导数与微分（数一）考研真题 3.(05年，4分)设函数f)=mV+f,则)在(-+)内（） (A)处处可导 ()拾有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点 一、选择愿（将最佳答案的序号填写在括号内） 4.(95年，3分)设在0，上f(x)>0,则f0,f0,f)-f0)或 1.(02年，3分)设函数y=x)在(0，+)内有界且可导，则() f0)-f0)的大小顺序是() ()当1imfx)=0时，必有1imf(x)=0. (A)I)>f'(0)>fI-f0)(B)f')>f0)-f0)>f'0) (当1imfx)存在时必有1mf)=0. (C)fd)-f0)>f"I)>f0(D)fI)>f0)-fI)>f"0) (C)当1mf)=0时.必有mfx)=0. 5.(95年，3分)设fx)可导，F(x=f(x1+sin,则f0)=0是F(x) (D)当mf)存在时，必有1mf)=0. 在x=0可导的() (4)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件 2.(03年，4分)设函数f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则r(x) 有() (C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件 ()一个极小值点和两个极大值点， &年3》设四有二价适续数且0=0，=得 (B)两个极小值点和一个极大值点 则() (C)两个极小值点和两个极大值点， (A)fO)是fx)的极大值 (D)三个极小值点和一个极大值点 (B)f(O)是fx)的极小值 (C)0,f(O)是曲线y=fx)的拐点 (D)fO)不是fx)的极值，(0，fO)也不是曲线y=fx)的拐点 第1页共3页
导数与微分（数一）考研真题 3 ( ) lim 1 n n 第 页 共 页 ( ) 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1. （02 年，3 分）设函数 y f x 在(0, ) m ( f x lim ( ) 0 x f x 内有界且可导，则（ ） (A li x ) 当 ) 0 时，必有 . (B) 当 lim ( x f x) lim ( ) 0 x f x 存在时，必有 . (C li x )当 时，必有 0 m ( f x 0 lim ( ) 0 x f x ) 0 . (D)当 0 lim ( x f x) 0 lim ( ) 0 x f x 存在时，必有 . 2.（03 年，4 分）设函数 f(x)在 ),( (A ( 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x) 有（ ） ) 一个极小值点和两个极大值点. B) 两个极小值点和一个极大值点. (C (D ) 两个极小值点和两个极大值点. ) 三个极小值点和一个极大值点. y O x 3.（05 年，4 分）设函数 f x x ，则 f (x) ( , (A ( ) 在 ) 内（ ） )处处可导 B 恰有一个不可导点 (C (D [0,1] f x () 0 (0), (1), (1) (0) ) 恰有两个不可导点 ) 至少有三个不可导点 4.（95 年，3 分）设在 上 ，则 f ff f ) 或 f (0) (1 f 的大小顺序是（ ） ( ) A f (1) f ff (0) (1) (0) ( ) B f ff f (1) (1) (0) (0) ( ) C f f (1) (0) (1) (0) f f ( ) D f fff (1) (0) (1) (0) ( ) 5.（95 年，3 分）设 f x 可导，F( ) ( )(1 sin x fx x ) ，则 f (0) 0 是 F x( ) 在 x 0 可导的（ ） (A)充分必要条件 ( ) B 充分条件但非必要条件 (C (D ( ) )必要条件但非充分条件 )既非充分条件又非必要条件 6.（96 年，3 分）设 f x 有二阶连续导数，且 ， f (0) 0 0 ( ) lim 1 x f x x ( ) A (0) ， 则（ ） f 是 f ( ) x ( ) 的极大值 B f (0)是 f ( ) x ( ) C (0, (0)) f ( 的极小值 是曲线 y f x) 的拐点 ( ) D f (0)不是 f ( ) x 的极值， 也不是曲线 (0, (0)) f y f x( ) 的拐点. 1 3
7.(96年，3分)设f)有连续的导数，f0)=0,f0)≠0，F(x)=(x2-f0)d, (国若m+国存在.则f0=0 且当x→0时F(x)与是同阶无穷小，则k等于() m因国存在.则了0存在 (C)若四 (401 (B)2 (C)3 (D)4 (0若一-国存在.则0存在 8.(8年，3分)函数fx)=(x2--2)r3-不可导点的个数是() 二、填空题 (403 (B)2 (C)1 (D)0 1.(02年，3分)已知函数y=f(x)由方程e'+6y+x2-1=0确定，则 9.(00年，3分)设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)f(b)g(x) (B)f(x)g(a)>f(a)g(x) 三、证明与讨论题 (C)f(x)g(x)>f(b)g(b) (D)f(x)g(x)>f(ag(a) 1.(2002年，6分，数一)设函数fx)在x=0的某邻域内有一阶连续 导数，且f(0)≠0，f(0)≠0，若af(h)+f(2)-f0)在h→0时是 10.(01年，3分)设f(0)=0,则fx)在点x=0可导的充要条件为() 比h高阶的无穷小，试确定a,b的值 团f0-os存在()四方0-存在 x=cos() (C京fh-sm)存在(D四/2-存在 2.(94年，5分)设 11.(06年，3分)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)>0,f(x)>0, 的值。 △r为自变量x在x处的增量，Ay与少分别为f(x)在点x处对应的 3.(04年，9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格 增量与微分，若△x>0,则( P∈(0,20)，Q为需求量。(1)求需求量对价格的弹性E, (4)00为2)指号票-Q0-6(中尺为收益》.并用端 (C)Ay0,曲线y=(x)上点(x,f(x》处的切 第2页共3页
第 页 共 页 7.（96 年，3 分）设 f (x) 有连续的导数，f (0) 0 ，f (0) 0 0 ( ) x ， 2 2 F x x ( ) () F x ( ) t f t dt ， 且当 时 与 x 0 k x 是同阶无穷小，则 等于（ ） k (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8.（98 年，3 分）函数 2 3 f ( )= x x （ - -2） x x x (A 不可导点的个数是（ ） ) 3 ( ) B 2 1 ( ) C (D) 0 9.（00 年，3 分）设 f ( ) x ，g x( ) 是恒大于零的可导函数，且 f x ()() g x f xg x () () 0 ， 则当a x b 时，有（ ） ( ) A f () () x g b f ( ) b g x( ) ( ) B f ()() ()() xga f agx ( ) C f ()() x g x f (b g) ( ) b ( ) D f ( ) xgx f aga () ()( ) 10.（01 年，3 分）设 f (0) 0，则 f ( ) x 在点 x 0 可导的充要条件为（ ） ( ) A 21 (1 0 limh f cos ) h h ( ) 存在 B 0 1 lim (1 ) h h f e h 存在 ( ) C 21 ( 0 limh f h sin ) h h 存在 ( ) D 0 1 lim [ (2 ) ( )] h f h fh h ( 存在 11.（06 年，3 分）设函数 y f x) 具有二阶导数，且 f x ( ) 0， f x ( ) 0 ， x 为自变量 x 在 0 x 处的增量，y 与dy 分别为 f ( ) x 在点 0 x 处对应的 增量与微分，若 x 0，则（ ） ( ) A 0 dx y ( ) B 0 y dy ( ) C y dy 0 ( ) D dy y 0 12.（07 年，4 分）设函数 f ( ) x 在 x 0 处连续，下列命题错误的是 （ ） (A) 若 0 ( ) limx f x x 存在，则 f (0) 0 (B)若 0 () ( ) limx f x fx x f (0) 0 (C 存在，则 )若 0 ( ) limx f x x f (0) (D 存在，则 存在 )若 0 () ( ) limx f x fx x f (0) ( ) 存在，则 存在 二、填空题 1.（02 年，3 分）已知函数 y f x 由方程e xy x y 6 1 2 0确定，则 y (0) __________ 三、证明与讨论题 1. （2002 年，6 分，数一）设函数 f ( ) x x 0 f f (0) 0, (0) 0 在 的某邻域内有一阶连续 导数，且 af ( ) (2 ) (0) h bf h f h 0 a b, ，若 在 时是 比h 高阶的无穷小，试确定 的值. 2.（94 年，5 分）设 2 2 2 1 cos( ) 1 cos( ) cos 2 t x t y t t udu u ，求 2 2 , dy d y dx dx 2 t 在 Q 100 5 (0, 的值。 3. （04 年，9 分）设某商品的需求函数为 P ,其中价格 P 20) ， 为需求量。（ 1）求需求量对价格的弹性 （ ）；（2）推导 Q Ed Ed 0 (1 ) d dR Q E dP （其中 R 为收益），并用弹 性 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加 Ed x 0 ( ) 四、与导数有关的综合题 1.（96 年，7 分）设对任意 ，曲线 y f x 上点( , ( )) x f x 处的切 2 3
线在y轴上的截距等于f0d,求田)的一般表达式。 (I1)存在两个不同的点n,5∈(0，)，使得f"()f()=1 2.(9%年，8分)设f(x)在0，】上具有二阶导数，且满足条件/(xsa,f(xsb, 9.(og年，10分)函数f(国)在[a,b连续，F()=f)d,证明F() 其中a,b都是非负带数，c是0，内任意一点，证明八es2a+号 在[a,b]可导，且F()=f(x) 3.(9m年，6分)设国连续.以xfuh,且职国=机伪常题，求p国 10.(95年，8分)假设函数f(xhgx)在[a,b1上存在二阶导数，并且 并讨论（x)在x=0处的连续性. g'(x)≠0，f(a)=fb)=g(a)=g(b),试证：(1)在开区间(a,b)内 4.(98年，6分)设y=f(x)在区间[0，上的任一非负连续函数.(1)试证存 80.(2)在开区同(a内至少存在一点5，使早_2」 g(5)g) 在x。∈0，)，使得在区间0，x]上以f(x)为高的矩形面积，等于在区间 1l.(07年.11分)设函数fx),g(x)在[a,]上连续，在(a,b)内具有 氏，上以y=fx)为曲边的梯形面积。(2)又设fx)在区间(0，)内可 二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b)。证明： 导，且>-2，证明(1)中的气是唯一的. 存在5∈(a,b),使得(5=8"(5)· 5.(99年，6分)试证：当x>0时，(x2-)nx2(x-l。 6.(o0年，6分)设函数f在0，]上连续，且fx)d=0,f)cosx迹=0 试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点东，员，使f)=(5)=0· 7.(01年，7分)设y=f(x)在(-L,)内具有二阶连续导数且f(x)≠0，试证： (1)对于(-L,)内的任一x0,存在唯一的x)∈(0,1)，使 f(x)=f(0)+xf((x)x) 成立： 2)m- 8.(05年，12分)已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1 证明：(I)存在5∈(0，，使得f()=1-5: 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 线在 y 轴上的截距等于 0 1 ( ) x f t dt x ，求 f ( ) x 的一般表达式。 2.（96 年，8 分）设 f ( ) x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件 f () , () x af x b ， 其中 都是非负常数， a,b c 是(0,1) 内任意一点，证明 () 2 2b fc a 3.（97 年，6 分）设 f ( ) x 连续， 10 ( )= x f x( ) t dt ，且 0 ( ) lim ( ) x f x A A x 为常数 ，求( ) x 并讨论( ) x 在 x 0 处的连续性. 4.（98 年，6 分）设 y f x( ) 在区间[0,1]上的任一非负连续函数.（1）试证存 在 x0 (0,1) ，使得在区间 0 [0, ] x 上以 0 f ( ) x 为高的矩形面积，等于在区间 0 [ , x 1]上以 为曲边的梯形面积。 y fx ( ) （2）又设 f ( ) x 在区间 内可 (0,1) 导，且 2 () ( ) f x f x x ，证明（1）中的 0 x 是唯一的。 5.（99 年，6 分）试证：当 x 0 时， 2 ( - ( -1 x 1 ln ） ） x x 2。 6.（00 年，6 分）设函数 f ( ) x 在[0, ] 上连续，且 0 f x dx () 0 ， 0 f x xdx ( )cos 0 试证：在(0, ) 内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 1 2 f f () () 0 。 7.（01 年，7 分）设 y f x( ) 在( 1,1) 内具有二阶连续导数且 f x () 0 ，试证： （1）对于( 1,1) 内的任一 ，存在唯一的 x 0 （ ）x (0,1) ，使 f ( ) (0) ( ( ) x f xf x x) 成立； （2） 0 1 li x m ( ) 2 x 。 8.（05 年，12 分）已知函数 f ( ) x ),1,0 在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 ( 使得 f )( 1 ； （II）存在两个不同的点 )1,0(, ，使得 ff .1)()( 9.（08 年，10 分）函数 f x 在a b, 连续， 0x F x f t dt ，证明 在 F x a b, 可导，且 F x f x . 10.（95 年，8 分）假设函数 f ( ), ( ) x gx () () a gb 在[,] a b 上存在二阶导数，并且 g x fa fb g ( ) 0, ( ) ( ) g x() 0 ，试证：（1）在开区间（ ） a b, 内 .（2）在开区间（a b, ）内至少存在一点 ，使 f f g g （ ） （ ） （ ） （ ） . 11.（07 年，11 分）设函数 f ( ) x ， 在 上连续，在 内具有 二阶导数且存在相等的最大值， ) g x( ) ( ) [,] a b ( (,) a b f a g a ， f ( ) b g ( ) b 。证明： 存在 (,) a b ，使得 f ( ) g( ) 。 12.（95 年，3 分） 2 0 2 cos _____________ x d x t dt dx