第十五章 傅里叶级数 一、基本内容 ·1、傅里叶级数 ·2、收敛定理及其证明 ·3、以2π为周期的函数的展开式 ■4、以21为周期的函数的展开式 ·5、偶函数与奇函数的傅里叶级数 ·二、目的与要求 掌握计算Fourier系数的公式；会写出以2π为周期的函数的Fourier级数 以及奇函数、偶函数的Fourier:级数展开式；了解Fourier:级数的收敛定 理及其证明、理解Riemann引理的证明思想。 ·三、重点与难点 ·Fouriers级数展开式：Fourier?级数的收敛定理及其证明
第十五章 傅里叶级数 一、基本内容 1、傅里叶级数 2、收敛定理及其证明 3、以2为周期的函数的展开式 4、以2l为周期的函数的展开式 5、偶函数与奇函数的傅里叶级数 二 、目的与要求 掌握计算Fourier系数的公式；会写出以2为周期的函数的Fourier级数 以及奇函数、偶函数的Fourier级数展开式；了解Fourier级数的收敛定 理及其证明、理解Riemann引理的证明思想。 三、重点与难点 Fourier级数展开式；Fourier级数的收敛定理及其证明
§15.1傅里叶级数 ·1、正交函数系 三角函数列（也称为三角函数系） 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnc,(1) 称为三角函数系 且具有共同的周期2π
§15.1 傅里叶级数 1、正交函数系 三角函数列(也称为三角函数系) 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , (1) x x x x nx nx 称为三角函数系 且具有共同的周期 2π
在三角函数系(1)中，任何两个不相同的函数 的乘积在[一π，π]上的积分等于零，即 ∫cosdx=∫sind--0, (2) ["cosmxcosnxdx=0 (mn), sin mxsinnxdx=0(m≠n), (3) ∫cos mxsin nxdx-0. 而(1)中任何一个函数的平方在[π，]上的积分都
在三角函数系(1)中, 任何两个不相同的函数 π π π π cos d sin d 0, (2) nx x nx x π π π π π π cos cos d 0 ( ), sin sin d 0 ( ), (3) cos sin d 0 . mx nx x m n mx nx x m n mx nx x 的乘积在 [ , ] 上的积分等于零,即 而(1)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零，即 ∫os'mde=Jsin2xdr=元 (4) ∫1dr=2m 若两个函数p与w在[，b]上可积，且 )(x)dx-0 则称p与V在[a,b]上是1 的，或在[a,b上具有正 交性.由此三角函数系(4)在【一π，π]上具有正交性 或者说(1)是正交函数系
不等于零, 即 π π 2 2 π π π 2 π cos d sin d π, (4) 1 d 2π nx x x x x 若两个函数 与 在 [ , ] a b 上可积, 且 ( ) ( )d 0 b a x x x 则称 与 在 [ , ] a b 上是正交的, 或在 [ , ] a b 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 [π,π] 上具有正交性. 或者说(1)是正交函数系
2、以2为周期的函数的傳里叶级数 函数f在一π，π]上可积.由 f(x)cosmd.1.2.. (5a) )sinmd (5b) 则可按公式（⑤）计算出an和bn,它们称为函数 f(关于三角函数系())的傅里叶系数，以f的傅里叶系数 构成的级数 (a cosmsinn). 21 (6) =1
π π 1 ( )cos d , 0,1,2, , (5 ) π n a f x nx x n a 2、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 π π 1 ( )sin d , 1,2, , (5 ) π n b f x nx x n b 函数 f 在 [ , ] 上可积. 由 n a f (关于三角函数系(1) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里叶系数 构成的级数 0 1 ( cos sin ). (6) 2 n n n a a nx b nx 和 n 则可按公式(5)计算出 b , 它们称为函数
称为f的傅立叶级数。 in)
称为 f 的傅立叶级数 。 f 0 1 ( ) ( cos sin ). 2 n n n a f x a nx b nx
3、收敛定理 定理15.3（傅里叶级数收敛定理）若以2π为周期的 函数f在一π，上按段光滑，则在每一点x∈【一兀，， f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的 算术平均值，即 f40/-0-2+2a.ox+6m 2 其中an,bn为f的傅里叶系数
函数 [π, π] x [ π, π], f 在 上按段光滑, 则在每一点 f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的 算术平均值, 即 0 1 ( 0) ( 0) ( cos sin ), 2 2 n n n f x f x a a nx b nx , n n 其中 a b 为f 的傅里叶系数. 定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 2π 为周期的 3、收敛定理
概念解释 (1).若f的导函数在上连续，则称f在α，b]上光滑， (2).如果定]上函数f至多有有限个第一类间 断点，其导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存 在且连续，并且在这有限个点上导函数'的左、右 极限存在，则称f在[a,b]上按段光滑. 重要性质 在a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质：
概念解释 （1）. 若f 的导函数在 [ , ] a b 上连续, 则称f在[a, b]上光滑. （2）. 如果定义在 [ , ] a b 上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 在且连续, 并且在这有限个点上导函数 f 的左、右 极限存在, 则称 f 在 [ , ] a b 上按段光滑. 重要性质 在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质:
(I)f在a,]上可积. (2)在[，b]上每一点都存在f(x±0)，如果在不连续 点补充定义f(x)=f(x+0),或f(x)=f(x-0),则 还有 limf-f) t->0 limf(-1)-f-0)-f(x-0). t-→0 -t
(1) f 在 [ , ] a b 上可积. (2) 在 [ , ] a b 上每一点都存在 f x( 0) , 如果在不连续 点补充定义 f x f x ( ) ( 0) , 或 f x f x ( ) ( 0) , 则 还有 0 0 ( ) ( 0) lim ( 0), ( ) ( 0) lim ( 0), t t f x t f x f x t f x t f x f x t
(3)在补充定义f'在[血，b]上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后（仍记为f'),'在a,b上可积 从几何图形上讲，在 区间[☑，b上按段光滑 =f(x) 光滑函数，是由有限个 光滑弧段所组成，它至 多有有限个第一类间 图15-1 断点（图15-1）
(3) 在补充定义 f 在 [ , ] a b 上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积. 从几何图形上讲, 在 区间[a, b]上按段光滑 光滑函数,是由有限个 多有有限个第一类间 断点 (图15-1). 光滑弧段所组成,它至 图15 1 O b x y f x ( ) 1 x 2 a x 3 x 4 x y