第十三章高数列与品数项级数 一、基本内容 ·1、函数列与函数项级数一致收敛性的定义 2、函数列与函数项级数一致收敛性的判别法 3、一致收敛函数列与函数项级数的性质 ·二、目的与要求 理解函数列的基本概念，能够利用εN语言过论函数列的一致收敛性： 掌握关于函数列的一致收敛性的判别法：，熟练掌握一致收敛的函数列 与其极限函数的连续性、可积性之间的关系：熟练掌握函数项级数的 致收敛性的判别法：，熟练掌握一致收敛的函数项级数与其和函数的 连续性、可积性之间的关系 ·三、重点与难点 ·重点：函数列一致收敛的概念、性质 ·难点：一致收敛的概念、判别及应用 前项
前页 后页 返回 第十三章 函数列与函数项级数 • 一、基本内容 • 1、函数列与函数项级数一致收敛性的定义 • 2、函数列与函数项级数一致收敛性的判别法 • 3、一致收敛函数列与函数项级数的性质 • 二、目的与要求 • 理解函数列的基本概念，能够利用-N语言讨论函数列的一致收敛性； 掌握关于函数列的一致收敛性的判别法；熟练掌握一致收敛的函数列 与其极限函数的连续性、可积性之间的关系；熟练掌握函数项级数的 一致收敛性的判别法；熟练掌握一致收敛的函数项级数与其和函数的 连续性、可积性之间的关系 • 三、重点与难点 • 重点：函数列一致收敛的概念、性质 • 难点：一致收敛的概念、判别及应用
§13.1一致收敛性 1、函数列及其收敛的定义 fi,f2,…,fn, () 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E 上的函数列.(1)也可记为 {fn}或f,n=1,2,… 以x。∈E代入()，可得数列 fi(o),f(xo),…,fn(xo)…. (2) 前页 后页 返
前页 后页 返回 §13.1 一致收敛性 1、函数列及其收敛的定义 1 2 , , , , (1) n f f f 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 { } , 1,2, . f f n n n 或 以 0 x E 代入 (1), 可得数列 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . (2) n f x f x f x
如果数列(2)收敛，则称函数列(1)在点x收敛，x,称 为函数列1)的收敛点.如果数列2)发散，则称函数 列(I)在点x,发散.当函数列(1)在数集DcE上每一 点都收敛时，就称(1)在数集D上收敛.这时D上每 一点x都有数列{f,(x)}的一个极限值与之相对应， 根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数 列(1)的极限函数.若将此极限函数记作∫则有 limf(x)=f(x),x∈D 前
前页 后页 返回 0 x 0 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, x 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 0 x 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x { ( )} n 一点 都有数列 f x 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 lim ( ) ( ) , n n f x f x x D
或 fn(x)→f(x)(n>oo),x∈D. 函数列极限的-N定义：对每一固定的x∈D,任 给正数6，总存在正数N(注意：一般说来N值与ε和 x的值都有关，所以有时也用N(&,x)表示三者之间 的依赖关系)，使当n>N时，总有 If (x)-f(x)s. 使函数列{f}收敛的全体收敛点集合，称为函数列 {f}的收敛域 前页 后页 返回
前页 后页 返回 或 ( ) ( ) ( ) , . n f x f x n x D 函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 n N 时, 总有 | ( ) ( ) | . n f x f x 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 { }n f 的收敛域
2、函数列一致收敛的定义 定义1设函数列{f}与函数f定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N,使当 n>N时，对一切x∈D,都有 Ifn(x)-f(x)kε， 则称函数列{f}在D上一致收敛于f,记作 前 后页 返回
前页 后页 返回 设函数列{ }n 定义1 f f 与函数 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 总存在某一正整数 , , N 使当 n N 时， 对一切 都有 x D , | ( ) ( ) | n f x f x ， { }n 则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作 f D f 2、函数列一致收敛的定义
fn(x)3f(x)(n→oo),x∈D. 函数列{f}在D上不一致收敛于f的正面陈述是： 存在某正数&，对任何正数N,都有某一点x。∈D和 某一正整数n。>N(注意：x,与n,的取值与N有关)， 使得 f,(x)-f(x)≥ 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 f x f x n x D n ( ) ( )( ) , . 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: n 函数列 f 存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 0 x D 和 0 0 ( 注意: x n 与 的取值与 N 有关 ), 某一正整数 n N 0 使得 0 0 0 0 ( ) ( ) . n f x f x
3、函数列一致收敛判别法 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{f} 在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数8， 总存在正数N,使当n,m>N,对一切x∈D,都有 |fn(x)-fm(x)kε. (3) 定理13.2（余项准则)函数列f,在区间D上一致 收敛于的充分必要条件是： limsupf(x)-f(x)=0. (4) n-→oxeD 前页
前页 后页 返回 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { }n f 在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 n m N , , 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (3) f x f x n m 定理13.2（余项准则） { }n 函数列 f D 在区间 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是: limsup | ( ) ( ) | 0. (4) n n x D f x f x 3、函数列一致收敛判别法
注柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么， 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛，而使用余项准则需要知道极限函数，但使用 前页 后页 返回
前页 后页 返回 注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用
设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 ()+u2(x)+…+un(x)+…,x∈E (5) 称为定义在E上的函数项级数，简记为∑4，(x)或 n=1 ∑(x).称 S(x)=∑4(x,x∈E,n=1,2 (6) k-1 为函数项级数(9)的部分和函数列， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 { ( )} 设 u x E n 是定义在数集 上的一个函数列,表达式 u x u x u x x E 1 2 ( ) ( ) ( ) , (5) n 称为定义在E上的函数项级数, 1 ( ) n n u x 简记为 或 ( ). u x n 称 1 ( ) ( ), , 1,2, (6) n n k k S x u x x E n 为函数项级数(9)的部分和函数列
若x,∈E,数项级数 41(xo)+42(xo)+…+4n(x)+… (7) 收敛，即部分和S(x)=∑4（化）当n→o时极限 k=1 存在，则称级数（⑤）在点x,收敛，x,称为级数（⑤）的收 敛点.若级数(7)发散，则称级数(5)在点x发散.若 级数(T)在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数 (⑤)在D上收敛.若D为级数（⑤）全体收敛点的集合， 这时就称D为级数（⑤）的收敛域.级数（⑤）在D上每一 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 若 数项级数 x E , u x u x u x 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) (7) n 0 0 1 ( ) ( ) n n k k S x u x 收敛, 即部分和 当 n 时极限 0 x 0 存在, 则称级数(5)在点 收敛, x 称为级数(5)的收 敛点. 若级数(7)发散, 则称级数(5)在点 0 x 发散. 若 级数(7)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数 (5)在 D 上收敛. 若 D 为级数(5)全体收敛点的集合, 这时就称 D为级数(5)的收敛域. 级数(5)在 D上每一