 （A） ；（B） 1 A B AB E 或 AB E ；（C） AB E ；（D） 1 A BA B 20 下列命题中，（1）如果矩阵 AB E ，则 A 可逆，且 1 A B ；（2）如果 n 阶矩阵 A, B 满
足(AB)2=E,则(BA)=E:(3)如果矩阵AB均为n阶不可逆，则A+B必不可逆：(4) 如果矩阵A,B均不可逆，则AB必不可逆。 上述命题中，正确的命题有 (A)(1)(2):(B)(1)(4):(C)(2)(3):(D)(2)(4)。 21.设A,B均为n阶矩阵，且AB=A+B,则 (1)若A可逆，则B可逆，(2)若B可逆，则A+B可逆，(3)若A+B可逆，则AB可 逆，(4)A-E恒可逆。 上述命题中，正确的命题共有 (A)1个：(B)2个：(C)3个：(D)4个 22.关于命题“方阵A满足=A,且A≠E,则A不可逆”有如下四种证明，正确的是 (A)由于A2=A,所以A=A,故AA-1)=0,因为A≠E,故A≠1，因此A=0, A不可逆。 (B)由于=A,故A(A-E)=0,由于A≠E,从而A-E≠O,故A=O,所以A不 可逆。 (C)反证法：若A可逆，在A=A两边左乘A,得A=E,与假设条件A≠E矛盾， 所以A不可逆。 (D)由于=A,故AA-E)=0,从而AA-E=0,而A≠E,所以A-E≠0 因此A=0,A不可逆。 23.设A,B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 (A)A+B是对称矩阵。(B)AB是对称矩阵。 (C)A+B*是对称矩阵。(D)A-2B是对称矩阵。 24.设A,B均为三阶反对称矩阵，且AB=BA,则下列结论不正确的是 (A)A+B是反对称矩阵。(B)AB是对称矩阵。 (C)A+B*是反对称矩阵。(D)2A+3B是反对称矩阵。 25.设A=E-25,其中5=[x,x2,,x了，且有55=1，则结论(1)A是对称阵： (2)A是单位阵：(3)A是正交阵：(4)A是可逆阵中正确的个数是 (A)1.(2)2.(3)3.(4)4. 26.设A为正交矩阵，则下列不一定为正交阵的是
足 ，则 2 ( ) AB E 2 ( ) BA E ；（3）如果矩阵 A, B 均为 n 阶不可逆，则 A B 必不可逆；（4） 如果矩阵 A, B 均不可逆，则 AB 必不可逆。 上述命题中，正确的命题有 （A）（1）（2）；（B）（1）（4）；（C）（2）（3）；（D）（2）（4）。 21.设 A, B 均为 阶矩阵，且 n AB AB ，则 （1）若 A 可逆，则 B 可逆，（2）若 B 可逆，则 A B 可逆，（3）若 A B 可逆，则 AB 可 逆，（4） A E 恒可逆。 上述命题中，正确的命题共有 （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个。 22.关于命题“方阵 A 满足 ，且 2 A A A E ，则 A 不可逆”有如下四种证明，正确的是 （A）由于 ，所以 2 A A 2 A A ，故 A A( 1) 0，因为 A E ，故 A 1，因此 A 0， A 不可逆。 （B）由于 ，故 ，由于 2 A A AA E ( ) 0 A E ，从而 AE O ，故 ，所以 A O A 不 可逆。 （C）反证法：若 A 可逆，在 两边左乘 2 A 1 A A ，得 A E ，与假设条件 A E 矛盾， 所以 A 不可逆。 （D）由于 ，故 ，从而 2 A A AA E ( ) 0 AA E 0 ，而 A E ，所以 A E 0 ， 因此 A 0， A 不可逆。 23.设 A, B 均为 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 n （A） A B 是对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。 （C） 是对称矩阵。（D） * A B * A 2B 是对称矩阵。 24.设 A, B 均为三阶反对称矩阵，且 AB BA ，则下列结论不正确的是 （A） A B 是反对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。 （C） 是反对称矩阵。（D） 2 3 A B 是反对称矩阵。 * A B * 25.设 2 T A E ，其中 1 2 [, , , ]T n x x x ，且有 1 T ，则结论（1） A 是对称阵； （2） 是单位阵；（3）A 是正交阵；（4）A 是可逆阵中正确的个数是 2 A （A）1. （2）2. （3）3. （4）4. 26.设 A 为正交矩阵，则下列不一定为正交阵的是
(A)A。(B)。(3)A。(4)k4k≠0). 7 27.设A=a1a24aB=4: a42 「100][100][0101 R=010B=010B=100则B= 201021001 (A)PPA。(B)BPA。(C)APB·(D)APB· 28.已知AB均是三阶矩阵，将A中第3行得-2倍加至第2行得到矩阵A,将B中第2列 「100 加至第1列得到矩阵B,又知AB=020,则AB 003 「100]「1001「1001「1001 A)-226。(B)226(C)-124(D)12-4 003003003003 [123]「0011「1001 29.设A=456,P=010,2=-110,那么(P-1)A001)= 789100001 [80451005712069] 「402323] (A)456。(B)1005956。 7 8 9」 1609589 「1231 「120133] (c)201540276039.(D)480496 789 7140859 30.设A与B均为n阶矩阵，且A与B等价，则不正确的命题是 (A)A>0,则B>0 (B)如果A≠0，则有可逆矩阵P使PB=E。 (C)如果A等价于E,则B是可逆矩阵。 (D)有可逆矩阵P与Q,使PAQ=B
（A） 。（B） 。（3） 。（4） T A 2 A * A kA k( 0 ) 。 27.设 ， 11 12 13 21 22 23 21 22 23 11 12 13 31 32 33 31 11 32 12 33 13 , 222 aaa a a a Aa a a B a a a aa a a aa aa a 123 100 100 010 0 1 0, 0 1 0, 1 0 0 201 021 001 PPP ，则 B （A） 。 PPA 1 3 （B） 。（ PPA 2 3 C） 。（ AP P3 2 D） 。 APP1 3 28.已知 A, B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行得‐2 倍加至第 2 行得到矩阵 ，将 A1 B 中第 2 列 加至第 1 列得到矩阵 B1，又知 A B1 1 100 0 2 0 003 ，则 AB （A） 。（B） 1 00 226 0 03 10 0 2 2 6 00 3 。（C） 1 00 124 0 03 。（D） 10 0 12 4 00 3 。 29.设 ，那么 123 001 1 00 4 5 6, 0 1 0, 1 1 0 789 100 0 01 APQ 2012 1 2011 1 P AQ( ) （A） 。（B） 8045 10057 12069 45 6 78 9 4023 2 3 10059 5 6 16095 8 9 。 （C） 。 （D） 123 2015 4027 6039 789 1 2013 3 4 8049 6 7 14085 9 。 30.设 A 与 B 均为 阶矩阵，且 n A 与 B 等价，则不正确的命题是 （A） A 0，则 B 0。 （B）如果 A 0 ，则有可逆矩阵 使P PB E 。 （C）如果 A 等价于 E ，则 B 是可逆矩阵。 （D）有可逆矩阵 与P Q ，使 PAQ B
「a2-131 31.设A=24-26,B是4×2的非零矩阵，且AB=0,则 -1-2a-3 (A)a=1时，B的秩必为2.(B)a=1时，B的秩必为1. (c)a≠1时，B的秩必为1.(D)a≠1时，B的秩必为2. 32.若A,A和B均是n阶非零矩阵，且AB=0,则必有r(B)= (A)1.(B)2.(C)n-1。 (D)条件不够不能确定。 「11111 33.已知A= 01-1a A是A的伴随矩阵，若r(A)=1,则a= 23a4 3519 (A)3.(B)2.(C)1.(D)1或3. 34.设A为四阶方阵，且满足A=A,则r()+r(A-E)= (A)4.(B)3.(C)2.(D)1. 二、填空题 |1a0 0 -12-aa 0 10-23-aa 00-34-a a+b a a 2. aa+b a a as+b a a a.+6 a,o az 3040 909 0 o d o d. 9876 4.行列式D= 1234 123334 1234
31.设 ， 2 13 2 4 26 12 3 a A a AB 0，则 B 是 4 2 的非零矩阵，且 （A） 时， a 1 B 的秩必为 2. （B） a 1时， B 的秩必为 1. （C） 时， a 1 B 的秩必为 1. （D） a 1时， B 的秩必为 2. 32.若 和* A A, B 均是 阶非零矩阵，且 n AB 0，则必有r B( ) （A）1. （B）2. （C） 。 n 1 （D）条件不够不能确定。 33.已知 ， 是 11 1 1 01 1 23 4 35 1 9 a A a * A A 的伴随矩阵，若 r A* ( )1 ，则 a （A）3. （B）2. （C）1. （D）1 或 3. 34.设 A 为四阶方阵，且满足 ，则 2 A A rA rA E () ( ) （A）4. （B）3. （C）2. （D）1. 二、填空题 1. 1 00 12 0 ______ . 0 23 0 0 34 a a a a a a 2. 1 234 12 3 4 1 23 4 1 2 34 _________. ab a a a a ab a a a a ab a a a a ab 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 _________. 0 0 0 0 a a b b c c d d 4.行列式 22 2 33 3 98 7 6 12 3 4 _____. 12 3 4 12 3 4 D
1111 5.行列式D= 222232 33233 442434 x a b 6.方程axb=0的根是 a b x 0x 7.设f(x)=12x,则f(x+1)-f(x)= 13x2 111 8.在xOy平面上，平面曲线方程y=24x,则平面曲线与x轴的交点的坐标是 39x2 9.设A=[a,a,a]是3阶矩阵，且4=4，若B=a-3a2+2a,a2-2a,2a,+a], 则= 10.设四阶方阵A=[CY2,Y,y小A=[BY2,Y3,y4],其中a,B,72,Y3,Y均为四维列向量， 且A=4,B=-1,则A-3B= 11.若三阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1,3,2，B是B的伴随矩阵，则行列式 1234 12设四阶行列试4=日346 Γ3412 则4+24+41+2A=— 2222 13.设a=,3,-2),B=(2,0,0),A=a,则A=_ [0101 14.设A=10-1则49= 0-10
5.行列式 234 234 234 11 1 1 22 2 2 ______. 33 3 3 44 4 4 D 6.方程 0 xab axb abx 的根是___________。 7.设 2 3 1 0 () 1 2 1 3 x f x x x ，则 fx fx ( 1) ( ) _______ . 8.在 xOy 平面上，平面曲线方程 2 11 1 2 4 3 9 y x x 轴的交点的坐标是______. x ，则平面曲线与 9.设 123 A [, , ] 是 3 阶矩阵，且 A 4 ，若 1 2 32 3 2 B [ 3 2 , 2 ,2 ] 3 ， 则 B ______. 10.设四阶方阵 234 234 A A [ , , , ], [ , , , ] ，其中 234 ,, , , 均为四维列向量， 且 A B 4, 1，则 A B 3 _______. 11.若三阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1,3，‐2， * B 是 B 的伴随矩阵，则行列式 1 * ______. 2 T A B 12.设四阶行列式 1234 0346 3412 2222 A ，则 11 21 31 41 A AA A 2 2 _____. 13.设 (1,3, 2) , (2, 0, 0) , T T A T 3 ，则 A ______. 14.设 ，则 01 0 10 1 0 10 A 99 A ________
[1201 15.若A=340,则矩阵A的伴随矩阵A= 005 16.已知a1=(L,0,0),a2=(L,2,-1),a=(-1,l,0)且 Aa=(2,1),Aa=(-l,1,4a=(3,-4),则A= 17.设A=E+B,其中a,B是n维列向量，且aB=3,则(A+2E)= 18设A是n阶矩阵，满足A=0,则(E-4A)= 「90-61 19.设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B,A=0150 0021 则(B-2E)= 「1001 20.设A=610 B=(E-A0(E+2A0,则(B-E)= 361 「12001 1300 1四阶矩阵A和B满起2AB=AB+6E,者40)02 则B 00-10 [4-2001 -3100 22.设矩阵4的伴随矩阵A= 0040则4= 1000-1 1 aaa 23.设A= 0 1 aa 001a 4是A中元素马的代数余子式则2空4=— 0001 24.设A为”阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于a,则4每一行的元素之和为 「0111 25.已知三阶矩阵A的逆矩阵为4=101， 则矩阵A的件随矩阵A的逆矩阵 110
15.若 ，则矩阵 120 340 005 A A 的伴随矩阵 * A _________ . T 16.已知 12 3 (1, 0, 0) , (1, 2, 1) , ( 1,1, 0) T T 且 12 3 (2,1) , ( 1,1) , (3, 4) T T AA A T ，则 A ________ . 17.设 T A E ，其中, 是 维列向量，且 n 3 T ，则 1 ( 2 ) _________. A E 18.设 A 是 阶矩阵，满足 n 5 A O ，则 1 ( ) _________. E A 19.设 A, B 均为三阶矩阵， E 是三阶单位矩阵，已知 AB A B 2 3 1 ( )( 2 ) ， ， 则 90 6 0 15 0 0 0 21 A 1 ( ) _________ B E 2 . 20.设 ， 100 610 361 A B E AE A 1 B E) _______. 1 ，则( 21.四阶矩阵 A 和 B 满足 2 6 BA AB E ，若 12 0 0 13 0 0 00 0 2 00 10 A A ，则 B ________ . A 的伴随矩阵 * 4 20 0 31 0 0 0 0 40 000 1 A ，则 A _________ . 22.设矩阵 23.设 ， 2 3 2 1 0 1 00 1 00 0 1 aa a a a A a Aij 是 A 中元素 的代数余子式，则 ij a n n 1 1 _______. ij i j A 24.设 A 为 阶可逆矩阵，其每一行元素之和都等于 ，则 n a 1 A 每一行的元素之和为______. A 的逆矩阵为 1 011 101 110 A ，则矩阵 A 的伴随矩阵 的逆矩阵 * A 25.已知三阶矩阵
(A)= 「2011「100] 26.已知A=030,B=0-10,若X满足X+2B=BA+2X,那么 202000 X2= 「1-20 27.设4=215 B是三阶矩阵，则满足AB=O的所有的B=— 011 x-2 28若22 46则*- 「12341「01-127 2345B= 29.已知A=3456 0-123 0014则秩(AB+2A)= 4567 0002 「0100 a4-880 ,才是4的件随矩阵，则r(4)）=— [0000 31.设A是五阶矩阵，A是A的件随矩阵，若7，乃是齐次线性方程组4红=0的两个坐标不 成比例的解，那么(4)= 「221 「1-221 32.设1-22]经初等行变换化成3阶梯形矩阵B一02一小初等变换过程 r436-06]0:.在 可逆阵P,使得PA=B,其中P=- 「2001「2007 3.已知4=001与B=060相似，则4+E)= 01a 00-1
* 1 ( ) ____. A 26. 已 知 ， 若 201 1 0 0 0 3 0, 0 1 0 202 0 0 0 A B X 满 足 AX B BA X 2 2 ，那么 2 X _______ . 1 2 A 2 1 27.设 ， 0 5 011 B 是三阶矩阵，则满足 AB O 的所有的 B _____ . 28.若 ，则 1 1 2 2 X 2 3 4 6 r AB A ( 2 ) __________ . X _____ . 29.已知 ，则秩 1234 0 1 12 2345 0 1 2 3 , 3456 0 0 1 4 4567 0 0 0 2 A B * A 30.设 ， 是 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0001 0000 * * A 的伴随矩阵，则 r A( ) ____. 31.设 A 是五阶矩阵， 是 * A A 的伴随矩阵，若 1 2 , 是齐次线性方程组 的两个坐标不 成比例的解，那么 Ax 0 * r A( _____. ) 32.设 经初等行变换化成 3 阶梯形矩阵 2 2 1 2 A 1 2 1 22 0 2 1 B 2 1 22 3 02 1 ，初等变换过程 如下 。故矩阵在 可逆阵 ，使得 2 2 1 2 P 1 2 PA B 1 22 1 2 221 06 A B ，其中 P _______ . 33.已知 与 200 0 1 0 1 a 20 0 0 0 0 0 1 B b A 0 相似，则 rA E ( ) ____ .