南阳师范学院《数学分析》 第二部分（函数的连续性、导数与微分、中值定理）自测题 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1.x=了是y=tamx+x的第一类间断点。 x-2.x0. x，当x≠0在x=0处连续 3.y= 1,当x=0 4若/)0，画tA0=2,则f)=2. 5.若函数fx)在点x处可导，则当△x→0时，fx+△x)-f(x)一定是无穷小 () x,x0 7.可导的偶函数的导数是奇函数. () 8.(arcsinx+arccosx)=0. () 9.若函数fx)在点x处可导，则当△x→0时，△y-f(x)△x是比△x高阶的无穷 小 () 10.在区间1上，若f(x)=g(x),则必有f(x)=gx) () 11.设f)在区间1上可微，若∫(x)>0,则f)在I上严格递增.() 12.设fx)在区间I上可导，则fx)在I上为常数函数的充要条件(x)=0. () 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1.设fx)= arcsinx>0在x=0处连续，则a= x≤0
南阳师范学院 《数学分析》 第二部分(函数的连续性、导数与微分、中值定理)自测题 一、 判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1. 2 x 是 y x x tan 的第一类间断点. （ ） 2. x 0 是函数 2, 0, ( ) 0, 0, 2, 0. x x f x x x x 的跳跃间断点. （ ） 3. sin , 0 1 , 0 当 当 x x y x x 在 x 0 处连续. （ ） 4. 若 0 f x( )=0， 0 0 ( ) lim 2 x f x x x , 则 0 f x ( ) 2 . （ ） 5. 若函数 f x( ) 在点 x 处可导，则当 x 0 时， f x x f x ( ) ( ) 一定是无穷小 量. （ ） 6.设 , 0 ( ) 0, 0 1, 0 x x f x x x ，则 f x( ) 在点 x 0 处左、右导数都存在. （ ） 7. 可导的偶函数的导数是奇函数. （ ） 8. (arcsin arccos ) 0 x x . （ ） 9.若函数 f x( ) 在点 0 x 处可导，则当 x 0 时， 0 y f x x ( ) 是比 x 高阶的无穷 小. （ ） 10.在区间 I 上，若 f x g x ( ) ( ) ，则必有 f x g x ( ) ( ) . （ ） 11.设 f x 在区间 I 上可微，若 f x 0 ，则 f x 在 I 上严格递增. （ ） 12..设 f x 在区间 I 上可导，则 f x 在 I 上为常数函数的充要条件 f x 0 . （ ） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1.设 2 arcsin , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x ae x 在 x 0 处连续，则 a
2.若当△x→0时，函数f(x)在x。点的函数值增量△y与△x是等价无穷小量，则 f'(x)= &若/闭=ha动.则密 4.fx)=2,则f(0)= 5.[sinx+coe 6若2-小则/0- 三选择题 1上1是福数=岩的《) A连续点B可去间断点C跳跃间断点 D无穷间断点 2.设)=xsin则x=0是f)的（ A可去间断点B跳跃间断点C第二类间断点D连续点 1 3.函数y= r-)n啊的间断点有() A2个：B3个C4个D5个 4.下列结论错误的是() Af(x)在点x,连续的充分必要条件是fx)在点x既左连续又右连续 B若fx)在点x无定义，则f(x)在点x一定不连续 C若fx。-0)=fx+0),则fx)在点x。一定连续 D若1imfx)=oo,则f(x)在点，一定不连续 5.设u=4(x,v=(x)可导，则下列结论正确的是() A (n)'=u'v+un B (n)'=u'.v c白-号 D (u+l)=u+1
2. 若当 x 0 时，函数 f x( ) 在 0 x 点的函数值增量 y 与 x 是等价无穷小量，则 0 f x ( ) . 3.若 f x x ( ) ln ln ，则 df dx . 4. sin ( ) 2 x f x ,则 f 0 . 5. (100) 101 99 0 sin cos x x x x e x x . 6.若 2 2 ( ) (2) lim 1 ( 2) x f x f x ，则 f (2) . 三 选择题 1. x 1 是函数 1 1 2 x x y 的（ ） A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点 2.设 1 f x x ( ) sin x ,则 x 0 是 f x( ) 的（ ） A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点 3. 函数 2 1 ( 3)ln y x x 的间断点有（ ） A 2 个； B 3 个 C 4 个 D 5 个 4. 下列结论错误的是 （ ） A f x( ) 在点 0 x 连续的充分必要条件是 f x( ) 在点 0 x 既左连续又右连续 B 若 f x( ) 在点 0 x 无定义，则 f x( ) 在点 0 x 一定不连续 C 若 0 0 f x f x ( 0) ( 0) ，则 f x( ) 在点 0 x 一定连续 D 若 0 lim ( ) x x f x ，则 f x( ) 在点 0 x 一定不连续 5. 设 u u x v v x ( ), ( ) 可导，则下列结论正确的是（ ） A ( ) uv u v uv B ( ) uv u v C ( ) u u v v D ( 1) 1 u u
6.下列结论错误的是() A若f(x)在点x=x,处连续，则fx)在点x=x,处可微 B若f(x)在点x=x处不连续，则f(x)在点x=x,处不可微 C若f(x)在点x=x处可微，则fx)在点x=x,处连续 D若fx)在点x=,处不可微，则fx)在点x=处也可能连续 7.下列命题中正确的是：( A、若f(x在[a,b连续，则f(x)在[a,b]连续： B、若Lf(x】在[a,b)连续，则f(x)在[a,)连续： C、若f(x)在[a,b)连续，则fx在[a,b]连续： D、若f(x)在[a,b]连续，则 在a,]连续 A、f(x)在[0，】中所有有理点连续：B、fx)在0，】中所有无理点连续： C、f(x)在[0，]中有唯一连续点： D、f(x)在[0，]中任意点不连续 9曲线)。，的斜渐近线是（） A、y=x+1: B、y=x-1: C、y=-x-1: D、y=-x+l. [1n1+sinx.x≥0 10.设fx)= ，则() A、f(x)在x=0点不连续： B、f(x)在x=0点连续，但左右导数至少有一不存在： C、fx)在x=0点连续，左右导数存在但不相等： D、f(x)在x=0点可导
6. 下列结论错误的是（ ） A 若 f x( ) 在点 0 x x 处连续，则 f x( ) 在点 0 x x 处可微 B 若 f x( ) 在点 0 x x 处不连续，则 f x( ) 在点 0 x x 处不可微 C 若 f x( ) 在点 0 x x 处可微，则 f x( ) 在点 0 x x 处连续 D 若 f x( ) 在点 0 x x 处不可微，则 f x( ) 在点 0 x x 处也可能连续. 7．下列命题中正确的是： （ ） A、 若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 连续； B、 若 [ ( )] f x 在 [ , ] a b 连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 连续； C、 若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 连续； D、 若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，则 1 f x( ) 在 [ , ] a b 连续. 8．设 1 ( ) ( ) 2 f x x D x ，其中 D x( ) 为狄利克雷函数，则 （ ） A、 f x( ) 在 [0,1] 中所有有理点连续； B、 f x( ) 在 [0,1] 中所有无理点连续； C、 f x( ) 在 [0,1] 中有唯一连续点； D、 f x( ) 在 [0,1] 中任意点不连续. 9. 曲线 2 1 x y x 的斜渐近线是 （ ） A、 y x 1 ； B、 y x 1 ； C、 y x 1 ； D、 y x 1. 10．设 2 ln(1 sin ), 0 ( ) 1 sin , 0 x x f x x x x ，则 （ ） A、 f x( ) 在 x 0 点不连续； B、 f x( ) 在 x 0 点连续，但左右导数至少有一不存在； C、 f x( ) 在 x 0 点连续，左右导数存在但不相等； D、 f x( ) 在 x 0 点可导
11.设fx)在x。点可导，且(x)≠0，则fx)在x。点的增量Ay与微分例k,则 马起() A、0:B、1: C、-l: D、oo sinx<0 12.已知函数f(x)= x ,那么( E,x≥ A、左导数(O)和右导数f(0)都存在： B、左导数(O)和右导数(O)都不存在 C、左导数”(0)不存在，但右导数(O)存在： D、左导数(O)存在，但右导数∫(0)不存在 四、计算题 如果函数@){，在网上处处连续，求和的的 2.求a的值使f(x)= [xsim片+2，x0在定义城内连续 a+4x2x≤0. 3.(1)已知fx)=e'sin2x求fO) (2)已知y=xm求y儿。· 4.己知函数y=arctan(l+x),求y 5已知曲线r=21-r 少=3-' (1)求该曲线在1=1时的切线方程 (2)该参数方程所确定的函数的二阶导数 dx 6.延拓下列函数，使其在R上连续： 1)f=产-8 x-2
11．设 f x( ) 在 0 x 点可导，且 0 f x ( ) 0 ，则 f x( ) 在 0 x 点的增量 y 与微分 0 dy x ，则 y y dy x x 0 0 lim 的值是（ ） A、0； B、1； C、－1； D、. 12．已知函数 2 1 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x x x ，那么 （ ） A、 左导数 f (0) 和右导数 f (0) 都存在； B、 左导数 f (0) 和右导数 f (0) 都不存在； C、 左导数 f (0) 不存在，但右导数 f (0) 存在； D、 左导数 f (0) 存在，但右导数 f (0) 不存在. 四、计算题 1.如果函数 0 0 ( ) a x x e x f x x 在 (,) 上处处连续，求 a 的值. 2.求 a 的值使 2 1 sin 2, 0; ( ) 4 0. x x f x x a x x 在定义域内连续. 3.(1)已知 f x e x x sin 2 求 f 0. (2)已知 sin x y x 求 x 0 y . 4.已知函数 y x arctan(1 ) ，求 dy . 5.已知曲线 2 3 2 3 x t t y t t ， (1）求该曲线在 t 1 时的切线方程； (2）该参数方程所确定的函数的二阶导数 2 2 d y dx . 6.延拓下列函数，使其在 R 上连续： （1） 2 8 ( ) 3 x x f x
(2)/(x)=1-cosx x2 （3)f)=xoms 五.证明题 1.证明：函数f(x)=x-在x=1处连续但不可导. 2证明：孟数侧-F如片0在定文装内处处连续组可导，并款四 0. x=0 3.证明：函数fx)=x在[a,b]一致连续，但在(-0，+)不一致连续 4.设函数∫在区间I上满足Lipschitz条件，即存在常数L>0,使得对I上 任意两点x,x”都有|f(x)-fx"sL|x'-x”1,证明∫在1上一致连续. 5.试用一致连续的定义证明：若f,g都在区间1上一致连续，则∫+g也在1 上一致连续. 6.应用一致连续的定义证明：fx)=√G在[0，+)上一致连续. 7.应用拉格朗日中值定理证明不等式 0器0. 1+x （③)n-sm五>sm-sm五，0≤≤≤5≤元. 2-x 3-x2
（2） 2 1 cos ( ) x x f x （3） x f x x 1 ( ) cos . 五．证明题 1.证明：函数 f x x ( ) 1 在 x 1 处连续但不可导. 2.证明：函数 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x 在定义域内处处连续且可导，并求 f x ( ) . 3. 证明：函数 2 f x x ( ) 在 [ , ] a b 一致连续, 但在 ( , ) 不一致连续. 4. 设函数 f 在区间 I 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数 L 0 ，使得对 I 上 任意两点 x , x 都有 | f (x ) f (x ) | L | x x | ，证明 f 在 I 上一致连续. 5. 试用一致连续的定义证明：若 f ， g 都在区间 I 上一致连续，则 f g 也在 I 上一致连续. 6.应用一致连续的定义证明： f x x ( ) 在 0, 上一致连续． 7. 应用拉格朗日中值定理证明不等式. (1) 2 2 1 arctan arctan 1 a b a b a b b a ， 其中 0 a b． (2) x x x x 1 ln 1 ln 1 1 ，其中 x 0． (3) 3 2 3 2 2 1 2 1 sin sin sin sin x x x x x x x x ，0 x1 x2 x3
