一元函数极限、连续（数二）考研真题 2-x2xN时，恒有 (ea=0,b=- (D)a=L,b=-2 。-d≤2e”是数列{x}收敛于a的() 2.(95,3分)设f(x)和，(x)在(-o,+o)上有定义，fx)为连续函数，且fx)≠0，x) (A)充分条件但妻必要条件(B)必要条件但非充分条件 有间断点。则() (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件】 (A)(x刃必有间断点(B)[(x广必有间断点 m3分谐四如但=0.则回型为(） (C)几2(x】必有同断点D)巴必有间断点 (A)0(B)6(C)36(D) f() 9,@,3分》设函数)=千在-心心内连线.且，血)=a则数a6 3.(96,3分)设当x一0时，e-(m2+bx+)是比x2高阶无穷小，则() 满足() (a=b=1)a=Lb=1 (A)a0,b>0. ga=-6=-1四a=-b=l C)a≤0，b>0D)a20,b0f x<0,则gfx为() -xx20 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 w68o6 .o.3分设f=长L则Vn等于《) 12+xx20 o,' 第1页共4页
一元函数极限、连续（数二）考研真题 第 页 共 页 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1、（94 年，3 分）设 2 2 ) ( ) 2 x ax bx x + = 0 ln(1 lim x + - ，则（ ） （A） 5 = =- 1, a b = =- 0, 2 2 a b （B） （C） 5 = =- 0, a b = =- 1, 2 2 a b （D） 2、（95,3 分）设 f ( ) x 和j(x) 在( , -¥ +¥) 上有定义， f ( ) x 为连续函数，且 ， f x() 0 ¹ j( ) x [ () 有间断点，则（ ） （A）j f x ] 2 必有间断点 （B）[ ( )] j x [() 必有间断点 （C） f j x ]必有间断点 （D） ( ) ( ) x f x j 2 e ax bx ( ) + 2 必有间断点 3、（96，3 分）设当 时， x 0 1 是比 x - + x 高阶无穷小，则（ ） (A) 1 2 a = , 1 b = (B) a b = = 1, 1 (C) 1 2 b = - a b =- = 1, 1 0 tan a = - , 1 (D) 4、（97，3 分）设 x 时， x x e e - n 与 x 是同阶无穷小，则 为（ n ） 1 2 3 4 0 0 2 , 0 , 0 x x x x ìïï g x( ) = f x( ) )] (A) . （B） . 2 0 2 0 ìïïíïïî (C) . (D) . 6、（98，3 分）设数列 x 与 n y 满足 lim 0 n n ，则下列断言正确的是（ ） n x y ¥ = n （A）若 x 发散，则 n y 必发散 （B）若 n x 无界，则 n y 必有界 （C）若 n x 有界，则 n y 必为无穷小 （D）若 1 n x 为无穷小，则 n y 必为无穷小 7、（99，3 分）“对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 e Î(0,1) N n N > 2 n x a - £ e ”是数列{ }n x 收敛于 的（ a ） （A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件. 8、 (00,3 分)若 3 0 sin lim 0 x x = 6 +x xf x( ) ，则 2 0 6 () limx +f x 为（ ） x （A） （0 6 B） （C） （ 36 D）¥ 9、（00，3 分）设函数 ( ) x bx f x a e = + ( ,) -¥ ¥ lim ( ) 0, x f x -¥ = a b, a b > 0, 0 a b £ > 0, 0 a b ³ î 11、（01，3 分）设 ，则 f { [ ( )]} ffx 等于（ ） 1 4
(A)0 B)1 ok o 17、(07,4分)当x→0时，与√F等价的无穷小量是() 12、(02,3分)设y=(x)是二阶线性常系数微分方程y”+仍+四=满足初始条件 (A)1-e6 0)=y0)=0的特解，则当x一0时，函数+的授限() (c)+-1 (D)1-cos (x) (A)不存在(B)等于1(C)等于2(D)等于3 +d小m 13、(03.4分)设{a.,他}{6.}均为非负数列，且ima,=0,1im6.=11imc.=o, 18、(07,4分)函数f(x)= 在-不，上的第一类间断点是x=() 则必有() - (A)a.<b.,对任意n成立 (B)bn<c,对任意n成立 (A)0 (B)1 o)5 (C)极限imas.不存在 (D)极限1imb.c,不存在 收.版4分君孟=料n:则有《) (A)1个可去间断点，1个跳跃间渐点(B)1个可去间断点，1个无穷间断点 (a)广nd (B)2广nd (C)2个跳跃间断点 (D)2个无穷间断点 20、08,4分)设函数f(x)在(-o,十oo)内单调有界，{x}为数列，下列命题正确 (c)2al+xt(D)∫n+xd 的是() 15.《ot.4分)元x一0心时销无穷小a=厂osrB=广细d7=人nrh (A)若{x}收敛，则{f(x)》收敛(B)若{x}单调，则{f()收敛 推列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是() (C)若{f(x)}收敛，则{x}收敛(D)若{f(x)}单调，则{x}收致 (A)a31(B)a,1,B(C)3,a,y(D)3,,a 21、(09,4分)当x→0时，fx)=x-sinr与g(x)=x2ln(l-bx)是等价无穷小. 16、(05.4分)设函数f(x)=- 1,则(） ÷-1 则( (A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点 (Wa=Lb=-名(B)a=lb=君 (B)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 (C)a=-16=-片D)a=-lb=若 (C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=I是f(x)的第二类间断点 (D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点 2.(09.4分)商数国=二亡的时去同断点的个数为() sinxx 第2页共4页
（A）0 （B）1 （C） 1, 0, ìïïíïïî 11 xx £> （D） 0, 1 1, 1 xx ìïï £ íïï > î ( ) 第 页 共 页 12、 (02，3 分)设 y = y x 是二阶线性常系数微分方程 3x y¢¢ ¢ + += py qy 0) = e 满足初始条件 y y (0) ( = ¢ 0 的特解，则当 时，函数 x 0 2 ln(1 ) ( ) x y x + 1 2 3 }{ }{ , , n n a b n n 0, lim 1, limn a b ¥ ¥ = = 的极限（ ） （A）不存在 （B）等于 （C）等于 （D）等于 13、（03， 4 分）设 n 均为非负数列，且 = ， 则必有（ ） { c } limn n ¥ n c ¥ A a b < , n n 对任意 成立 n B , n b c < n lim n n a c ¥ n 对任意 成立 C 极限 n 不存在 D lim n n b c ¥ 极限 n 不存在 14、(04，4 分) 22 2 1 1 n ¥ æ öæ ö æ ö çç ç ++ + ÷÷ ÷ çç ç ÷ ÷ çç ç ÷ ÷ è øè ø è ø 2 2 1 ln 1 2 lim ln 1 n n n n n ÷÷ 等于（ ） （A） xdx ò 21 （B）2 ln xdx ò （C） 2 1 2 ln(1+ x)dx 2 2 1 ln (1 ) ò （D） + x dx ò 15、（04，4 分） 把 时的无穷小 0 + x 2 0 tan , sin x tdt g 2 0 0 cos , x x a b = = t dt 3 = t dt ò ò ò a b , , bag , , bga , , 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ） （A） , ,g （B） （ a g b C） （D） 16、（05， 4 分）设函数 1 1 ( ) 1 x x f x e - = - = =1 ( ，则（ ） （A） x 0, x 都是 f x) x = =1 ( ) 的第一类间断点 （B）） 0, x 都是 f x 0 ( ) 的第二类间断点 （C） 是 x = f x 的第一类间断点， 是 x =1 f ( ) x 0 ( ) 的第二类间断点 （D） 是 x = f x 的第二类间断点， 是 x =1 f (x) x 0 + 的第一类间断点 17、（07，4 分）当 时，与 x 等价的无穷小量是（ ） （A）1 x -e （B） 1 x ln 1 + - x （C） 1 1 + x - （D）1 cos - x 1 1 tan ( ) x x ee x 18、（07，4 分）函数 f x x e e æ ö ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ è ø = æ ö ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 在[ , -p p]上的第一类间断点是 x = 0 1 （ ） （A） （B） （C） 2 p - （D） 2 p ln ( ) sin 1 x 19、（08， 4 分）设函数 f x x x = - ，则 f ( ) x ( ) 有（ ） （A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 （B）1 个可去间断点，1 个无穷间断点 （C）2 个跳跃间断点 （D）2 个无穷间断点 f x ( , -¥ +¥ { 在 n 20、 (08，4 分)设函数 ) 内单调有界， x }为数列，下列命题正确 的是（ ） （A）若{ }n x 收敛，则{ ( )} n f x { 收敛 （B）若 n x }单调，则{ ( )} n f x )} n 收敛 （C）若{ ( f x { 收敛，则 n x }收敛（D）若{ ( )} n f x { 单调，则 n x }收敛 21、（09，4 分）当 时， x 0 f ( ) sin xx a = - 2 x 与 g x x bx ( ) ln(1 ) = - 是等价无穷小， 则（ ） （A） 1 1, 6 a b = =- （B） 1 1, 6 a b = = （C） 1 1, 6 a b =- =- （D） 1 1, 6 a b =- = 22、（09，4 分）函数 3 ( ) sinx x f x p- = 的可去间断点的个数为（ ） x 2 4
(A)I(B)2(C)3(D)无穷多个 km》受 2双4》高金四=的无为点的个量务() (A)0(B)1(C)2(D)3 0.3分)拉」 x+r-2 4w4=22() I-etn: x>0 6@.3分)设f)=arm月 在x=0处连续，则a= w厂a++@aa++n x≤0 eaa0oaa+t +++cs 8.《03.4分)若r一0时，（1-r2)-1与xsinx是等价无穷小，则a= 25、(1l,4分)已知当x一0时.函数f(x)=3snx-sin3x与c是等价无穷小，则() Ak=1,c=4(B)k=Lc=-4 又0仙》及=四半周四的在= C)k=3,c=4(D)k=3,c=-4 10、(05,4分)当x→0时，a(x)=2与(x)=√1+xarcsinx-√cosx是等价 2.4分)设函数在x=0处可绿，且/0=0，则回国2位=() 无穷小，则k= (A)-2f'O)(B)-f(O)(C)f0)(D)0 a. x=0 二、填空题 以.07.4分)mc一血= 2 A.保4分心海县g0= 4、(09.4分)me细md= 2.(97,3分)已知fx)= cosx,rz0在x=0处连线，则a= a,x=0 3,%,3分)回中五+-2 第3页共4页
第 页 共 页 （A）1 2 （B） （C）3 （D）无穷多个 23、（10，4 分）函数 2 2 1 1 1 x x 2 f x( ) x x - = - 0 1 2 3 + 的无穷间断点的个数为（ ） （A） （B） （C） （D） 24、 (10，4 分) 2 2 ( )( ) n n i n j = 1 1 + + lim n n n i j ¥ = = åå （ ） （A） 1 2 1 (1 )dy 0 0 (1 ) x dx + + x y ò ò （B） 10 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y ò ò （C） 1 1 0 0 (1 1 ) dx (1 )dy + + x y ò ò （D） 1 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y 3sin sin 3 ò ò 25、（11，4 分）已知当 时，函数 x 0 f ( ) x x = - x k cx k c = k c = =- 1, 4 k = 3, k c = =- 3, 4 ( ) 与 是等价无穷小，则（ ） (A) 1, 4 = (B) (C) c = 4 (D) 26、（11，4 分）设函数 f x 在 处可导，且 x = 0 f (0) = 0 ，则 2 3 3 0 () 2 lim x xfx x - = 2 ( (0) f (0) f (x ) （ ） （A） f 0) （B） f （C） （D）0 二、填空题 1、（95，3 分） 2 2 1 2 limn¥ n n 1 2 n n æ ö ç + + 2 n n nn + ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ++ ++ ++ = 2、（97，3 分）已知 在 处连续，则 2 (cos ) , 0 x x x - ¹ f x( ) x = 0 a = ìï = ïíïïî a x , 0 = 3、（98，3 分） 2 x x 2 x - - = 0 1 1 lim x + + 4、（00，3 分） 3 0 arctan lim ln(1 2 ) x x x x- = + 2 1 3 1 lim x 2 x x x x -- + = + - 5、（01，3 分） tan 2 1 , 0 ( ) arcsin 2 , 0 x x e x x f x ae x ìïï - ï > ï = ïíïïïïïî £ 6、（02，3 分）设 在 处连续，则 x = 0 a = 1 2 lim 1 cos 1 cos 1 cos n n nn n pp p ¥ æ ö ç ÷ ç + + + ++ + ÷ ç ÷ ç ÷÷ è ø 7、（02，3 分） n = 8、（03，4 分）若 x 0时，( ) 1 2 4 1 1 - - ax 与 x sin x 是等价无穷小，则 a = 9、（04，4 分）设 2 ( 1) ( ) limn 1 n x f x ¥ nx- = + ，则 f ( ) x 的间断点为 x = 10、（05，4 分）当 时， x 0 2 a( ) x = kx 与b( ) 1 arcsin cos x =+ - xx x 是等价 无穷小，则 k = 2 3 0 1 sin , 0 ( ) , 0 x t dt x f x x a x ìïïï ¹ =íïïïî = ò 11、（06，4 分）设函数 在 处连续，则 x = 0 a = 12、（07，4 分） 3 0 arctan sin limx x x x - = 13、（08，4 分）已知函数 f ( ) x ( ) 连续，且 2 0 1 cos[ ( )] lim 1 1 () x x xf x e fx - = - ，则 f (0) = 1 0 lim sin x n e nxdx - ¥ 14、（09，4 分） ò = 1 0 1 2 lim 2 x x x æ ö ç + ÷ ç ÷÷ = çç ÷ è ø 15、（11，4 分） 3 4
三、计算 0.(0.9分)求极限m血r-加6snn ko5分》#算任+ 0m.9分)求根展回-c-+a到 sin 2m.5分)求一r++r B..0分》已知数Fg=广+r户 ,设mF)=lmF)=0, +sinx 试球a的取值范围 人.5分》来话量=+到产在区州2内的系点。升其天型 四、证明 1、(9,7分)设fx)是区间0，+四)上单调减少且非负的连续函数， a,=之-∫厂)达a=L2,证明数到a,}的极限存在 人m7分本与侣户，来 2、(02,8分)设00m)=1,且 存在。并求此极限 3、(08分)设函数田)在x=0的某%域内其有二阶连续导数。且 f0)≠0，∫八0)≠0,0)￥0，证明：存在唯一的一组实数入，入，人·使得当 h一0时，/)+/2)+入/3动)-f@)是比？高阶的无穷小 In(1+a) x0 xsin 在线婴e》牌回户 5、(11,10分) 处连续：a为何值，x=0是f八x)的可去间断点？ 似分)求限回- @-1+片片o-2小里瑞爱k数 9.《06,10分)试确定常数4B,C的值，使得e1++c2)=1+4红+o),其中 0)是当x一0时比x'高阶的无穷小 第4页共4页
12、（11，10 分）已知函数 2 0 ln(1 ) ( ) x t dt F x xa + = ò ，设 ， 试求 的取值范围 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x Fx Fx +¥ = = + a 4、（06，12 分）设数列{ }n x 满足0 , sin ( 1, 2, ) ïïïïïî ，问 为何值， a f ( ) x 在 x = 0 8、（04，10 分）求极限 3 0 1 2 cos lim 1 3 x x x x é ù ê ú æ ö çç + ÷÷ - ê ú ç ÷ è ø ê ú ë û 处连续； 为何值， 是 a x = 0 f ( ) x 的可去间断点？ 3 o x( ) 是当 时比 x 0 3 x 高阶的无穷小 满足 1 1 0 ( ) lim ( ) h x h f x hx e f x é ù + ê ú = ê ú ë û ，求 f ( ) x
