§1隐函数 隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨 论隐函数的存性、连续性与可微性，不仅出于 深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面 研究隐函数组的存在性问题打好了基础： 一、隐函数概念 二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理 四、隐函数求导数茶例 前项 返回
前页 后页 返回 隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨 论隐函数的存性、连续性与可微性,不仅出于 深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面 研究隐函数组的存在性问题打好了基础. §1 隐 函 数 一、隐函数概念 二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理 四、隐函数求导数举例
一、隐函数概念 显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数.例如： y=1+sin3x,z=vx2+y2. 隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 方程式所确定的函数，通常称为隐函数.例如： x2/3+y23=n213,x3+y3+z3-3y=0. 隐函数一般定义：设EcR2,F:E→R,和方程 前页 后页 返回
前页 后页 返回 方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如： 3 2 2 y x, z x y . 1 sin 2/ 3 2/ 3 2/ 3 3 3 3 x y a , x y z xy . 3 0 一、隐函数概念 显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如： 隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 隐函数一般定义： 2 设 和方程 E F E R , : R
F(x,y)=0. (1) 若存在I、JcR,使得对任一x∈I,有惟一确定的 y∈J与之对应，能使(x,y)∈E,且满足方程(1)， 则称由方程(1)确定了一个定义在I,值域含于J 的隐函数.如果把此隐函数记为 y=f(x),x∈I,y∈J, 则成立恒等式 F(x,f(x)=0,x∈I. 前 返回
前页 后页 返回 则成立恒等式 F(x, f (x)) 0, x I. 若存在 、 使得对任一 I J x I R, , 有惟一确定的 y J 与之对应, 能使 ( , ) , x y E 且满足方程 (1) , 则称由方程 (1) 确定了一个定义在 I , 值域含于 J y f (x), x I, y J , 的隐函数. 如果把此隐函数记为 F x y ( , ) 0. (1)
注1隐函数一般不易，甚至不能化为显函数，但不 妨仍记为y=fd). 注2不是任一方程F(x,y)=0都能确定隐函数 例如x2+y2+1=0显然不能确定任何隐函数。 注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 取值范围.例如由方程x2+y2=1可确定如下两 个函数： 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 2 2 取值范围．例如由方程 x y 可确定如下两 个函数： 注2 不是任一方程 F(x, y) 0 都能确定隐函数, 例如 1 0 显然不能确定任何隐函数． 2 2 x y 妨仍记为 y f (x) . 注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 注1 隐函数一般不易,甚至不能化为显函数,但不
y=fi(x)(=√1-x2),x∈-1,1，ye[0,1]; y=f2(x)(=-√1-x2),x∈-1,1]，y∈[-1,0]. 注4类似地可定义多元隐函数.例如：由方程 F(x,y,z)=0确定的隐函数z=f(x,y),由方程 F(x,y,z,M)=0确定的隐函数u=f(x,y,z),等 等 在§2还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题， 前
前页 后页 返回 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题. 0 ]. [ 1, ( )( 1 ), [ 1,1 ], ( )( 1 ), [ 1,1 ], [0, 1]; 2 2 2 1 y f x x x y y f x x x y 注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程 F(x, y,z) 0 确定的隐函数 z f (x, y), 由方程 F(x, y,z, u) 0 确定的隐函数 u f (x, y,z) , 等 等
二、隐函数存在性条件分析 要讨论的问题是：当函数F(x,y)满足怎样一些 条件时，由方程(1)能确定隐函数y=f(x),并使 该隐函数具有连续、可微等性质？ (a)P(xo,o),满足F(,y)=0,yo=f(x): (b)为使y=f(x)在x,连续，故要求F(x,y)在点 P,连续是合理的. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 y f (x ) , 并使 要讨论的问题是：当函数 F(x, y ) 满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等性质? ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0, ( ). 0 0 0 x0 ，满足 F x y y f P0 连续是合理的． y f (x) 0 (b) 为使 在 x 连续，故要求 F(x, y) 在点 (a)
(c)为使y=f(x)在x可导，即曲线y=f(x)在 点P,存在切线，而此切线是曲面z=F(x,y)在点 P,的切平面与z=0的交线，故应要求F(x,y)在 点P可微，且(F(xy0),F,(xo,0)≠(0,0)： ()在以上条件下，通过复合求导数，由（①）得到 &F,1sF,W+5,wfK)=0. f)=-E(52 F(Xo2Yo) 由此可见，F,(x,y)≠0是一个重要条件. 前页
前页 后页 返回 由此可见， F y (x0 , y0 ) 0 是一个重要条件． 0 0 0 0 0 0 d ( , ( )) ( , ) ( , ) ( ) 0, d F x f x F x y F x y f x x x x y x 点 存在切线，而此切线是曲面 z F(x, y) 在点 P0 的切平面与 的交线，故应要求 在 P0 z 0 F(x, y) y f (x) 0 (c) 为使 在 x 可导，即曲线 y f (x) 在 P0 ( ( , ), ( , )) (0, 0). 点 可微，且 Fx x0 y0 Fy x0 y0 (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) x y F x y f x . F x y
三、隐函数定理 定理18.1（隐函数存在惟一性定理)设方程(1)中 的函数F(x,y)满足以下四个条件： ()在以P(x,o)为内点的某区域DcR上连续； (i)F(x,yo)=0(初始条件)： ()在D内存在连续的偏导数F,(x,y): (iv)F,(xo,yo)≠0. 则有如下结论成立： 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 三、隐函数定理 定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 F (x, y) 满足以下四个条件： ( , ) 0 0 0 P x y 2 (i) 在以 为内点的某区域 D R 上连续； (ii) F(x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )； D F (x, y) y (iii) 在 内存在连续的偏导数 ； 0 0 ( , ) 0. (iv) F x y y 则有如下结论成立：
1°存在某邻域U(P)cD,在U(P)内由方程(1) 惟一地确定了一个隐函数 y=f(x),xE(xo-a,xo+a), 它满足： f(xo)=o,且当x∈(x-a,xo+a)时，使得 (x,f(x)∈U(P),F(x,f(x)≡0； 2°f(x)在(-a,x,+a)上连续. 证首先证明隐函数的存在与惟一性. 证明分为以下四步 前
前页 后页 返回 0 0 y f x x x x ( ), ( , ), ( , ( )) ( ), ( , ( )) 0; x f x U P0 F x f x 2 f (x) 在 上连续． ( , ) x0 x0 惟一地确定了一个隐函数 它满足： 0 0 f x y ( ) ( , ) , 且当 x x0 x0 时, 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明分为以下四步 U(P0 ) D ( ) 存在某邻域 U P0 1 ，在 内由方程 (1)
(a)“一点正，一片正” 由条件(v),不妨设 F,(x0,y0)>0. 因为F,(x,y)连续，所以根据 保号性，3B>0,使得 F,(x,y)>0,(x,y)∈S, 其中S=[x-B,x+B]xy-B,y+B1cD. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 其中 S x x y y D. [ , ] [ , ] F (x, y) 0, (x, y) S, y 0 0 ( , ) 0. F x y y (a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设 F (x, y) 因为 y 连续，所以根据 保号性， 0, 使得