第十四章幂级数 ·一、基本内容 ·1区、幂级数 ()、幂级数的性质 。 (2)、幂级数的运算 2、函数的幂级数展开 ·(①)、泰勒级数 (2)、初等函数的幂级数展开式 。 二、研究幂级数的目的与要求 充分理解函数)的Taylor级数和Maclaurin:级数的概念；掌握函数x)的Taylor 公式：熟练掌握函数可以幂级数展开的条件：会用直接法和间接法求函数的 幂级数展开)：熟练掌握幂级数的内闭致收敛性、和函数的性质（连续性 可积性、可微性)：会求比较简单的幂级数的和函数。幂级数在级数理论中 有着特殊的地位，在函数逼近和近似计算中有重要应用，特别是函数的幂级数 展开为研究非初等函数提供了有力的工具」 ·三、重点与难点 ·重点：幂级数的收敛区间、展开式 。难点：收敛区间端点处敛散性的判别
前页 后页 返回 第十四章 幂 级 数 • 一、基本内容 • 1 、幂级数 • (1) 、幂级数的性质 • (2) 、幂级数的运算 • 2、函数的幂级数展开 • (1) 、泰勒级数 • (2) 、初等函数的幂级数展开式 • 二、研究幂级数的目的与要求 • 充分理解函数f(x)的Taylor级数和Maclaurin级数的概念； 掌握函数f(x)的Taylor 公式；熟练掌握函数可以幂级数展开的条件；会用直接法和间接法求函数的 幂级数展开)； 熟练掌握幂级数的内闭一致收敛性、和函数的性质(连续性、 可积性、可微性) ； 会求比较简单的幂级数的和函数。幂级数在级数理论中 有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数 展开为研究非初等函数提供了有力的工具. • 三、重点与难点 • 重点：幂级数的收敛区间、展开式； • 难点：收敛区间端点处敛散性的判别
§14.1幂级数 ·1、幂级数的收敛区间 ·2、幂级数的性质 ·3、幂级数的运算 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §14.1 幂级数 • 1、幂级数的收敛区间 • 2、幂级数的性质 • 3、幂级数的运算
1、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 2a.-y=a+a-+a- +an(x-x)”+…, (1) 为方便起见，下面将重点讨论x,=0,即 ax=a+a,+a,2++ax+ (2) n=0 的情形.因为只要把(2)中的x换成x-x,就得到(1) 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x 为方便起见, 下面将重点讨论 0 x 0 , 即 2 0 1 2 0 (2) n n n n n a x a a x a x a x x 换成 0 的情形.因为只要把(2)中的 x x , 就得到(1). 0 ( ) , (1) n n a x x
定理14.1（阿贝耳定理）若幂级数(2)在x=x≠0 收敛，则对满足不等式xx引的任何x,幂级数(2)发散， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 x x 0 收敛, 则对满足不等式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在 x x 时发散, 则对满足不等 式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数(2)发散
为幂级数2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢？ 定理14.2对于幂级数(2)，若 limva.l=p. (3) 则当 ()0<p<+o时，幂级数(2)的收敛半径R=1； ()p=0时，幂级数(2)的收敛半径R=+o; (i)p=+o时，幂级数(2)的收敛半径R=0. 前项 返回
前页 后页 返回 为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢? 定理14.2 对于幂级数(2), 若 lim , (3) n n n a 则当 1 (i) 0 , (2) ; R 时 幂级数 的收敛半径 (ii) 0 , (2) ; 时 幂级数 的收敛半径 R (iii) , (2) 0. 时 幂级数 的收敛半径 R
注由定理14.2可知，一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点 在第十二章S2第二段曾经指出：若1im0-p, n-→o|an 则有iman=p.因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径.究竟用比式法还是根式法， 可以参考第十二章的相关说明 前页 后页 返回
前页 后页 返回 注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. 在第十二章§2第二段曾经指出: 若 1 | | lim , | | n n n a a 则有 lim | | . n n n a 因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明
创1级数∑，由于 1= n (n+1)2 →1(n-→o) 所以其收敛半径R=1,即收敛区间为（一1，）；而当 x=+1时，有 P用于级∑收统所 以级数∑ 在=H时也收纹丁是级数∑号 的收敛域为[-1,1小. 前顶 返回
前页 后页 返回 2 , n x n 级数 由于 2 1 2 1( ), ( 1) n n a n n a n 例1 所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当 2 2 2 ( 1) 1 1 1 , , , n x n n n 时 有 由于级数 收敛 所 2 1 n x x n 在 时也收敛. 2 n x n 以级数 于是级数 的收敛域为 [ 1, 1].
例2设有级数 + (4) 由于 n+1=1, R=lima,=lim” 因此幂级数（④）的收敛区间是(-1,1).但级数(4)当 x=1时发散，x=-1时收敛，从而得到级数(4)的收 敛域是半开区间[-1,1).照此方法，容易验证级数 ∑若与∑x 的收敛半径分别为R=+o与R=0. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 因此幂级数(4)的收敛区间是 ( 1, 1) . 但级数 (4) 当 x 1 时发散, x 1 时收敛, 从而得到级数(4)的收 敛域是半开区间 [ 1, 1) . 照此方法, 容易验证级数 ! ! n x n n x n 与 的收敛半径分别为R 与 R 0 . 例2 设有级数 2 , (4) 2 n x x x n 1 1 lim lim 1, n n n n a n R a n 由于
*定理14.3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理） 对于幂级数(2)，设 -limyla,b. (5) 则有 当000时，收敛半径R=合 (i)当p=0时，R=+oo; (ii)当p=+o时，R=0. 注由于上极限（⑤）总是存在，因而任一幂级数总能 由（⑤）式得到它的收敛半径 前 返回
前页 后页 返回 *定理14. 3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理) 对于幂级数(2), 设 lim | |, (5) n n n a 则有 1 (i) 0 , ; R 当 时 收敛半径 (ii) 0 , ; 当 时 R (iii) , 0. 当 时 R 注 由于上极限(5)总是存在, 因而任一幂级数总能 由(5)式得到它的收敛半径
2、幂级数(2)的一致收敛性问题 定理14.4若幂级数(2)的收敛半径为R>0,则在它 x=R(或x=-R)时收敛，则级数(2)在[0，]（或 [-R,0)上一致收敛. 定理14.5若幂级数(2)的收敛半径为R>0,且在 的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]c(-R,R) 上，级数(2)都一致收敛、 前页 后页 返回
前页 后页 返回 2、幂级数(2)的一致收敛性问题. 定理14. 4 若幂级数(2)的收敛半径为 R 0 , 则在它 的收敛区间 ( , ) R R 内任一闭区间 [ , ] ( , ) a b R R 上, 级数(2)都一致收敛. 定理14. 5 若幂级数 (2) 的收敛半径为 R 0 , 且在 x R (或 x R )时收敛, 则级数(2)在 [0, ] R (或 [ , 0] R )上一致收敛