定积分考研（数二）真题 3.(08年，4分)曲线方程为y=fx)的函数在区间a,b上有 连续导数，则定积分心(x:=() 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） (A)曲边梯形面积ABCD (B)梯形ABCD面积 1.(95年，3分)曲线y=xx-(2-)与x轴所围成的图形的面积 (C)曲边三角形ACD面积 可表示为() (D)三角形ACD面积 (A)-[x(x-1)(2-)s (B)xr-2-)-xx-12-) 二、填空题 (C)-[x(x-1)(2-x)k+x(x-1)(2-x) 1.(96年，3分)曲线=x+x=2及y=2轴所围成的图形的 (D)[x(-1)(2-)d 面积为S= 2.(96年，3分)设f),g(x)在区间[a,上连续，且g()0),则该 (A)[[2m-f(x)+g(x)[f(x)-8(x)]d 曲线上相应于0从0变到的2π一段弧与极轴所围成的图 (B)[[2m-f()-g(s)][f(s)-g(s)]ds 形的面积为 (C)广[m-f)+g][f(-8] 4.(10年，4分)当0≤0sx时，对数螺线r=e°的弧长为 (D)[2m-f)-g(][f-gs]a 5.（1年，4分)曲线=m0sxs号)的弧长：为 第1页共3页
定积分考研（数二）真题 第 页 共 页 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1.（95 年,3 分）曲线 y xx x 1 2 与 x轴所围成的图形的面积 可表示为（ ） （A） 20 x x 1 2 2 1 2 x dx （B） 10 1 x x x dx 1 2 x x 2 1 2 x dx （C） 10 1 x x x dx 1 2 x x 1 2 x dx （D） 20 x x x dx 2.（96 年,3 分）设 f x g, x在区间a b, 上连续，且 gx f x m （m 为常数）,由曲线 y f x, y g x， x a x, b y x f x gx d x f x gx d f x gx d x f x gx d y f 及所围平面图 形绕直线 m旋转而成的旋转体体积为（ ） （A） 2 x ba m fx g （B） 2 x ba m fx g （C） x ba m f x gx （D） 2 x ba m fx g 3.（08 年,4 分）曲线方程为 x的函数在区间 a b, 0a xf x dx 上有 连续导数，则定积分 （A）曲边梯形面积 ABCD （B）梯形 ABCD 面积 （C）曲边三角形 ACD 面积 （D）三角形 ACD 面积 二、填空题 1.（96 年,3 分）曲线 1 yx x, 2 x y 2 S 及 轴所围成的图形的 面积为 3 2 2.（98 年,3 分）曲线 y x x 2x与 x 轴所围成的图形的面 积为 A 3.（03 年,5 分）设曲线的极坐标方程为 ，则该 曲线上相应于 0 a e a 从 0 变到的2 一段弧与极轴所围成的图 形的面积为 4.（10 年,4 分）当0 时，对数螺线r e 的弧长为 5.（11 年,4 分）曲线 0 tan 0 4 x y xdx x 的弧长s 为 1 3
三、计算 直线：x+y=(之0)，若s)表示正方形D位于直线1左下 方部分的面积，试求心s(x之0). 1.(94年，9分)求曲线y=3-2-与轴x围成的封闭图形绕 7.(01年，7分)设p=P()是抛物线y=F上任一点 直线y=3旋转所得的旋转体体积 M(x,)(x2)处的曲率半径，s=(x)是该抛物线上介于点 2.(95年，5分)求摆线0：一拱0s152m的弧长. y=t-sint 4)与v之间的长，计算密-（图）的值 3.(96年，5分)设有正椭球柱体，其底面的长短轴分别为 8.(02年，7分)某阀门的形状和大小如图所示，其中直线1为 2a,2b,用过此柱体底面的短轴与底面成0<a<引角的平 对称轴。阀门的上方都为矩形ABCD,下方由二次抛物线 面截此柱体，得一锲形体，求此锲形体的体积V· 与线段AB所围成，当水面与阀门的上端相平时，欲使阀门 4.(97年，8分)设曲线L的极坐标方程为r=r(O),Mr,) 矩形部分承受的水压力与阀门下部承受的水压力之比为 为L上任意一点，M。(2,0)为L上一定点，若极径OMOM 5:4,阀门矩形部分的高1应为多少米？ 与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上，MM,两点间 9.《03年，1分设位于第一象限的曲线y=园过点号， 弧长值的一半，求曲线L的方程。 其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ 5.(99年，8分)设函数(x20)二阶可导，且y)20,y(0)=1, 被x轴平分. 过曲线(x)上任意一点p(:,)作该曲线的切线及x轴的垂线， (1)求曲线y=f(x)的方程： 上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,区间0， (2)已知曲线y=six在0，]上的弧长为1，试用1表示曲 上以y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S:,并设2S-S,恒为1， 线y=f(x)的弧长s. 求此曲线y=y(x)的方程。 6.(00年，5分)设xo平面上有正方形D={(x,y)0sx≤L,0≤y≤I} 第2页共3页
三、计算 l x: y tt 0 ，若 第 页 共 页 1.（94 年，9 分）求曲线 2 y x 3 1 与轴 x 围成的封闭图形绕 直线 y 3旋转所得的旋转体体积. os sin 2.（95 年，5 分）求摆线 x 1 c t y t t 一拱0 2 t 2 ,2 a 的弧长. 3.（96 年，5 分）设有正椭球柱体，其底面的长短轴分别为 b ，用过此柱体底面的短轴与底面成 0 2 V r r 角的平 面截此柱体，得一锲形体，求此锲形体的体积 . 4.（97 年，8 分）设曲线L的极坐标方程为 ，M r, 为L上任意一点，M0 2,0 为 上一定点，若极径 0 OM OM , L L 0 . L 与曲线 所围成的曲边扇形面积值等于 上，M M L 两点间 弧长值的一半，求曲线 的方程. 5.（99 年，8 分）设函数 y x x 0二阶可导，且 yx y 0, 0 1 y x ， 过曲线 上任意一点 p x y, 作该曲线的切线及 x 轴的垂线， 上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间0, x 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 ，并设 2 y x S 2 S 1 2S 恒为 1， 求此曲线 y y x的方程。 6.（00 年,5 分）设 xoy平面上有正方形D x , 0 1,0 y x y 1 直线 s t D 0 0 x s t dt x 表示正方形 位于直线l 左下 方部分的面积，试求 . 7. （ 01 年 ,7 分）设 x 是抛物线 y x 上任一点 M x , y x 1处的曲率半径，s sx ( ) 是该抛物线上介于点 A1,1与M 之间的弧长，计算 2 2 3 d d ds ds l ABCD AB l 的值. 8.（02 年,7 分）某阀门的形状和大小如图所示，其中直线 为 对称轴。阀门的上方都为矩形 ，下方由二次抛物线 与线段 所围成，当水面与阀门的上端相平时，欲使阀门 矩形部分承受的水压力与阀门下部承受的水压力之比为 5:4，阀门矩形部分的高 应为多少米？ 9. （03年,11分）设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ) 21, 22 ( ],0[ ， 其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分. （1） 求曲线 y=f(x)的方程； （2） 已知曲线 y=sinx 在 上的弧长为 ，试用 表示曲 线 y=f(x)的弧长 s. l l 2 3
10.(04年，10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=y20)绕 出切线的方程：(3)求此切线L(对应于x≤x的部分)及 y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根 x轴所围成的平面图形的面积。 据设计要求，当以3m1min的速率向容器内注入液体时，液面的面 14.(08年，10分)曲线y=fx)满足f0)=1,对于任意的：曲 积将以2/mi的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）. 线是严格递增，在x轴上1>0，该曲线与直线 (1)根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式： x=0,x=1>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x (2)求曲线x=y)的方程. 轴旋转一周得一旋转体，其体积为V0,侧面积为S).如 (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.） 果fx)二阶可导，且2=2，求曲线y=fx): () 11.(04年，12分)曲线=+e与直线x=0,x=>0)及y=0围成- 2 15.(09年，10分)设非负函数y=f(x(x之0)。满足微分方程 曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为「()， ”-y+2=0,当曲线y=f(x)过原点时，其与直线x=1及 侧面积为S,在x=1处的底面积为F): y=0围成平面区域的面积为D,求D绕y轴旋转所得旋 (1)求 F( (2)计算极限1im0 S() 转体的体积. 16.(11年，11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转 12.(05年，11分)如图，C,和C,分别是y=1+e)和y=e的图象， 一周而形成的曲面，该曲线由x2+少=2心之)与 过点(0,1)的曲线C,是一单调增函数的图象，过C:上任一点 +广=0s匀)连接而成，(1)求容器的容积：(2)若将 M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线L,和1，·记C,C:与L,所 容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多 围图形的面积为S,():C,C与1，所围图形的面积为S,0以如果 少功？（长度单位：■，重力加速度，水的密度为 总有S,(x)=S,(y),求曲线C,的方程x=(y) 1这(06年，10分)已知售线L的方程为20≥0①时论 L的四凸性：(2)过点(-L,0)引L的切线，求切点（化）小，并写 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 10.（04 年,10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 yyx )0)(( 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2m.根 据设计要求，当以 min/3 的速率向容器内注入液体时，液面的面 3 m 积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前,容器内无液体）. (1) 根 min/ 2 m 据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 y)( 之间的关系式； (2) 求曲线 yx )( 的方程. (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 11.（04 年,12 分）曲线 2 x x e e y 与直线 x x tt 0, 0 及 y 0围成一 曲边梯形.该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体,其 为 体积 V t 侧面积为S t ,在 . x t 处的底面积为F t . (1)求 S t F t (2 算极限 )计 lim S t t F t 12.（05 年,11 分）如图，C1和C2 分别是 )1( 21 x ey 和 一 调 的图象. 过 任 记 x ey 的图象， 过点(0,1)的曲线C3是 单 增函数 C2 上 一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 x l 和 y l . 21 ,CC 与 x l 所 围图形的面积为 )(1 xS ； 32 ,CC 与 y l 所围图形的面积为 2 ( yS ).如果 总有 )()(1 2 ySxS ，求曲线 的方程 yx ).( C3 13. 年,10 分） （06 已知曲线L的方程为 1 2 2 , 0 4 x l t y l t （1）讨论 L的凹凸性;（2）过点 1,0 引L的切线，求切点 x0 0 , y ，并写 出切线的方程 ）求此切线 ;（3 L（对应于 0 x x 的部分）及 x轴所围成的平面图形的面积。 14.（08 年，10 分）曲线 y fx ( )满足 在 f (0) 1 ,对于任意的t曲 线是严格递增， x 轴 上 t ，该曲线与直线 x x tt 0, ( 0) 0 及 y 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一 体，其体积为V t( ) ,侧面积为S t( ) . 果 ( ) 旋转 如 f x 二阶可导,且 ( ) 2 ( ) S t V t ，求曲线 y f x( ) . 15.（09 ,10 分） 年 设非负函数 y f x x 0。满足微分方程 xy y 2 0，当曲线 y f x 过原点时，其与直线 x 1及 y 0围成平面区域的面积为 D ，求 D 绕 y 轴旋转 旋 的体积. （11 年, 11 分 所得 转体 16. ）一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转 一周而形成的曲面，该曲线由 2 2 2 ) 2 xy y 与1 y( 2 2 1( ) 2 xy y 1 连接而成，（1）求容器 将 容器 内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多 少功？（长度单位：m，重力加速度 的容积；（2）若 2 s gm ，水的密度为 3 3 m ） 10 kg