微分中值定理与导数的应用考研 (D)化)不是x)的极值，(x,x》也不是曲线y=x)的 (数二)真题 拐点 4.(98年，3分)设函数八x)在x=a的某个邻域内连续，且f) 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 为其极大值，则存在6>0，当x∈(a-6,a+时，必有() 19年，3分)回0++的=2，则() (A)(x-af(x)-f(a)lz0 (B)(x-a)f(x)-f(a)]o A)a=b=-月 (C)() (B)a=0,b=-2 5.(99年，3分)设 (C)a=0,b=-号 (D)a=l,b=-2 ow-o 2.(95年，3分)设函数fx)在0，上)>0，则ro了 ⑩-0)或/0-f0的大小顺序是(） 其中gx)是有界函数，则/(x)在x=0处（) (A)>oo)(B)f>f-fo)>f(o (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)f)-f0,>f0>o, (D)0>f0)-f⑩>fo (C)连续，但不可导 (D)可导 3.(97年，3分)己知函数y■)对一切x满足 6.(00年，3分)设函数)满足x+xf=x,且0)=0， )+3xf=l-e 则() 若fx)=0气0)，则() (A)fO,是f)的极大值 (A),)是f)的极大值 (B)fO是fx)的极小值 (B)fx)是f)的极小值 (C)点0fO)是曲线y=)的拐点 (C)伍，化》是曲线y=f田的拐点 (D)0不是f)的极值，点0，O)也不是曲线y=的 拐点 第1页共4页
微分中值定理与导数的应用考研 第 页 共 页 （数二）真题 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 1.（94 年，3 分） 2 2 ) ( ) 2, x bx x 0 ln(1 lim x x a 则（ ） （A） 5 1, 2 a b （B）a b 0, 2 （C） 5 0, 2 a b （D）a b 1, 2 2.（95 年，3 分）设函数 f (x)在 上 [0,1] f x ( ) 0，则 f f (0) (1) 、 、 f (1) (0) f 或f (0) (1) f 0) (1) 的大小顺序是（ ） （A） f (1) ( f f f (0) （B） f ff f (1) (1) (0) (0) （C） f f (1) (0) f (1) f (0) （D） f f (1) (0) (1) (0) f f 3.（97 年，3 分）已知函数 y f x( )对一切 x 满足 2 ( ) 3 [ ( )] 1 x xf x xf x e 0 ) 0( 0) x 0 ( 若 f x ( 0 ，则（ ） （A） f x )是 f (x) 0 ( 的极大值 （B） f x )是 f (x) 0 ( , 的极小值 （C） 0 x f x( ))是曲线 y f x( )的拐点 （D） )0 f (x 不是 f (x) 0 的极值，(,( 0 x f x ))也不是曲线 y f x( ) ( 的 拐点 4.（98 年，3 分）设函数 f x)在 x a的某个邻域内连续，且 f (a) 为其极大值，则存在 0，当 xa a ( , ) [ ( ) ( )] x fa 时，必有（ ） （A）( ) xaf 0 （B）( )[ ( ) ( )] 0 xaf x fa （C） 2( ) 0( ) ( ) f x lim ( ) t x f t x a t x （D） 2 () ( ) lim 0( ) ( ) t x ft fx x a t x 5.（99 年，3 分）设 2 1 cos , 0 ( )= ( ), 0 x x f x x xgx x g x( )是有界函数，则 在 处 f x x () 0 ( ， 其中 （ ） （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 6.（00 年，3 分）设函数 f x) 2 满足 f ( ) [ ( )] x fx f (0) 0 (0) x，且 ， 则（ ） （A） f 是 f (x) (0) 的极大值 （B） f 是 f (x) (0, (0)) f y f ( 的极小值 （C）点 是曲线 x)的拐点 （D） f (0)不是 f (x)的极值，点(0, (0)) f 也不是曲线 y f (x)的 拐点 1 4
7.(00年，3分)设函数fx小g)是大于零的可导函数 11.(04年，4分)设fx)=1-x,则() f'(x)g(x)-fxg'(x)f(b)g(x) (B)f(x)g(a)>f(a)g(x) (C)x=0是fx)的极值点，且0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)f(x)g(x)>f(big(b) (D)f(x)g(x)>f(ag(a) (D)x=0不是f(x)的极值点，且(0,0)也不是曲线y=fx)的 8(0年，3分)册血6但=0则m6+型为（) 拐点 x I2.(06年，4分)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(国)>0 (A)0(B)6(C)36(D)o 9.(01年，3分)曲线y=(红-x-3的拐点个数为(） 广x)>0,△x为自变量x在，处的增量，Ay与山分别为f)在 点。处对应的增量与微分.若△x>0,则() (A)0(B)1 (C)2(D)3 (A)0<<4y (B)0<A< 10.(03年，4分)设函数fx)在(-，+)内连续，其导函数的 (C)△y<<0 (D)<Ay<0 图形如图所示，则f)有(） 13.(09年，4分)当x→0时，fx)=x-sinax与g(x)=x2lnl-bx) (A)一个极小值点和两个极大值点 是等价无穷小，则() (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点。 (a)a=6=-片 (B)a=b=君 (D)a=-lb=日 (D)三个极小值点和一个极大值点 (C)a=-lb=-名 14.(09年，4分)若∫)不变号，且曲线y=fx)在点(L,山的曲率 圆为x2+广=2，则fx)在区间L,2)内() (A)有极值点，无零点(B)无极值点，有零点 (C)有极值点，有零点(D)无极值点，无零点 第2页共4页
第 页 共 页 7.（00 年，3 分）设函数 f () ( x g 、 ) () () () 0 x f xg x a x ( ) x 是大于零的可导函数 f xg ( ) , 则当 b 时，有（ ） （A） f () () x g b f bg (x) （B） f ()() ()( xga f agx ) （C） f ()() x g x f bg ( ) (b) （D） f ()() ()( xgx f aga ) 8.（00 年，3 分） 3 2 0 0 sin 6 ( limx x x xf x x x ) 6 ( ) 0, lim f x 则 为 2 yx x ( 1) ( 3 ( （ ） （A）0 （B）6 （C）36 （D） 9.（01 年，3 分）曲线 2 ) 的拐点个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10.（03 年，4 分）设函数 f x)在 ),( ( 内连续，其导函数的 图形如图所示，则 f x)有（ ） (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x 11.（04 年，4 分）设 f ( )= (1 ) xx x ，则（ ） （A） x 0是 f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y f (x)的拐点. （B） x 0不是 f (x) (0,0) y f ( 0 的极值点，但 是曲线 x)的拐点. （C） x 是 f (x) (0,0) y f ( x 的极值点，且 是曲线 x)的拐点. （D） 0不是 (x) (0,0) y f ( y f ( f 的极值点，且 也不是曲线 x)的 拐点. 12.（06 年，4 分）设函数 x)具有二阶导数，且 f x () 0 ， f x ( ) 0，x 为自变量 x 在 0 x 处的增量，y 与 分别为 dy f (x) 0 在 x 处对应的增量与微分. 若 ，则（ x 0 ） 0 dy y 点 （A） 0 y d y dy 0 （B） y dy y 0 x 0 ( ) sin （C） （D） x x 2 13.（09 年，4 分）当 时， f ax与 g x x bx ( ) ln(1 ) 是等价无穷小，则（ ） （A） 1 1, 6 a b （B） 1 1, 6 a b （C） 1 1, 6 a b （D） 1 1, 6 a b 14.（09 年，4 分）若 f (x) y f ( (1,1) 2 2 x y 2 不变号，且曲线 x)在点 的曲率 圆为 ，则 f (x)在区间 内（ (1,2) ） （A）有极值点，无零点 （B）无极值点，有零点 （C）有极值点，有零点 （D）无极值点，无零点 2 4
二、填空题 8.(03年，4分)y=2的麦克劳林公式中x“项的系数是」 x 1.(94年，3分)若fx= 画2x+产x0在，回上连续 9.(07年，4分)arctan-sinx a,x=0 10.(08年，4分)求函数fx)=(x-5x的拐点 则a= 三、计算 2(96年，3分)回[mln+-siml+】 3.(97年，3分)设 1(95年，5分)求m上o xl-cos√F) 2.(96年，8分)设函数y=x)由方程2y2-2y2+2y-x2=1所确定， f(x尸 ∫cosx),x≠0 a,x=0 试求)y=x)的驻点，并判定它是否为极值点 在x=0处连续，则a= 3.(97年，5分)求mr++x44 √x2+sinx 4(（98年，3分)四42 4(99年，5分)求三 xIn(1+x)-x 50年，3分)一2器 三01年，7分)求极限回二)产，记此极限为，求函数 6.(01年，3分) √3-x-+x x2+x-2 f八x)的间断点并指出其类型 7.(02年，3分)设函数 6(04年，10分)末板限2- 1-etainx (arcsin 7.(08年，10分)求极限 「sinx-sin(sinx）sinx ae2,x≤0 8(09年，9分)求极限m (1-cosx)[x-In(1+tanx)] sin'x 在x=0处连续，则a= 第3页共4页
二、填空题 第 页 共 页 1.（94 年，3 分）若 2 sin 2 1, 0 ax x e x f x a x ( )= , 0 x (- ,+ a 在 )上连续， 则 = . 2.（96 年，3 分） 3 1 ) sin ln(1 ) x x lim sin ln(1 x . 3.（97 年，3 分）设 2 (cos ) , 0 , 0 x x x a x f x( )= 在 处连续，则 x 0 a . 4.（98 年，3 分） 2 1 12 x x x 0 lim x . 5.（00 年，3 分） 3 0 arctan lim ln(1 2 ) x x x x . 6.（01 年，3 分） 2 1 3 12 limx x x x x . 7.（02 年，3 分）设函数 tan 2 1 , 0 arcsin 2 , 0 x x e x x ae x f x( )= x 0 8.（03 年，4 分） y 2x的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 . 在 处连续，则 a . 9.（07 年，4 分） 3 0 lim x arctan sin x . x x 10.（08 年，4 分）求函数 2 3 f ( ) ( 5) x x x 的拐点_______ _. 三、计算 0 1 cos lim (1 cos ) x x 1.（95 年，5 分）求 x x y y( . 2.（96 年，8 分）设函数 x)由方程222 y y xy x 32 2 1所确定， 试求 y y (x)的驻点，并判定它是否为极值点. 2 2 4 11 lim . sin x xx x x x 3.（97 年，5 分）求 . 2 0 1 tan 1 sin lim . ln(1 ) x x x x xx 4.（99 年，5 分）求 sin sin sin lim sin x t x t x t x 5.（01 年，7 分）求极限 ，记此极限为 f (x) ( ，求函数 f x)的间断点并指出其类型. 6.（04 年，10 分）求极限 3 0 1 2 cos lim 1 . 3 x x x x 7.（08 年，10 分）求极限 4 0 sin sin sin sin limx x x x x . 8.（09 年，9 分）求极限 4 0 (1 cos ) ln(1 tan ) limx sin x x x x . 3 4
四、证明 证明：存在5∈(a,b),使得 f"(5)=g'(5 L.(96年，8分)设fx)在区间[a,上具有二阶导数，且 7.(09年，11分)(1)证明拉格朗日中值定理 fa)=fb)=0,f'(af'(b)>0. (2)若函数fx)在r=0处连续，在(0,6(8>0)内可导，且 证明：存在5∈(a,b)和n∈(a,b),使f(5)=0及f()=0. mf)=A,则0)存在，且f0)=4. 2.(02年，8分)设06-心 f(5)+f")=52+n2 4.(05年，12分)已知函数fx)在0，上连续，在(0,1)内 可导，且f0)=0,f)=1.证明： (I)存在5∈(0,1)，使得f()=1-5: (Ⅱ)存在两个不同的点n,5e(0,),使得f(f()=1 5.(06年，7分)设数列{}满足0<x<,x=sinm=l2-) 求：(1)证明mx存在，并求之。 2#=户 6.(07年，11分)设函数fx小gx)在[a,上连续，在(a,b)内 具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)fb)=gb) 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 8.（10 年，10 分）设函数 f ( ) x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间 （2）若函数 f ( ) x 在x 0 (0, )( 处连续，在 0)内可导，且 2 2 f f () () . 7.（09 年，11 分）（1）证明拉格朗日中值定理. 0 lim ( ) x f x A，则 f (0) 存在，且 f(0) A . f g () ( ). (0,1)内可导，且 1 (0) 0 (1) 3 f f ， . 证明：存在 1 1 (0, ), ( ,1) 2 2 使得 证明：存在 (,) a b ，使得 具有二阶导数且存在相等的最大值， f () () () () a ga f b gb ， . 6.（07 年，11 分）设函数 f () () x gx 、 在[ , a b]上连续，在(,) a b 内 5.（06 年，7 分）设数列xn满足 1 1 0 , sin ( 1, 2,...) n n x x xn 4.（05 年，12 分）已知函数 f ( ) x 在[0,1]上连续，在(0,1)内 1.（96 年，8 分）设 f ( ) x 在区间[ , a b]上具有二阶导数，且 （II）存在两个不同的点 )1,0(, ，使得 ff .1)()( 证明：存在 (,) (,) ab ab 和 ， 使 f f ( )=0 ( ) 0 及 . 2 2 2 ln ln 1 . a ba a b ba ab 2 2 2 4 ln ln ( ). ba b a 四、证明 fa fb () () 0 ，f af b () () 0 . 2.（02 年，8 分）设0 a b，证明不等式 3.（04 年，12 分）设eabe 2，证明 e 求：（1）证明lim n n x 存在，并求之。 （I）存在 ),1,0( 使得 f 1)( ； 可导，且 f f (0) 0 (1) 1 ， . 证明： （2）计算 2 1 1 lim nx n n n x x