§1第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上 的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景 是求非均匀分布的曲线状物体的质量 一、第一型曲线积分的定义 二、第一型曲线积分的计算 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上 的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景 是求非均匀分布的曲线状物体的质量. 一、第一型曲线积分的定义 二、第一型曲线积分的计算
一·第一型曲线积分的定义 设某物体的密度函数∫(P)是定义在2上的连续函 数当2是直线段时，应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当2是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题. (1)分割：把2分成n个可求长度的小曲线段2 (i=1,2,…,n. (2)近似求和：在每一个2上任取一点P.由于 前项
前页 后页 返回 一． 第一型曲线积分的定义 设某物体的密度函数 f P( ) 是定义在 上的连续函 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题. ( 1, 2, , ). i n i . Pi (2) 近似求和：在每一个 上任取一点 由于 (1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
f(P)为2上的连续函数，故当2的弧长都很小时， 每一小段2的质量可近似地等于f(P)△2，其中△2 为小曲线段2，的长度 于是在整个2上的质量就近似地等于和式 fP)A2. 1 (3)当对2的分割越来越细密（即d=maxA2:→0） K<i<n 时，上述和式的极限就应是该物体的质量 由上面看到，求物质曲线段的质量，与求直线段的质 前页 后页 返
前页 后页 返回 f P( )为 上的连续函数 i , 故当 的弧长都很小时, 每一小段 i 的质量可近似地等于 f P ( ) , i i 其中 i 为小曲线段 i 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 1 ( ) . n i i i f P 1 max 0 i i n (3) 当对 的分割越来越细密(即 d ) 时, 上述和式的极限就应是该物体的质量. 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质
量一样，也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的.下面给出这类积分的定义 定义1设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为 定义在L上的函数.对曲线L做分割T,它把L分成 n个可求长度的小曲线段L,(i=1,2,,n),L.的弧长 记为△s,分割T的细度为‖T=max△s,在L,上任取 1<i< 一点(5,7)(i=1,2,…,m).若有极限 im∑f(5,7A=J, 1 前
前页 后页 返回 量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的. 下面给出这类积分的定义. ( 1, 2, , ), n 个可求长度的小曲线段 L i n L i i 的弧长 定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L 分成 , i s T 1 || || max , i i n T s 记为 Li 分割 的细度为 在 上任取 一点 ( , ) ( 1, 2, , ). i i i n 若有极限 || || 0 1 lim ( , ) , n i i i T i f s J 定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f x y ( , ) 为
且J的值与分割T与点(5，η)的取法无关，则称此 极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分，记作 f(x y)ds. 若L为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L上 的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L上 的第一型曲线积分，并且记作 f(xy,2)ds. 于是前面讲到的质量分布在曲线段L上的物体的质 前页 返
前页 后页 返回 J ( , ) T i i 且 的值与分割 与点 的取法无关, 则称此 极限为 f x y L ( , ) 在 上的第一型曲线积分, 记作 ( , )d . L f x y s L 为空间可求长曲线段 , 若 f x y z ( , , ) 为定义在 L 上 的函数, 则可类似地定义 f x y z ( , , ) 在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作 ( , , )d . L f x y z s 于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得. 1.若∫，f(x,y)ds(i=1,2,,k)在c,(i=1,2,,k)为 常数，则fx,也存在，且 2cx地-2cb 2.若曲线段L由曲线L1,L2,…,Lk首尾相接而成， ∫f(x,y)ds(i=1,2,,)都存在，则∫f(x,y 也存在，且 前
前页 后页 返回 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. ( , )d ( 1,2, , ) i L f x y s i k ( 1, 2, , ) i 1. 若 在 c i k 为 常数, 则 1 ( , )d k i i L i c f x y s 也存在, 且 1 1 ( , )d ( , )d . k k i i i i L L i i c f x y s c f x y s L 1 2 , , , 2. L L Lk 若曲线段 由曲线 首尾相接而成, ( , )d ( 1,2, , ) Li f x y s i k ( , )d L f x y s 都存在 , 则 也存在, 且
[ry)ds-f.yds. 3.若∫fx,)ds与∫g(x,y)ds都存在，且在L上 f(x,y)≤g(比y),则 Jfx,y)d≤∫2g(x,y)ds. 4.若∫f(x,y)ds存在，则∫fx,ds也存在， 且 fx,)dsJlf(,川ds. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 ( , )d ( , )d . i k L L i f x y s f x y s 3． ( , )d ( , )d L L 若 f x y s g x y s 与 都存在, 且在 L 上 f x y g x y ( , ) ( , ), 则 ( , )d ( , )d . L L f x y s g x y s 4． ( , )d ( , ) d L L 若 f x y s f x y s 存在,则 | | 也存在, | ( , )d | | ( , ) | d . L L f x y s f x y s 且
5.若∫，f(x,y)ds存在，L的弧长为s,则存在常数 c,使得 ∫fx,y=c, 这里inff(x,y)≤c≤supf(x,y) 6.第一型曲线积分的几何意义 若L为坐标平面Oy上的分段光滑曲线，f(x,y)为L 上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义，易见 以L为准线，母线平行于z轴的柱面上截取 前页 返回
前页 后页 返回 ( , )d L 若 f x y s 5． 存在, L 的弧长为 s, 则存在常数 ( , )d , L f x y s cs c, 使得 inf ( , ) sup ( , ). L L 这里 f x y c f x y 6. 第一型曲线积分的几何意义 若 L 为坐标平面 Oxy 上的分段光滑曲线, f x y ( , ) 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L 为准线 z , 母线平行于 轴的柱面上截取
0≤z≤f(x,y)的部分的面积就是，f(x,y)s. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 ( , ) z f x y ( , )d . L f x y s 的部分的面积就是
二、第一型曲线积分的计算 定理20.1设有光滑曲线L:r=pt1ea,B, (y=v(t), f(x,y)为定义在L上的连续函数，则 fd=(v"a.(3) 证由弧长公式知道，L上由t-t到t-(,的弧长 As,(+()dt. 由√p2(t)+w()的连续性与积分中值定理，有 返回
前页 后页 返回 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 ( ), : [ , ], ( ), x t L t y t f x y ( , ) 为定义在 L 上的连续函数, 则 2 2 ( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( )d . (3) L f x y s f t t t t t L i i 1 证 由弧长公式知道, 上由 t t t t 到 的弧长 1 2 2 ( ) ( )d . i i t i t s t t t 2 2 由 ( ) ( ) t t 的连续性与积分中值定理, 有