微分方程（数三）考研真题 4、(98,7分)设函数f()在几，+∞)上连续，若由曲线y=f(x),直线 x=1,x=t>)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 一、进择愿（将最佳菩案的序号填写在括号内） P)=产f)-f小试求y=f田)所满足的微分方程，并求该微分方程满 1.(06,4分)设妻齐次线性微分方程y+Pxy=Qx)有两个不同的解(x,为(x), C为任意常数，则该方程的通解是() 足条件川一=号的解。 (A)C(-(x.(B》(x)+C(x)-(x 5、（6分)设有微分方程-2y=,其中动=1试块在 (C)CLy(x)+()(D)(x)+CL()+(x)]. 二、填空愿 (-0,十0∞)内的连续函数y=(x),使之在(-0，)和(1，+0)内都满足所给方程 1.(97,3分)差分方程男4~=2的通解为 且满足条件0)=0 2.(98,3分)差分方程2y+10男，-51=0的通解为 6、(00,6分)求微分方程y”-2y'-e产=0满足条件0)=1y0)=1的解 3、(01,3分)某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元 7、(03,9分)设F(x)=fxg(x).其中函数f(x,gx)在(-o,+o)内满足以下 若以用表示第年的工资总额（单位：百万元），则用所满足的差分方程是 条件：f'(x)=gx,g'(x)=fx且f0)=0,fx)+g{x)=2e 4、(05,4分)微分方程3+y=0满足)=2的特解为 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程：(2)求出F(x)的表达式 5.（0.4分)微分方程少.二-满足儿=1的特解为 dx x 2(x) 8、(03,4,9分)设y=f(x)是第一象限内连接点A0,,BL,0)的一段连续曲线， 6、(08,4分)微分方程灯y+y=0满足0=1的解为 M(红，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点，若梯 三、计算 1、(95,6分)已知连线函数f)满足条件)=心f兮边+e产，求f) 形0C1的面积5自边三角形G的酒起之和务若+行求份表造式 2（96.6分》求微分方程央.一F+亚的适新 9、(04,4,8分)设f八出，具有连续偏导数，且满足(u,r)+《u,v)=m,求 r (x)=e产f(x,x)所满足的一阶微分方程.并求其通解 3.(97,6分)设函数fU)在0，+o)上连续，且满足方程 m“具传FF,求m 10、(06,8分)在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(L,0),其上任意点P(x,yx≠0) 第1页共2页
微分方程（数三）考研真题 第 页 共 页 yP x ¢+ () ) 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1. （06，4 分）设非齐次线性微分方程 xy Q = ( 有两个不同的解 1 2 y ( ), ( x y x) ， C 1 x)- 1 1 () [ () () 为任意常数，则该方程的通解是（ ） (A) ]. （B） 2 ] 2 C y[ ( y x( ) y x Cy x y x + - 1 x)+ 1 1 () [ () () . (C) ]. (D) 2 ] 2 C y[ ( y x( ) y x Cy x y x + + 1 2t t t y yt . 二、填空题 1、（97，3 分）差分方程 的通解为 2、（98，3 分）差分方程 0 1 0 5 t t 2 1 y y t 的通解为 3、（01,3 分）某公司每年的工资总额在比上一年增加 的基础上再追加 20% 2 百万元， Wi i 若以 表示第 年的工资总额（单位 Wi : 百万元），则 所满足的差分方程是 4、（05，4 分）微分方程 xy y 0满足 y(1) 2 的特解为 5、（07，4 分）微分方程 3 1 2 dy y dx x 1 |x y = = yx 满足 1的特解为 6、（08，4 分）微分方程 xy y 0满足 y(1) 1 的解为 三、计算 1、（95，6 分）已知连续函数 f ( ) x 满足条件 3 2 0 ( ) 3 x ( ) x t f x f dt e ，求 f ( ) x 2、（96，6 分）求微分方程 2 2 = dy y x y dx x ( ) 的通解. 3、（97，6 分）设函数 f t 在 上连续，且满足方程 [0, ) +¥ 2 22 2 4 2 4 ( ) t xy t 1 2 2 f t e f x y dxdy ，求 (t) 4 、（ 98, 7 分）设函数 f ( ) x [1, ) +¥ y f = ( ) x x x = = 1 ) ， > 在 上连续，若由曲线 ，直线 t t( 1 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 2 3 t f p Vt t f ( ) ( ) (1) = - é ù ê f ú ë û ，试求 y = f x( ) 所满足的微分方程， 并求该微分方程满 足条件 2 29 x y = = y y ¢ - = 2 ( j 2 1 ( ) 0 1 x x x j ìïï y yx( 的解。 5、（99,6 分）设有微分方程 x) ，其中 ，试求在 ( , -¥ +¥) 内的连续函数 ) ，使之在 1) 和 内都满足所给方程， 且满足条件 ( , -¥ (1, ) +¥ y(0) 0 6、（00，6 分）求微分方程 满足条件 的解. 2 2 0 x y ye ¢¢ ¢ --= y y (0) 1, (0) 1 = = ¢ 7、（03，9 分）设 Fx f xgx () ()() = ，其中函数 f ( ), ( ) x gx ( , -¥ +¥ ( ), ( ) ( ) 在 ) 内满足以下 条件： f ¢( ) x g x = = xgx f ¢ x 且 f (0) 0, ( ) ( ) 2 = += f x gx e F x( F x( ) y fx = ( ) A B (0,1), (1,0) ) ， （1）求 )所满足的一阶微分方程；（2）求出 的表达式 8、（03，4, 9 分）设 是第一象限内连接点 的一段连续曲线， M ( , x y 为该曲线上任意一点，点 为C M 在 x 轴上的投影， 为坐标原点，若梯 形 的面积与曲边三角形 的面积之和为 O OCMA CBM 3 1 6 3 x + ，求 f ( ) x (,) 的表达式. f u v (,) (,) 具有连续偏导数，且满足 u v 9、（04，4，8 分）设 f ¢ ¢ u v f u v uv + = ，求 2 () (,) x y x e f xx - = 所满足的一阶微分方程，并求其通解. 10、（06, 8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 L M (1,0) Pxy x ( , )( 0 ¹ ) 1 2
处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于r(常数a>0), (I)求L的方程 四当L与直线y=:所围成平面图形的面积为S时。确定a的位 11、(07,4,10分)设函数f(x)具有连续的一阶导数。且满足 f(x)=(-)f(ndt+ 求f八x)的表达式 第2页共2页
第 2 页 共 2 页 处的切线斜率与直线 的斜率之差等于 （常数 ） OP ax a > 0 . （I）求 L 的方程 (II) 当 与直线 L y = ax 所围成平面图形的面积为 83 时，确定 的值 a . 11、（07，4，10 分）设函数 f ( ) x 具有连续的一阶导数，且满足 2 2 0 ( ) ( ) () x 2 f x x t f t dt x 求 f ( ) x 的表达式