数值分析是什么 Numerical analysis:the study of quantitative approximations to the solutions of mathematical problems including consideration of and bounds to the errors involved 一The dictionary by Merriam-Webster(韦氏英语词典)，2021 Numerical analysis the study of methods of approximation and their accuracy,etc. 一The Chambers Dictionary(钱伯斯英语词典)，2021 Numerical analysis is the study of algorithms for solving the problems of continuous mathematics,by which we mean problems involving real or complex variables. -Lloyd N.Trefethen,Princeton Companion to Mathematics,2008 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 2/21
数值分析是什么 Numerical analysis: the study of quantitative approximations to the solutions of mathematical problems including consideration of and bounds to the errors involved. —— The dictionary by Merriam-Webster (韦氏英语词典), 2021 Numerical analysis the study of methods of approximation and their accuracy, etc. —— The Chambers Dictionary (钱伯斯英语词典), 2021 Numerical analysis is the study of algorithms for solving the problems of continuous mathematics, by which we mean problems involving real or complex variables. —— Lloyd N. Trefethen, Princeton Companion to Mathematics, 2008 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/21
计算数学Computational Mathematics O1947年Von Neumann和Goldstine在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩阵的数 值求逆”的著名论文，开启了现代计算数学的研究 )一般来说，计算数学主要研究如何（利用计算机）计算数学问题的近似解（数值解），包括 算法的设计、分析与计算机实现 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 3/21
计算数学 Computational Mathematics 1947 年 Von Neumann 和 Goldstine 在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩阵的数 值求逆”的著名论文, 开启了现代计算数学的研究. 一般来说, 计算数学主要研究如何 (利用计算机) 计算数学问题的近似解 (数值解), 包括 算法的设计、分析与计算机实现. 计算数学主要研究内容 数值代数 (线性、非线性), 数值逼近, 数值微积分, 微分方程数值解（常微分方程、偏微分 方程）, 数值优化, 反问题计算, 等等 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/21
计算数学Computational Mathematics )1947年Von Neumann和Goldstine在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩阵的数 值求逆”的著名论文，开启了现代计算数学的研究 )一般来说，计算数学主要研究如何（利用计算机）计算数学问题的近似解（数值解），包括 算法的设计、分析与计算机实现 计算数学主要研究内容 数值代数（线性、非线性），数值逼近，数值微积分，微分方程数值解（常微分方程、偏微分 方程)，数值优化，反问题计算，等等 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 3/21
计算数学 Computational Mathematics 1947 年 Von Neumann 和 Goldstine 在《美国数学会通报》发表了题为“高阶矩阵的数 值求逆”的著名论文, 开启了现代计算数学的研究. 一般来说, 计算数学主要研究如何 (利用计算机) 计算数学问题的近似解 (数值解), 包括 算法的设计、分析与计算机实现. 计算数学主要研究内容 数值代数 (线性、非线性), 数值逼近, 数值微积分, 微分方程数值解（常微分方程、偏微分 方程）, 数值优化, 反问题计算, 等等 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/21
国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类(2019) )计算数学与科学工程计算(A0117) -偏微分方程数值解(A011701) -流体力学中的数值计算(A011702) -一般反问题的计算方法(A011703) ·常微分方程数值计算(A011704) -数值代数(A011705) ·数值逼近与计算几何(A011706) ·谱方法及高精度数值方法(A011707) ·有限元和边界元方法(A011708) ·多重网格技术与区域分解(A011709) ·自适应方法(A011720) -并行计算(A011711) ⑦运筹学（数值最优化，非线性方程，…） http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 4/21
国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类 (2019) 计算数学与科学工程计算 (A0117) - 偏微分方程数值解 (A011701) - 流体力学中的数值计算 (A011702) - 一般反问题的计算方法 (A011703) - 常微分方程数值计算 (A011704) - 数值代数 (A011705) - 数值逼近与计算几何 (A011706) - 谱方法及高精度数值方法 (A011707) - 有限元和边界元方法 (A011708) - 多重网格技术与区域分解 (A011709) - 自适应方法 (A011720) - 并行计算 (A011711) 运筹学 (数值最优化, 非线性方程, ...) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/21
国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类(2021) )A05计算数学 ·A0501算法基础理论与构造方法 ·A0502数值代数 ·A0503数值逼近与计算几何 ·A0504微分方程数值计算 ·A0505反问题建模与计算 ·A0506复杂问题的可计算建模与数值模拟 ·A0507新型计算方法 ⊙A04统计与运筹：连续优化，离散优化，随机优化与统计优化，… ⊙A06数学与其他学科的交叉：符号计算，人工智能，数据科学 -A0813计算固体力学 -A0910计算流体力学 ⑦F02计算机科学：信息安全，数据科学与大数据计算 ⑦F06人工智能 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 5/21
国家自然科学基金委员会关于计算数学的分类 (2021) A05 计算数学 - A0501 算法基础理论与构造方法 - A0502 数值代数 - A0503 数值逼近与计算几何 - A0504 微分方程数值计算 - A0505 反问题建模与计算 - A0506 复杂问题的可计算建模与数值模拟 - A0507 新型计算方法 A04 统计与运筹: 连续优化, 离散优化, 随机优化与统计优化, ... A06 数学与其他学科的交叉: 符号计算, 人工智能, 数据科学 - A0813 计算固体力学 - A0910 计算流体力学 F02 计算机科学: 信息安全, 数据科学与大数据计算 F06 人工智能 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/21
为什么计算数学 计算科学是21世纪确保国家核心竞争能力的战略技术之一 一计算科学：确保美国竞争力，2005年总统信息技术咨询委员会报告 科学计算是20世纪重要科学技术进步之一，已与理论研究和实验研究相并列成为科学研究 的第三种方法.现今科学计算已是体现国家科学技术核心竞争力的重要标志，是国家科学技 术创新发展的关键要素 一国家自然科学基金·重大项日指南，2014 科学计算的核心/数学基础：计算数学 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/21
为什么计算数学 计算科学是 21 世纪确保国家核心竞争能力的战略技术之一. —— 计算科学: 确保美国竞争力, 2005 年总统信息技术咨询委员会报告 科学计算是 20 世纪重要科学技术进步之一, 已与理论研究和实验研究相并列成为科学研究 的第三种方法. 现今科学计算已是体现国家科学技术核心竞争力的重要标志, 是国家科学技 术创新发展的关键要素 —— 国家自然科学基金 · 重大项目指南, 2014 科学计算的核心/数学基础: 计算数学. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/21
数值分析/计算方法/数值计算方法 借助计算机的高速计算能力，解决现代科学、工程、经济、人文等领域中的各类复杂（数 学)问题，是数学与计算机的有机结合 实际 数学 数值 程序 上机 结果 问题 模型 方法 设计 实现 分析 修正模型 多数值分析的任务主要包括其中的数值方法、程序设计和上机实现 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 7/21
数值分析/计算方法/数值计算方法 借助计算机的高速计算能力, 解决现代科学、工程、经济、人文等领域中的各类复杂 (数 学) 问题, 是数学与计算机的有机结合. 实际 问题 数学 模型 数值 方法 程序 设计 上机 实现 结果 分析 修正模型 数值分析的任务主要包括其中的数值方法、程序设计和上机实现 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/21
应用举例：线性方程组 个古老的数学问题 今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗 章箕術 问上、中、下禾实一秉各几何？ 一方程术（消元思想）《九章算术》（公元 3x+2y+z=39 a11 ain T1 2x+3y+2=34 . Ax=b x+2y+3z=26 anl ann In http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 8/21
应用举例: 线性方程组 一个古老的数学问题 今有 上禾三秉, 中禾二秉, 下禾一秉, 实三十九斗; 上禾二秉, 中禾三秉, 下禾一秉, 实三十四斗; 上禾一秉, 中禾二秉, 下禾三秉, 实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？ — 方程术 (消元思想) 《九章算术》(公元初) 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 a11 · · · a1n . . . . . . . . . an1 · · · ann x1 . . . xn = b1 . . . bn Ax = b http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/21
应用举例：非线性方程 平方根 怎样计算平方根？如V2,√2I,√20I,√元 等价于非线性方程 f(x)=x2-2=0 Newton迭代法： 1= (+ k=0,1,2, 0得到迭代序列：x0=1.0,x1=1.5,x2=1.416667,x3=1.414216,x4=1.414214,. 思考：怎么计算n次多项式的零点？ http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 9/21
应用举例: 非线性方程 平方根 怎样计算平方根？如 √ 2, √ 21, √ 201, √ n 等价于非线性方程: f(x) = x 2 − 2 = 0 Newton 迭代法: xk+1 = 1 2 ( xk + 2 xk ) , k = 0, 1, 2, . . . 得到迭代序列: x0 = 1.0, x1 = 1.5, x2 = 1.416667, x3 = 1.414216, x4 = 1.414214, . . . 思考：怎么计算 n 次多项式的零点? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/21
应用举例：矩阵特征值与特征向量 Google PageRank 0 Goolge,1998年创立，现今市值约1.76万亿美元(2024.02) Gx=x,e'x=1 PageRank -G:Google Matrix,"the world's largest matrix computation" -C:PageRank vector,"The $25,000,000,000 Eigenvector"(SIAM Review,2006) 出w The $25,000,000,000 Eigenvector: The Linear Algebra behind Google" 2 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 10/21
应用举例: 矩阵特征值与特征向量 Google PageRank Goolge, 1998 年创立, 现今市值约 1.76 万亿美元 (2024.02) Gx = x, e ⊺ x = 1 - G: Google Matrix, “the world’s largest matrix computation” - x: PageRank vector, “The $25,000,000,000 Eigenvector” (SIAM Review, 2006) SIAM REVIEW c 2006 Society for Industrial and Applied Mathematics Vol. 48,No. 3,pp. 569–581 The $25,000,000,000 Eigenvector: The Linear Algebra behind Google∗ Kurt Bryan† Tanya Leise‡ Abstract. Google’s success derives in large part from its PageRank algorithm, which ranks the importance of web pages according to an eigenvector of a weighted link matrix. Analysis of the PageRank formula provides a wonderful applied topic for a linear algebra course. Instructors may assign this article as a project to more advanced students or spend one or two lectures presenting the material with assigned homework from the exercises. This material also complements the discussion of Markov chains in matrix algebra. Maple and Mathematica files supporting this material can be found at www.rose-hulman.edu/∼bryan. Key words. linear algebra, PageRank, eigenvector, stochastic matrix AMSsubject classifications. 15-01, 15A18, 15A51 DOI. 10.1137/050623280 1. Introduction. When Google went online in the late 1990s, one thing that set it apart from other search engines was that its search result listings always seemed to deliver the “good stuff” up front. With other search engines you often had to wade through screen after screen of links to irrelevant webpages that just happened to match the search text. Part of the magic behind Google is its PageRank algorithm, which quantitatively rates the importance of each page on the web, allowing Google to rank the pages and thereby present to the user the more important (and typically most relevant and helpful) pages first. Understanding how to calculate PageRank is essential for anyone designing a web page that they want people to access frequently, since getting listed first in a Google search leads to many people looking at your page. Indeed, due to Google’s prominence as a search engine, its ranking system has had a deep influence on the development and structure of the Internet and on what kinds of information and services get accessed most frequently. Our goal in this paper is to explain one of the core ideas behind how Google calculates webpage rankings. This turns out to be a delightful application of standard linear algebra. Search engines such as Google have to do three basic things: 1. Crawl the weband locate all webpages with public access. 2. Index the data from step 1, so that they can be searched efficiently for relevant key words or phrases. ∗Received by the editors January 25, 2005; accepted for publication (in revised form) January 5, 2006; published electronically August 1, 2006. $25,000,000,000 was the approximate market value of Google when the company went public in 2004. http://www.siam.org/journals/sirev/48-3/62328.html †Department of Mathematics, Rose-Hulman Institute of Technology, Terre Haute, IN 47803 (kurt. bryan@rose-hulman.edu). ‡Mathematics and Computer Science Department, Amherst College, Amherst, MA 01002 (tleise@ amherst.edu). 569 Downloaded 01/12/23 to 219.228.146.42 . Redistribution subject to SIAM license or copyright; see https://epubs.siam.org/terms-privacy http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 10/21