定积分（数一）考研真题 4.(11年，4分)曲线v-m0sx≤号的弧长：为 三、计算 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1.(94年，6分)己知A与B的直角坐标分别为(L,0,0)与(0,1，)， 1.(07年4分)连续函数y=fx)在区间-3，-22,3上的图形分别 线段AB绕轴x旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面 是直径为1的上下半圆周，在区间[-2,00,2的图形分别是直 :=0,:=1所围成的立体体积. 径2的下，上半圆周，设F)=f,则下列结论正确的 2.(95年，7分)设曲线L位于平面的第一象限内，1上任一点M处 是() 的切线与y轴总相交，交点为A,已知M4=口4，且L过点 (A)F()=-F(-2)(B)F3)=2F2) (1.5,1.5),求1的方程. (C)F)-F)(D)F--F-2 3.(96年，7分)设对于任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x》处的 切线在y轴上的截距等于ft,求f)的一般表达式 二、填空题 4.(03年，10分)过坐标原点做曲线y=nx的切线，该切线与曲 1.(96年，3分)函数m=(x+F+:)在4L,0,)点处沿A点指向 线y=lnx及x轴围成平面图形D.求 B3,-2,2)点方向的方向导数为 (1)求D的面积： 2.(97年，3分)对数螺线p=在点(。叭=哥处的切线的直 (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 角坐标方程为 5.(03年，10分)某建筑工地打地基时候，需用气锤将桩打进土层， 3.(10年，4分)设位于曲线y= 每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力 esx0),气 x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积 锤第一次击打将桩打进地m.根据设计方案，要求气锤每次击 是 第1页共2页
定积分（数一）考研真题 第 页 共 页 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1.（07 年,4 分）连续函数 y fx 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别 是直径为 1 的上下半圆周，在区间2,0 , 0, 2 0x 的图形分别是直 径 2 的下，上半圆周，设F x ft dt，则下列结论正确的 是（ ） （A） 34 F 3 F 2 （B） 5 3 2 4 F F （C） 3 3 4 F F 2 （D） 5 3 2 4 F F 二、填空题 1.（96 年,3 分）函数 2 y ) A(1,0,1) A (3, 2,2) 2 u x ln( z 在 点处沿 点指向 B 点方向的方向导数为 2.（97 年,3 分）对数螺线 e 在点 2 , 2 e , 处的切线的直 角坐标方程为 3.（10 年,4 分）设位于曲线 2 1 1 ln y e x x x 下方， x轴上方的无界区域为G G ，则 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积 是 4.（11 年,4 分）曲线 0 tan 0 4 x y xdx x 的弧长s 为 三、计算 1.（94 年,6 分）已知 A与B 的直角坐标分别为 与 , 线段 绕轴 1,0,0 0,1,1 AB x旋转一周所成的旋转曲面为S S ，求由 及两平面 z 0, 1 z 所围成的立体体积. 2.（95 年,7 分）设曲线L位于平面的第一象限内, L上任一点M 处 的切线与 y 轴总相交，交点为 A ，已知 MA O L L x 0 y f , A ，且 过点 (1.5,1.5)，求 的方程. 3．（96 年, 7 分）设对于任意 ,曲线 x上点 x f x 处的 切线在 y 轴上的截距等于 0 1 x f t d x t ，求 f x y ln y ln 的一般表达式 4.（03 年，10 分）过坐标原点做曲线 x的切线,该切线与曲 线 x 及 x 轴围成平面图形D .求 D D (1)求 的面积; (2)求 绕直线 x e旋转一周所得旋转体的体积V . 5.（03 年,10 分）某建筑工地打地基时候,需用气锤将桩打进土层, 每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力 的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k,k>0),气 锤第一次击打将桩打进地 am.根据设计方案,要求气锤每次击 1 2
打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(0<>1)问 (1)气锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深 (2)若击打次数不限，气锤之多能将桩打进地下多深？ (注：m表示长度单位米) 6.(09年，9分)设a为曲线y=x及y=x(n=L,2,)所围成的 区域的面积，记S=2a.,5=立4求8及s的值 第2页共2页
第 2 页 共 2 页 打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(01).问 6.（09 年,9 分）设an 为曲线 n y x 及 1 1, 2,... n yx n 所围成的 区域的面积，记 1 ， 1 1 n n S a 2 2 1 n n S a 求 及S1 S2的值. (2)若击打次数不限,气锤之多能将桩打进地下多深? (1)气锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (注：m 表示长度单位米)
