常用积分公式 (-)含有ar+b的积分a≠0) L。-+c 2.(a+bydsb+C(1) 3ja6点-四+6-nla+的C dx .∫a+bnti=mls++a6+C a 4*6*C (二)含有√ax+b的积分 10小@+=云m+64C j+忌如-20a+,C
常 用 积 分 公 式 （一）含有 的积分 ax b + ( ) a ≠ 0 1． dx ax b + ∫ ＝ 1 ln ax b C a + + 2． ∫( ) ax b x + μ d ＝ 1 1 ( ) ( 1) ax b C a μ μ + + + + （ μ ≠ −1） 3． d x x ax b + ∫ ＝ 2 1 ( ln ) ax b b ax b C a + − ++ 4． 2 d x x ax b + ∫ ＝ 2 2 3 1 1 ( ) 2 ( ) ln 2 ax b b ax b b ax b C a ⎡ ⎤ + − ++ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 5． d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 1 ln ax b C b x + − + 6． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 ln a ax b C bx b x + − + + 7． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 (ln ) b ax b C a ax ++ + + b 8． 2 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 3 1 ( 2 ln ) b ax b b ax b C a ax b + − +− + + 9． 2 d ( ) x x ax b + ∫ ＝ 2 1 1 ln ( ) ax b C b ax b b x + − + + （二）含有 ax b + 的积分 10． ax b x + d ∫ ＝ 2 3 ( ) 3 ax b C a + + 11． x ax b x + d ∫ ＝ 3 2 2 (3 2 ) ( ) 15 ax b ax b C a − + + 1
2jRa+05or-as+8wnim++C a6品a-2a6+c ji6高wr-恤+wn+C 1 Nm+b-万+Cb>0) bJax+b+b 2 +b+C(b0)的积分
12． 2 x ax b x + d ∫ ＝ 2 2 2 3 3 2 (15 12 8 ) ( ) 105 a x abx b ax b C a − + ++ 13． d x x ax b + ∫ ＝ 2 2 ( 2) 3 ax b ax b C a − + + 14． 2 d x x ax b + ∫ ＝ 2 2 2 3 2 (3 4 8 ) 15 a x abx b ax b C a − + + + 15． dx x ax b + ∫ ＝ 1 ln ( 0) 2 arctan ( 0) ax b b C b b ax b b ax b C b b b ⎧ + − ⎪ + > ⎪ + + ⎨ ⎪ + + ( 0) 2
1 (b>0) 2.∫d ax2+b 1 ax--可+C(b0)的积分 2 29.+c dx Vac arctan 2ax+b Vac-b+C (b24ae) (1b-4ac "2ax+b+b-4ac 0.∫a+h+e=2a ++叶。 (六)含有Vx2+a2(a>0)的积分 .c dx a
22． 2 dx ax b + ∫ ＝ 1 arctan ( 0) 1 ln ( 0) 2 a xC b ab b ax b C b ab ax b ⎧ ⎪ + > ⎪ ⎨ ⎪ − − + ) 29． 2 dx ax bx c + + ∫ ＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 arctan ( 4 ) 4 4 12 4 ln ( 4 ) 42 4 ax b C b ac b ac b ax b b ac C b ac b ac ax b b ac ⎧ + + ⎪ − ++ − ⎩ ac 30． 2 d x x ax bx c + + ∫ ＝ 2 2 1 d ln 2 2 b x ax bx c a a ax bx c + +− + + ∫ （六）含有 2 2 x + a ( 0 a > )的积分 31． 2 2 dx x + a ∫ ＝ 1 arsh x C a + ＝ 2 2 ln(x + ++ xa C ) 3
4netc 8∫ad=F+a+C p=atc sjFi血-F+-+F+)rC jata+c nn,c x a'x 9.ds-)+c 40.JVx+aYdx=(2x+5a++ax++)+C 4l.jrF+a=F+a于+c .a-m+)c 43.taatg-ac “j-a+c x
32． 2 23 d ( ) x x a + ∫ ＝ 22 2 x C ax a + + 33． 2 2 d x x x a + ∫ ＝ 2 2 x + a C+ 34． 2 23 d ( ) x x x a + ∫ ＝ 2 2 1 C x a − + + 35． 2 2 2 d x x x a + ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln( ) 2 2 x a x +− + + + a x xa C 36． 2 2 23 d ( ) x x x a + ∫ ＝ 2 2 2 2 ln( ) x x xa C x a − + + ++ + 37． 2 2 dx x x a + ∫ ＝ 2 2 1 ln xaa C a x + − + 38． 22 2 dx x x a + ∫ ＝ 2 2 2 x a C a x + − + 39． 2 2 x + a xd ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln( ) 2 2 x a x ++ + + + a x xa C 40． 2 23 ( ) x + a xd ∫ ＝ 2 2 22 4 22 3 (2 5 ) ln( ) 8 8 x x + a xa a x xa ++ + + + C 41． 2 2 x x a + d ∫ x ＝ 1 2 23 ( ) 3 x + + a C 42． 22 2 x x a + d ∫ x ＝ 4 22 22 2 2 (2 ) ln( ) 8 8 x a x + a xa x xa C +− + + + 43． 2 2 d x a x x + ∫ ＝ 2 2 2 2 ln xaa x a a C x + − + + + 44． 2 2 2 d x a x x + ∫ ＝ 2 2 2 2 ln( ) x a x xa C x + − + + ++ 4
(七)含有V2-a(a>0)的积分 高4Gn原-+c .c ayc j二a-F-a,号p+原-c =之邮-c ac a'x s.S-gas--c 54.S\x-@Ydx-(2x-5a)-a+ia'x+-a+C s5.Jxd-das-il-dy+c s.Sx-gds-(2x-o++c
（七）含有 2 2 x − a ( 0 a > )的积分 45． 2 2 dx x −a ∫ ＝ 1 arch x x C x a + = 2 2 ln x + −+ xa C 46． 2 2 d ( ) x 3 x − a ∫ ＝ 22 2 x C ax a − + − 47． 2 2 d x x x a − ∫ ＝ 2 2 x − a C+ 48． 2 23 d ( ) x x x a − ∫ ＝ 2 2 1 C x a − + − 49． 2 2 2 d x x x a − ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x −+ + − + a x xa C 50． 2 2 23 d ( ) x x x a − ∫ ＝ 2 2 2 2 ln x x xa C x a − + + −+ − 51． 2 2 dx x x a − ∫ ＝ 1 arccos a C a x + 52． 22 2 dx x x a − ∫ ＝ 2 2 2 x a C a x − + 53． 2 2 x − a xd ∫ ＝ 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x −− + − + a x xa C 54． 2 23 ( ) x − a xd ∫ ＝ 2 2 22 4 22 3 (2 5 ) ln 8 8 x x − a xa a x xa −+ + − +C 55． 2 2 x x a − d ∫ x ＝ 1 2 23 ( ) 3 x − + a C 56． 22 2 x x a − d ∫ x ＝ 4 22 22 2 2 (2 ) ln 8 8 x a x − a xa x xa −− + − +C 5
5n∫k-F-F-anm骨tC 5w.dds+C (八)含有V2-(a>0)的积分 j万产=m子4C 6a.∫ara-F+c dx 1.ja=--+c ao2p-+c 6aj石2=-F号om子c x2 4∫a-p=a2 rcsin+c 6- 6.∫Vr后-rd=后-g+2 arcsin+c 8.JHa-as-(5o-2xl-arsinC 6
57． 2 2 d x a x x − ∫ ＝ 2 2 arccos a x aa C x − − + 58． 2 2 2 d x a x x − ∫ ＝ 2 2 2 2 ln x a x xa C x − − + + −+ （八）含有 2 2 a x − ( 0 a > )的积分 59． 2 2 dx a x − ∫ ＝arcsin x C a + 60． 2 2 d ( ) x a x − ∫ 3 ＝ 22 2 x C aa x + − 61． 2 2 d x x a x − ∫ ＝ 2 2 − axC − + 62． 2 23 d ( ) x x a x − ∫ ＝ 2 2 1 C a x + − 63． 2 2 2 d x x a x − ∫ ＝ 2 2 2 arcsin 2 2 x a a x C a x − −+ + 64． 2 2 23 d ( ) x x a x − ∫ ＝ 2 2 arcsin x x C a x a − + − 65． 2 2 dx x a x − ∫ ＝ 2 2 1 ln a ax C a x − − + 66． 22 2 dx x a x − ∫ ＝ 2 2 2 a x C a x − − + 6 67． 2 2 a x − d ∫ x ＝ 2 2 2 arcsin 2 2 x a a x C a −+ + x 68． 2 23 ( ) a x − ∫ dx ＝ 2 2 22 4 3 (5 2 ) arcsin 8 8 x x a xax a a − −+ + C
69.∫xF-d=-V@-x+C 0jr后-u-2r-后-F+goin后+c 1.∫G-子t=-F+an--e+C (九)含有V士m2+bx+c(a>0)的积分 1.ahe a dx _=LInax+b+2JaYax+bx+c+C 74.∫Nar2+br+cdr-2ar+b、ar+h+e 4a +4ac-2ax+b+2a++c+C 8va aa血-古m+a 2hpm+b26原+C 1 n小+a-a在-6+a-a+a 2ax-b+C 4a b2+4ac a >
69． 2 2 x a x − d ∫ x ＝ 1 2 23 ( ) 3 − ax C − + 7 70． 22 2 x a x − d ∫ x ＝ 4 22 22 (2 ) arcsin 8 8 x a x x aax C a − −+ + 71． 2 2 d a x x x − ∫ ＝ 2 2 2 2 ln a ax axa C x − − − + + 72． 2 2 2 d a x x x − ∫ ＝ 2 2 arcsin ax x C x a − − − + （九）含有 2 ± ++ ax bx c ( 0 a > )的积分 73． 2 dx ax bx c + + ∫ ＝ 1 2 ln 2 2 ax b a ax bx c C a ++ + + + 74． 2 ax bx c x + + d ∫ ＝ 2 2 4 ax b ax bx c a + + + 2 2 3 4 ln 2 2 8 ac b ax b a ax bx c C a − + ++ + + + 75． 2 d x x ax bx c + + ∫ ＝ 1 2 ax bx c a + + 2 3 ln 2 2 2 b ax b a ax bx c C a − ++ + + + 76． 2 dx c bx ax + − ∫ ＝ 2 1 2 arcsin 4 ax b C a b ac − − + + 77． 2 c bx ax x + − d ∫ ＝ 2 2 3 2 2 4 arcsin 4 8 4 ax b b ac ax b c bx ax C a a b ac − + +− + + + 2 − 78． 2 d x x c bx ax + − ∫ ＝ 2 3 2 1 2 arcsin 2 4 b ax b c bx ax C a a b ac − − +− + + +
中)精y我-00-可眼分 9j=-g+-a-+小-刚+C .(-acc dx 2小k-o0----a0-+a8C 4 (a<b) (十一)含有三角函数的积分 83.∫sin=-cosx+C 84.∫cosxdx=sinx+C 85.[tanxdx=-In cosx+C 86.[cotxdx=In/sin+C jcd-引c-ne4m+c jc=nl-C=n-c时+C 89.∫sec2xdr=tanx+C 90.csc2xdx =-cotx+C 91.[sec xtanxdx=secx+C 92.Jcscxcotxdx=-cscx+C
（十）含有 x a x b − ± − 或 ( )( x − − ab x) 的积分 79． d x a x x b − − ∫ ＝( ) ( )ln( ) x a x b ba xa xb x b − − +− −+ − +C − 80． d x a x b x − − ∫ ＝( ) ( )arcsin x a x a x b ba b x b x − − − + − +C − − 81． d ( )( x x − − ab x) ∫ ＝2arcsin x a C b x − + − ( ) a b < 82． ( )( )d x − − ab x x ∫ ＝ 2 2 ( ) ( )( ) arcsin 4 4 xab ba xa x ab x C b x − − − − − − + + − ( ) a b < （十一）含有三角函数的积分 83． sin dx x ∫ ＝ − + cos x C 84． cos dx x ∫ ＝sin x +C 85． tan dx x ∫ ＝ − + ln cos x C 86． cot dx x ∫ ＝ln sin x + C 87． sec dx x ∫ ＝ln tan( ) 4 2 x C π + + ＝ln sec tan x + x C+ 88． csc dx x ∫ ＝ln tan 2 x + C ＝ln csc cot x − x C+ 89． 2 sec dx x ∫ ＝ tan x +C 90． 2 csc dx x ∫ ＝ −cot x +C 91． sec tan d x x x ∫ ＝sec x +C 92． csc cot d x x x ∫ ＝ −csc x +C 8
8小sm-登n2x4c %小wd-n2x4c 9%jm=女ncm+”片jm %jow-wmr4片ew油 外盘引 食d 吸小osad=nwm+0m 十nwm+ewn 、1 l00.「sin ax cos bxdx=- +coa+)-cofa-b)x+C 1 101.sin ax sin bodsin+b)sin(+ 1 102.coeodssisin( 2 atan+b a-左+Ca2>b 9
93． 2 sin dx x ∫ ＝ 1 sin 2 2 4 x − x + C 94． 2 cos dx x ∫ ＝ 1 sin 2 2 4 x + x + C 95． sin d n x x ∫ ＝ 1 1 1 2 sin cos sin d n n n x x x n n − − − − + ∫ x 96． cos d n x x ∫ ＝ 1 1 1 2 cos sin cos d n n n x x x n n − − − + ∫ x 97． d sinn x x ∫ ＝ 1 2 1 cos 2 d 1 sin 1 sin n n x n x n xn − − − −⋅ + − − ∫ x 98． d cosn x x ∫ ＝ 1 2 1 sin 2 d 1 cos 1 cos n n x n x n xn − − − ⋅ + − − ∫ x 99． cos sin d m n x x x ∫ ＝ 1 1 1 1 2 cos sin cos sin d m n m m n x x x m n m n − + − x x − + + + ∫ ＝ 1 1 1 1 2 cos sin cos sin d m n n m n x x x m n m n + − − x x − − + + + ∫ 100． ∫sin cos d ax bx x ＝ 1 1 cos( ) cos( ) 2( ) 2( ) a bx a bx C a b a b − +− −+ + − 101． ∫sin sin d ax bx x ＝ 1 1 sin( ) sin( ) 2( ) 2( ) a bx a bx C a b a b − ++ −+ + − 102． ∫ cos cos d ax bx x ＝ 1 1 sin( ) sin( ) 2( ) 2( ) a bx a bx C a b a b ++ −+ + − 103． d sin x ab x + ∫ ＝ 2 2 2 2 tan 2 2 arctan x a b C ab ab + + − − 2 2 ( ) a b > 9
atan+b-B-a +C(a20) 113.farcsin dx=xaresin+C a Hjan-号-9a2+F-F+c 5-号m+5r+2oN-4C a 10
104． d sin x ab x + ∫ ＝ 2 2 2 2 2 2 tan 1 2 ln tan 2 x a b ba C x b a a b ba +− − + − ++ − 2 2 ( ) a b 106． d cos x ab x + ∫ ＝ tan 1 2 ln tan 2 x ab a b b a C abba x ab b a + + + − + + − + − − 2 2 ( ) a b 0） 113． arcsin dx x a ∫ ＝ 2 2 arcsin x x axC a + − + 114． arcsin d x x x a ∫ ＝ 2 2 2 2 ( )arcsin 24 4 x a xx axC a − +− + 115． 2 arcsin dx x x a ∫ ＝ 3 1 2 2 22 arcsin ( 2 ) 3 9 x x x aaxC a + + −+