南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（自测题）级数部分

4若级数，的前项部分和“”·则(） 《数学分析2》一级数部分一自测题 一、判听愿（正确的划√，错误的划X,) a0立发散： ⑧)收敛于行· （)1服级空收成股经空兰也数 (C)三的余项6→n→四)：D)夏的效敬性无法确定， （)2级数条件收数 5若级数∑4发敬，且前n项部分和为，则() （)3级数绝对收敛 (A)m4,0:(B）m5=功3 （)4着极数2a2(a.20)收做，则级数20，收效 (心三任意如搭号后所成的级数必发散： （)5函数列5.（一致收敛于5）台msp5,-非0. (D)”任意加括号后所成的级数可能收敛 二、选择题 6.下列结论错误的是() 1若级数立，收敛。下列级数发散的是() （)若立，与正.都发散，则正a+,)一定发散。 210%.: (B)2u.+100: (8》若三，收敛，含，发散。则三+，)发散： (c)10+2t o)立m 2.下列说法不正确的是() (⊙若立“，收敛，则2，+，小可能夜敛也可能发散。 ω收敛：)法发藏：0数敛：0出收敛 (D)若∑4收敛，则∑-，)收数 7.下列结论正确的是（） 3.设0，<n=l23则级数∑-旷（) ()若∑(u,-)收敛，则m4=0:(B)若四=0，则∑，收敛 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发敢 (D)无法确定 第1页共3页

第 1 页 共 3 页 《数学分析 2》—级数部分—自测题 一、判断题（正确的划√，错误的划×.） （ ）1.设级数   n1 n a 收敛，则级数      1 1 n 2 an an 也收敛. （ ）2.级数      1 1 2 ( 1) n n n 条件收敛. （ ）3.级数     1 ( 1) n n n 绝对收敛. （ ）4.若级数   1 2 n n a （ an  0 ）收敛，则级数   n1 n a 收敛. （ ）5.函数列 {S (x)} n 一致收敛于 S(x)  limsup | ( )  ( ) | 0   S x S x n x I n . 二、 选择题 1.若级数   n1 n u 收敛，下列级数发散的是（ ） （A）   1 100 n un ； （B） ( 100) 1    n un ； （C）     1 100 n un ； （D）     1 100 n un . 2.下列说法不正确的是（ ） (A)     1 ( 1) n n n 收敛；(B)   1 1 n n 发散;(C)   1 ! 1 n n 收敛 ；(D)      1 2 1 1 n n n 收敛. 3. 设 ( 1,2,3, ), 1 0   n   n un 则级数     1 2 ( 1) n n n u （ ） （A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）无法确定 4.若级数 1 n n u    的前 n 项部分和 2 1 n n s n   ，则 （ ） （A） 1 n n u    发散 ； （B） 1 n n u    收敛于 1 2 ； （C） 1 n n u    的余项 1( ) n r n    ； （D） 1 n n u    的敛散性无法确定. 5.若级数 1 n n u    发散，且前 n 项部分和为 n s ，则 （ ） （A） lim 0 n n u   ； （B） lim n n s    ； （C） 1 n n u    任意加括号后所成的级数必发散 ； （D） 1 n n u    任意加括号后所成的级数可能收敛 . 6.下列结论错误的是（ ） （A） 若   n1 n u 与   n1 n v 都发散， 则 ( ) 1     n n n u v 一定发散； （B） 若   n1 n u 收敛，   n1 n v 发散，则 ( ) 1     n n n u v 发散 ； （C） 若   n1 n u 收敛，则 1 ( ) n n n u u     可能收敛也可能发散 ； （D） 若   n1 n u 收敛，则 1 1 ( ) n n n u u      收敛 . 7.下列结论正确的是（ ） （A） 若     1 ( 1) n un 收敛，则 lim 0 n n u   ；（B） 若 lim 0 n n u   ，则   n1 un 收敛 ；

(C若四不存在，则三发散：①》若m=0,则之收敛。 A发敢B绝对收敛C条件收敛D收敛或发散 13.设正项级数24，收敛则级数2a,a() 8.下列发散的级数是() A是条件收敛的 B是绝对收敛的 w品 (B) (2n-2m+1 C可能收敛也可能发散 D上述均不对 14.下面级数绝对收敛的是() (cr 器 2r时 a(-r'sin 9.下列结论正确的是() c(l-oos o2m品 ()若级数2收敛，则三，也收敛： 15.下列函数列在所示区间D上不一致收敛的是() (8®)若级数2发敢，则之4，也发散： A-2+行D=l,B1+京D(-+ C国=话D=0+n D)=片D=0,1 (C)若级数2收敛，则也收敛： 16.级数立4，条件收敛等价于() (D)若级数∑4，发散，则可能收敛 Au1收效 日2u发散 10.设幕级数∑a,r的收敛半径为00,则级数2-1r+”（） 第2页共3页

第 2 页 共 3 页 （C） 若 lim n n u  不存在，则   n1 n u 发散；（D） 若 lim n n u    ，则 1 1 n n u    收敛. 8.下列发散的级数是（ ） （A） 1 1 1 ( ) n n n 1      ； （B） 1 1 n (2 1)(2 1) n n      ； （C） 1 ( 1)n n     ； （D） 2 1 1 n n    . 9.下列结论正确的是（ ） （A）若级数 1 n n u    收敛，则 1 n n u    也收敛 ； （B）若级数 1 n n u    发散，则 1 n n u    也发散 ； （C）若级数 1 n n u    收敛，则 1 n n u    也收敛； （D）若级数 1 n n u    发散，则 1 n n u    可能收敛. 10.设幂级数 0 n n n a x    的收敛半径为 R R (0 )    ，则 0 ( ) 4 n n n x a    的收敛半径是（ ） （A） 4R ； （B） 4 R ； （C） R ； （D） 4 R . 11.下列式子不成立的是（ ） （A） 0 , ( , ) ! n x n x e x n        ； （B） 2 1 0 ( 1) sin , ( , ) (2 1)! n n n x x x n           ； （C） 0 1 ( 1) , [ 1,1] 1 n n n x x x         ； （D） 1 1 ( 1) ln(1 ) , ( 1,1] n n n x x x n          . 12.设常数 k  0 , 则级数      1 2 ( 1) n n n k n （ ） A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 收敛或发散 13．设正项级数   n1 n a 收敛, 则级数     1 1 n anan （ ） A 是条件收敛的 B 是绝对收敛的 C 可能收敛也可能发散 D 上述均不对 14．下面级数绝对收敛的是（ ） A     1 1 ( 1) n n n B     1 2 ( 1) sin n n n C ( 1) (1 cos ) n 1 n n       D   1 4 tan n n  15．下列函数列在所示区间 D 上不一致收敛的是（ ） A 2 2 1 ( ) n f x x n   D  ( 1, 1) B 2 2 1 ( ) n x x f x n   D    ( , ) C n x f x n ( )  D   [0, ) D n x f x n ( )  D [0,10] 16. 级数   n1 n u 条件收敛等价于（ ） A   1 | | n n u 收敛 B | | 1   n n u 发散 C   n1 n u 收敛且 发散 D   n1 n u 收敛 17．若正项级数   n1 n u 收敛，则下面级数一定收敛的是（ ） A     1 ( 1) n un B   n1 n u C   1 2 n n u D   1 1 n n u 18. 若 1 n n u    收敛，那么下列级数中发散的是（ ）

w224 B)立.+ (c) o1+2 (3)1 n后 ” 三、计算意 (6) 上来空点的收金区 6*6m*+6m-4w5m+切*… 之求空行-9r的收欲线 求艺一“在收数区同内的晒政 五、证明愿。 5.求2二的收敛域及其和函数。 1.证明：通数=∑四在（四内有连续的导函数 2.若在区间1上，对任何自然数nu,()5.,证明：当∑v.(x)在1上一收敛时级 6.求幂级数乏+)x的和函数。 1求都级数空广女的和西数。 数”，(6四在1上也一致收敛且绝对收敛 3.设函数项级数∑u,(x)在D上一致收敛于Sx),函数g(x)在D上有界.证明函数 8.求幕级数∑+1)x的和函数。 项级数∑g(xm(x)在D上一致牧敛于g(x)Sx). 4.设u()(m=l2…)是[a,上的单调函数，证明若∑4.(@)与∑，()都绝对收 .设5)-若e,计算积分S0a 敛，则∑4.()在[a,上绝对且一致收敛. 0设s-空后国树：计家分90， 5.若级数三a.与c.都收敛且a.≤h.≤cm=l2…)a≤h≤c,(m=l2小，则 .也收敛 山.设S-三广aosm,0<r<小.计算积分心s达 6.若正项级数∑4收敛，证明2也收敛，其逆如何？ 四、讨论下列级数的敛散性，需说明理由. 第3页共3页

第 3 页 共 3 页 （A） 1 2 n n u    （B） 1 ( 1) n n u     （C） 10 1 n n u     （D） 1 1 n n u    三、计算题 1.求 1 1 3 n n n x n    的收敛区间. 2.求 1 1 ( 5)n n x n     的收敛域. 4.求 4 1 1 1 4 1 n n x n      在收敛区间内的和函数. 5.求   n1 n n x 的收敛域及其和函数. 6.求幂级数       0 1 n n n x 的和函数． 7. 求幂级数 2 1 n n n x    的和函数． 8.求幂级数       1 1 n n n n x 的和函数． 9．设   1 2 1 1 n n S x x n      ， x [ 1,1] ，计算积分  x S t dt 0 ( ) . 10．设   1 cos n nx S x n n     ， x    ,  ，计算积分  x S t dt 0 ( ) . 11．设           0 cos , 0 1 n n S x r nx r ，计算积分 Sxdx  2 0 . 四、讨论下列级数的敛散性，需说明理由. （1）   1  2 ( 1) 1 n n n ； (2)   1 ! n n n n ； （3）   2  3 2 1 1 n n ； （4） n n n n ) 2 1 ( 1     ； (5)   1 5 5 n n n . （6） 1 1 1 1 6 6 11 (5 4)(5 1) n n         （7） 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 n n        （8） cos cos cos cos 3 4 5 2 n           五、证明题. 1．证明:函数 3 sin ( ) nx f x n  在 ( , )   内有连续的导函数. 2. 若在区间 I 上,对任何自然数 ,| ( ) | ( ), n n n u x v x  证明:当   1 ( ) n n v x 在 I 上一收敛时级 数   1 ( ) n n u x 在 I 上也一致收敛,且绝对收敛. 3．设函数项级数 u (x) n 在 D 上一致收敛于 S x( ) ,函数 g x( ) 在 D 上有界.证明函数 项级数 g(x)u (x) n 在 D 上一致收敛于 g x S x ( ) ( ) ． 4．设 u x n   n 1, 2,  是 a b,  上的单调函数，证明若 u a n   与 u b n   都绝对收 敛，则 u x n   在 a b,  上绝对且一致收敛. 5．若级数   n1 an 与   n1 n c 都收敛且 ( 1, 2, ) nnn a b c n    ( 1, 2, ) nnn a b c n    ，则   n1 bn 也收敛. 6．若正项级数 1 n n u    收敛，证明 2 1 n n u    也收敛，其逆如何？