微分方程（数一）考研真题 10.(11年，4分)微分方程y'+y=e-c0sx满足条件O)=0的解为 y= 三、计算 一、选舞题（特最佳答案的序号填写在括号内） 1.(4年，9分)设。=l,具有二阶连续导数，f0)=0,f(0)=1,且 1.(08年，4分)在下列微分方程中，以y=Ce+Ccos2x+C3sin2x(C,C,C [x叫x+y)-f(xy+Lf"(x)+x2y=0为一全微分方程，求f(x)及此全 为任意常数)为通解的是() 微分方程的通解。 (4)y"+y-4y-4y=0. (B)y+y'+4y+4y=0 2.(98年，6分)从船上向海中投放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下 沉深度y(从海平面算起)与下沉速度？之间的函数关系.设仪器在重力作用下， (C)y-y'-4y+4y=0 (D)y"-y+4y-4y=0 从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器 二、填空题 的质量为m,体积B为，海水比重为P,仪器所受阻力于下沉速度成正比， 1.(96年，3分)微分方程y”-2y+2y=e的通解为y= 比例系数为k(k>0)试建立与满足的微分方程，并求出函数关系式y=v) 2.(99年，3分)y”-4y=e“的通解为y= 天(02年，7分)验证函数=14+上 3.(00年，3分)微分方程”+3y'=0的通解为 4.(01年，3分)设y=e(ci sin x+C2cosr)(c,c2为任意常数).为某二阶常系数线 满足微分方程了广+少+少=：利用前面结果求聚级数之之 名3m的和函数。 性齐次微分方程的通解，则该方程为 4.(03年，12分)设函数yy(x)在(-D,+0)内具有二阶导数，且y'0,x=x(y)是 5(02年，3分)微分方程y少+广=0满足初始条件儿。=山1。=5的特 解是 门尚反香数0该格断足的微分方导4n停-0 6《0s年，4分》微分方程可+2y=hx满足0=-号的解为— 变换为y与(x)满足的微分方程：(2)求变换后的微分方程满足初始条件 7.(06年，3分)微分方程y广=-卫的适解为 0)=0,y'0)=三的解. 8.(08年，4分)微分方程y+y=0满足条件y()=1的解是y= 5.(04年，11分)设有方程x”+瓜-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在椎 9.(09年，4分)若二阶常系数齐次线性微分方程y”++y=0的通解为 一正实根x,并证明当口>1时，级数2x收敛。 y=(G+cxe2则非济次方程y+a+by=x满足条件0)=2 6.(06年，0分)设函数f(u)在(0，+o)内具有二阶导数，且：=fNF+满 y'(0)=0的解为y=一 第1页共2页
微分方程（数一）考研真题 第 页 共 页 3 cos 2 sin x C 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1. （08 年，4 分）在下列微分方程中，以 1 2 x （ 3 x e C 2 1 2 y C CCC , , 为任意常数）为通解的是（ ） A y y 4 4 y y 0 . B yy y y 4 4 0 4 4 y . C y y y 0 . D yy y y 4 4 0 y 2 _____ . 二、填空题 1. （96 年，3 分）微分方程 的通解为 x 2 eyy y __________ _ 2. （99 年，3 分） 的通解为 x ey 2 y 4 y ________________ 3. (00 年，3 分) 微分方程 yyx 03 的通解为 4.（01 年，3 分）设 2 xcx )cos （ 为任意常数）为某二阶常系数线 21 sin , cc 1 (cey x 性齐次微分方程的通解，则该方程为 5. （02 年，3 分）微分方程 0满足初始条件 2 yyy 21 ,1 0 0 x x yy _____________ ln xx 的特 解是 ____________________ 6. （05 年，4 分） 微分方程 2yyx 满足 91 y )1( 的解为 . 7.（06 年，3 分）微分方程 x xy y )1( 的通解为 8.（08 年，4 分）微分方程 xy y 0满足条件 y 1 1的解是 y 9.（09 年，4 分）若二阶常系数齐次线性微分方程 byyay 0 x )exc 2 xbyy 的通解为 y (c1 则非齐次方程 ya 满足条件 y 2)0( 0( y xeyy x cos y 0)0( ______ y 0) 的解为 _____. 10. （ 11 年 ， 4 分）微分方程 满足条件 的解为 y __________ 三、计算 1．（94 年，9 分）设 ,1 0 x y f ,0)0( f 1)0( 0])([])( 2 dyyxxfdyyx xf )( y v m 具有二阶连续导数， ，且 为一全微分方程，求 及此全 微分方程的通解。 ([ xxy ) fy 2. （98 年，6 分）从船上向海中投放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下 沉深度 （从海平面算起）与下沉速度 之间的函数关系。设仪器在重力作用下， 从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器 的质量为 ，体积 B 为 ，海水比重为 ，仪器所受阻力于下沉速度成正比， 比例系数为 kk 0( ).试建立 与 满足的微分方程，并求出函数关系式 vyy )( 3.（02 年，7 分）验证函数 ( ) !)3(!9!6!3 1)( 962 3 x n xxxx xy n x 满足微分方程 y eyy ；利用前面结果求幂级数 0 3 !)3( n n n x ),( 的和函数。 4. （03 年，12 分）设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 yxxy )(,0 是 y=y(x)的反函数.(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 0))(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 y )0( y )0(,0 01 的解. 5. （04 年，11 分）设有方程 nxx n n x 1 ，其中 为正整数，证明此方程存在惟 一正实根 ，并证明当 时，级数 收敛 . n1 n x 6.（06 年，10 分）设函数 f u 在 内具有二阶导数 且 0, , 2 2 zf x y 满 足等式 2 2 2 2 0 z z x y 1 2
1险证fr回+四.0 (Π)诺f()=0,f()=L,求函数f()的表达式. 7.(10年，10分)求微分方程y-3y+2y=2xe的通解 第2页共2页
第 2 页 共 2 页 7. （10 年，10 分）求微分方程 的通解. x 223 xeyyy (Ⅱ)若 f f fu 1 0, 1 1, 求函数 的表达式 . (Ⅰ)验证 0 f u f u u