南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）一元函数导数与微分（数二）考研真题.pdf_大学文库

一元函数导数与微分（数二）考研真题第页共页 f xfy )( 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1、（01 年，3 分）设函数在定义域内可导， x)(  的图形如右图所示：则的图形为   xfy )( ( ) 2、（02,3 分）．函数 uf )( 可导，当自变量 ) 2 y  (xf x 在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为０．１，则 x  1 x  1.0 y f  )1( ＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５． 3、（02，3 分）设函数 xf )( 在  R 上有界且可导，则 (A)当 (x  0) 时，必有  lim f 0)(lim x    xf x lim f x   0)(lim ；（Ｂ）当存在时，必有 x)(    xf x ( 0 f 0)(lim0 ； (C) 当 lim x  0) 时，必有 x    xf x (lim0 f x   0)(lim0 ； (D) 当存在时，必有 x)    xf x ． 4、（03，4 分）已知 x x ln y  是微分方程 )( yx xy y   的解，则 )( yx  的表达式为（A） . 2 2 x y  (B) . 2 2 y x (C) . 2 2 y x  (D) . 2 2 y x ( ) [ ] 5、（04，4 分）设函数 f x 连续, 且 f (0) 0  , 则存在  0 ( ) , 使得（A） f x 在(0, )  内单调增加. （B） f ( ) x 在( ,0  ) 内单调减小. （C）对任意的 x(0, )  有 f ( ) (0 x f  ) ( ,0 . （D）对任意的 x  ) 有 f ( ) (0 x f  ).   n n n xf x 3 1lim)(    ),(    )1ln( ,2 2 ty ttx 6、（05，4 分）设函数，则 f(x)在内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] 7、（05，4 分）设函数 y=y(x)由参数方程确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 (A) 32ln 81  . (B) 32ln 8  32ln8 1 . (C)   . (D) . [ ]  32ln8 8、 (06,4 分) 设函数 y fx  ( ) 具有二阶导数，且 fx f x   ( ) 0, ( ) 0   ，x 为自变量 x 在 y 0 x 处的增量，  与 dy 分别为 f ( ) x 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 x  0，则（A）0  dy  y. 0 .  y d  y dy 0. （B） y （C）    （D） dy   y 0. [ ] 1 3

第页共页 1 ( e h g (1) 1, (1) 2  9、（06，4 分）设函数可微， g x( ) h x( )   ) , g x    g(1) ln 3 1 ln 3 1. ，则等于（A） . （B）   （C）   ln 2 1. （D）ln 2 1.  [ ] 10、 (07，4 分) 设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 [ ] A. 若 0 ( ) lim x f x  x 存在，则 f (0) 0  B. 若 0 lim x f () ( ) x fx    f (0) 0 x 存在,  C. 若 0 ( ) lim x f x  x 存在, 则 f (0) 0  D. 0 lim x f () ( ) x fx    f (0) 0 x 存在,  11、（07， 4 分）设函数 f ( ) x (0, f x "( ) 0  ) 1,2......., , 在上具有二阶导数，且 ) , 令 = n u f (n  n 则下列结论正确的是 [ ] A.若u1  u2 ，则un 1 必收敛 B. 若u u  2 ，则un  u  必发散 C. 若u1 2 ，则 un 1 必收敛 D. 若u u  2 ，则un (, ) 必发散 12、(07，4 分) 二元函数 f x y , 0,0 0 y f     在点（0，0）处可微的一个充分条件是[ ] A.      , 0,0 lim x y f x      B.     0 ,0 0,0 0 f x  lim  x f x  ，且    0 0, 0,0 lim 0 y f yf  y   C.        2 2 0,0 0 f x y    , 0,0 ,0 lim x y f x  D.   且 0 lim ' ,0 x x x f x        f ' (0,0) 0, fx f ' ,0 ' (0,0) 0, y y     2 0 lim y     13、（10，4 分）曲线 y  x 与曲线 y a xa  ln ( 0)  相切，则 a  __________ ( ) A 4e ( ) B 3e ( ) C 2e ( ) D e 1)cos( 2   e exy yx 二、填空题 1、（01，3 分）曲线在点（0，1）处的切线方程为： 2、（03，4 分）设函数 y=f(x)由方程所确定，则曲线 y=f(x)在点 (1,1)处的切线方程是 4 ln2  yxxy . 3、（05，4 分）设，则 x  xy )sin1( dy |x =______ . 4、（06，4 分）设函数 y  y x( ) 由方程 1 y y   xe 确定，则 A 0 dydx  = . 2 cos cos 1 sin x t t y t       5、（07，4 分）曲线上对应于 4 t  的点处的法线斜率为_____ 6、（07，4 分）设函数 1 2 3 y x     0 n ，则＝ y _____. 7、（08，4 分）曲线 sin ln  xy yx     x 在点处的切线方程为   0,1 . 1 2 0 2 2 ln(2 ) t u x e du 8、（09，4 分）曲线 y t t          ( ) 在（0，0）处的切线方程为____________ 1 y 9 、（ 09 ， 4 分）设 y  y x 是方程 xye x   确定的隐函数，则 2 2 0 |x dydx =____________  10 、（ 10 ， 4 分）函数 y x   ln(1 2 ) 在 x  0 处的阶导数 n y (0) _____________  l 2 / cm s w 3 / cm s ( ) n 11、（10，4 分）已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的 2 3

速率增加，则当1=12cm,1w=5cm时，它的对角线增加的速率为 6、(04,11分)某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为三、计算 9000g的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞 1、(02,6分)已知曲线的极坐标方程为r=1-c0s0,求该曲线对应于日=：处的切线与法线的直角坐标方程. 机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0×10).问从者陆 2、(02,7分)，已知函数fx)在R上可导，fx)>0,1mfx)=1,且满足点算起，飞机滑行的最长距离是多少注g表示千克.m/h表示千米/小 =. 时 7、(07,10分)已知函数f(a)具有二阶导数，且f0)=1,函数y=(x)由 x=1+22 3、(03,9分)设函数y与x)油参数方程 -三所商定求方程-=1所定设：=-a尝装 8、(08,10分)曲线y=f(x)满足f(0)=1对于任意的1曲线是严格递增，在x 轴上1>0，该曲线与直线x=0,x=(1>0)及y=0用成一曲边梯形.该曲边 4、(03,10分)有一平底容器.其内侧壁是由曲线x=(y0y20)绕y轴旋转而成梯形绕x轴旋转一周得一靛转体，其体积为V(),侧面积为St).如果f(x) 的旋转曲面（如图），容器的底面圈的半径为2m根据设计要求，当以3m/min 二阶可导且识=2，求曲线y=f). 的速幸向容器内注入液体时，液面的面积将以mm之/mn的速幸均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体)。 (1)根据t时刻液面的面积，写出1与y)之间的关系式：加分凌通产由s方产0-所商定：其中0 3 2)求曲线x=y)的方程（注：m表示长度单位米，min表示时间单位分）具有2阶号数，且0=0=6，已知云=40+求函数0. 5、(04,10分)设函数f(x)在(-0，+）上有定义，在区间0,2]上， f(x)=x-4),若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2),其中k为常数. (I)写出f(x)在-2,0]上的表达式： ()问k为何值时，f(x)在x=0处可导第3页共3页

6、（04，11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为 .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 ).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少注表示千克, 表示千米/小时. 9000kg 700 / km h kg 6 k   6.0 10 km h/ 8、（08，10 分）曲线 y fx  ( ) 满足对于任意的曲线是严格递增，在 f (0) 1  t x 轴上，该曲线与直线 t  0 x x  0, )   t t( 0 及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕 y  0 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为V t( ) ,侧面积为 S t( ) .如果 f ( ) x 二阶可导,且 ( ) 2 9、（10，11 分）设函数 y  f x( ) 由参数方程所确定，其中 2 2 ,( 1) ( ) x tt t y t          ( )t 具有阶导数，且 2 5 (1) 2  第 3 页共 3 页速率增加，则当l cm w cm   12 , 5 时，它的对角线增加的速率为 ____________ 三、计算 1、（02， 6 分）已知曲线的极坐标方程为 r   cos1  ，求该曲线对应于 6   处的切线与法线的直角坐标方程． 2、（02，7 分）. 已知函数 xf )( 在  R 上可导，， xf  0)(  1)(lim  xf x ，且满足 h x e xf hxxf h 1 1 ) )( )( (lim0    ，求．xf )( 3、（03， 9 分）设函数 y=y(x)由参数方程 )1( ,21 ln21 1 2        t du ue y tx t u 所确定，求 . 9 2 2 x dx yd 4、（03， 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线   yyx  )0)(( 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 min/3 3 m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设 min/ 2 m 注入液体前，容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 y)( 之间的关系式； (2) 求曲线   yx )( 的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 5、（04， 10 分）设函数 f ( ) x 在（）上有定义    , , 在区间上 [0, 2] , 2 f x xx ( ) ( 4)   , 若对任意的 x 都满足 f x kf x ( ) ( 2)   , 其中为常数 k . (Ⅰ)写出 f ( ) x 在上的表达式 [ 2, 0]  ; (Ⅱ)问k 为何值时, f ( ) x 在处可导 x  0 . 7、（07，10 分）已知函数 f ( ) a 具有二阶导数，且＝1，函数由方程 f '(0) y y  ( ) x 1 1 y y xe    所确定.设 z f   (ln sin ), y x 求 x 0 dzdx  ， 2 2 d z dx x0 . ( ) S t V t  ，求曲线 y  f x( ) .  , (1) 6   ，已知 2 2 3 4(1 ) d y dx t   ，求函数(t)