南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（自测题）第一部分 极限

南阳师范学院《数学分析》第一部分（极限）自测题 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划X) 1.若6>0，NeN,n≥N,有a,-d≤8，则ima,=a. 2若keN,议∈N,n≥，有-d小0,对每个s存在N(s)eN,n≥N(s,有lan-d≤6，则 lima,=a. () 4.若s>0,有无限多个a,有a-d0,只有有限个a,位于U(a,)之外，则lima,=a 7.若数列{a,}有界，则数列{a}收敛. &lma-m+0o”-1. (n+1)” 9.当x→0时，e2m-1比是x高阶的无穷小量. 10.数列-)是收敛数列，数列+(-)是发散数列。 h=2=0, 12.曲线y=e可的水平渐近线是y=1. 13.无限个无穷小穷量之和仍为无穷小量. 14.函数)=之smx当x→0时为无穷小量。 1 15若mf6)=w,则细了+0

南阳师范学院《数学分析》第一部分（极限）自测题 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1.若 0, , , N n N a a n           N 有 ，则 lim n n a a   . （ ） 2.若 1 , , , k k n k N n N a a k         N N   有 ，则 lim n n a a   . （ ） 3.若有无限多个   0 ，对每个  存在 ( ) , ( ), N n N a a n         N 有 ，则 lim n n a a   . （ ） 4.若 0, , n n       有无限多个a a a 有 ，则 lim n n a a   . （ ） 5. 若 + 1 1 , , n k a a a k k           N 只有有限个 位于区间 之外, 则 lim n n a a   . （ ） 6.若 0, ; n     只有有限个a U a 位于 ( )之外， 则 lim n n a a   . （ ） 7.若数列 { }n a 有界，则数列 { }n a 收敛. （ ） 8. 30 69 99 ( 1) ( 100) lim 1 ( 1) n n n  n     . （ ） 9. 当 x 0 时， 2sin 1 x e  比是 x 高阶的无穷小量. （ ） 10. 数列 1 { 1} 3 n  是收敛数列，数列 1 { ( 1) } 2 n n   是发散数列. （ ） 11. 2 1 2 lim 0 n n  n     . （ ） 12. 曲线 2 1 x 1 y e    的水平渐近线是 y 1. （ ） 13. 无限个无穷小穷量之和仍为无穷小量. （ ） 14.函数   x x f x 3 2 sin 1  当 x  时为无穷小量. （ ） 15.若 0 lim ( ) x x f x    ，则 0 2 1 lim 0 x x  f x( ) 1   . （ ）

二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1.写出“数列{a}有界”的定义 2=+引 玉rsm别 4- 4x2-1 5.m87+3x+100 6.设数集E=1+n=l2则supE=一，inE= 2 8若neN,T<<0,则mx a. 10.若1mx,=a,则imk- 1l.当x→0时，ln(l-x)-tana,则a= 12.若1imx,=a,则1im2xm= 13.若m=a则m5专5 2

二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 写出“数列 { }n a 有界”的定义 . 2. 4 1 5 lim 3 n n n         . 3. 3 4 3 lim sin n n  n        . 4. 2 2 lim 3 1 n n n         . 5. 2 3 4 1 lim x 8 3 100 x  x x     . 6. 设数集 4 E n 1 1, 2, n          ，则 supE  ，inf E  . 7.设数集  , 1,2, 1     n n n E x x ，则 supE  ，inf E  . 8. 若 3 2 , 0 1 n n N x n       ，则 lim n n x   . 9.   2 2 0 lim h x h x  h    . 10. 若 lim n n x a   ，则 lim n n x   . 11. 当 x 0 时， ln(1 ) tan  x ax ，则 a  . 12. 若 lim , n n x a   则 100 lim2 n n x    . 13. 若 lim , n n x a   则 2 2 1 lim 2 n n n x x    

14.1imlx-2sgn(x-2)=】 1 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1.下列数列发散的是( ). B品}crg 2.下列结论错误的是( ). A单调递增有上界的数列必收敛 B发散的数列必无界 C单调递减有下界的数列必收敛 D收敛的数列必有界 3.下列结论正确的是( A若函数f(x)在，处的左右极限存在，则im(x)一定存在 B若函数f(x)在x处无定义，则limf(x)一定不存在 C若m心)不存在，则函数fx)在x,处的左右极限至少有一个不存在 D以上说法都错误 4.下列结论正确的是( A若数列{a}无界，则数列{a,}一定发散 B若ma,=0m6.=l,则m多一定存在 a c若imla=4,则必有ima,=a D若1imxn=limx=a,则1imx,一定不存在 5.若1imx,=a,则下列结论错误的是（). A{x,}必有界 B多有如日 C必有m无.=im=aD必有m=a 6.下列等式不成立的是（)

14. 2 lim 2 sgn( 2) x x x     . 15. 2 2 2 0 sin 1 cos lim x x x x   = . 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1.下列数列发散的是（ ）. A ( 1)n n n         B 3 10n       C 1 [ ( 1) 1] n n n    D 2 1 3 n n        2. 下列结论错误的是（ ）. A 单调递增有上界的数列必收敛 B 发散的数列必无界 C 单调递减有下界的数列必收敛 D 收敛的数列必有界 3.下列结论正确的是（ ）. A 若函数 f x( ) 在 0 x 处的左右极限存在，则 f x x x0 lim  一定存在 B 若函数 f x( ) 在 0 x 处无定义，则 f x x x0 lim  一定不存在 C 若 f x x x0 lim  不存在，则函数 f x( ) 在 0 x 处的左右极限至少有一个不存在 D 以上说法都错误 4. 下列结论正确的是（ ）. A 若数列 { }n a 无界，则数列 { }n a 一定发散 B 若 lim 0,lim 1 n n n n a b     ，则 lim n n n b  a 一定存在 C 若 lim , n n a a   则必有 lim n n a a   D 若 2 2 1 lim lim n n n n x x a      ，则 lim n n x  一定不存在 5. 若 lim n n x a   ，则下列结论错误的是（ ）. A { }n x 必有界 B 必有 1 1 lim n n  x a  C 必有 2 2 1 lim lim n n n n x x a      D 必有 10000 lim n n x a    6. 下列等式不成立的是（ ）

1 1 Aim0 B lim In(n+1)0 C lim2"=+0 Dim(a+i-历=l 7.下列数列收敛的是(). A-rs倒c{}{ 8.下列数列发散的是(). Ah受B{y分c{5+司}D-r 9.下列结论正确的是( A若1mf)=A,且A>0,则f)>0 B若fx)<gx),则必有imfx)<limg() C若m)=A则f)一定在点，的某个去心邻域内有界 D设{x}{}为函数fx)定义域内的两个收敛于x,数列，且x≠x, yn≠xo,若1imf(x,)=limf(y),则1imf(x)一定存在 10.当x→0时，f(x)=sinax3与g(x)=x2ln1-bx)是等价无穷小，则( Aa+b=0 B a-b=0 C a+b=1 D a-b=1 11.下列结论错误的是() A若函数fx)在点x,的左右极限至少有一个不存在，则Im)不存在 B若f心+0)≠-0吵，则mf)不存在 C1imf)存在的充分必要条件是f+0)/-0)都存在 Dmf心)存在的充分必要条件是化+0/k-0)都存在且相等 12.下列结论错误的是（) A:lim(1+x)'=e o:e C:lim(+)=e D:lim(--e

A 1 lim 0 2 n n n  B 1 lim 0 ln( 1) n n   C lim 2n n   D lim 1 1 n n n  （   - ） 7. 下列数列收敛的是（ ）. A   1 ( 1)n  B 2  n C 1 n n        D 3 2 n                 8. 下列数列发散的是（ ）. A 1 sin 2 n n        B 1 ( 1)n n        C 2 1 5 n        D  ( 1)  n n  9. 下列结论正确的是（ ） A 若 0 lim ( ) x x f x A   ，且 A  0 ，则 f x( ) 0  B 若 f x g x ( ) ( )  ，则必有 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x    C 若 0 lim ( ) , x x f x A   则 f x( ) 一定在点 0 x 的某个去心邻域内有界 D 设 xn、yn  为函数 f x( ) 定义域内的两个收敛于 0 x 数列，且 0 , n x x  0 , n y x  若 lim ( ) lim ( ) n n n n f x f y    ，则 0 lim ( ) x x f x  一定存在 10. 当 x 0 时， 3 f x ax ( ) sin 与 2 g x x bx ( ) ln(1 ) 是等价无穷小，则（ ） A a b 0 B a b 0 C a b 1 D a b 1 11. 下列结论错误的是（ ） A 若函数 f x( ) 在点 0 x 的左右极限至少有一个不存在，则 f x x x0 lim  不存在 B 若 f x 0  f x 0 ，则 f x x x0 lim  不存在 C f x x x0 lim  存在的充分必要条件是 f x 0,f x 0 都存在 D f x x x0 lim  存在的充分必要条件是 f x 0,f x 0 都存在且相等 12.下列结论错误的是（ ） A： 1 0 lim(1 ) x x x e    B： 1 lim(1 )x x x e    C： 1 1 lim(1 ) n n n e    D： 1 lim(1 ) x x x e    

13.设有命题(1)收敛数列必定有界；(2)有界数列必定收敛： (3)发散数列必定无界： (4)无界数列必定发散 上述命题中正确命题的个数是( A、一；B、二： C、三：D、四. A、{a,}单调递增无上界，ma,=o: B、{a}单调递增有上界，故有极限： c、{a,}单调递减有下界，故有极限且l1ima.=0: D、{a,;单调递减有下界，故有极限且lima。>0 四、计算题 1.求下列极限： (1)lim(m+-n小： ②+++}： a)-on子 ④-： 6)g6m2 tanx 2。利用迫敛性求下列极限 1 =万*+22+a 1 a-- ①- 3.试问yx是初等函数吗？ 4.设∫和g都是初等函数，定义 M(x)=max{f(x),g(x),m(x)=min(f(x),g(x)),xED

13．设有命题（1）收敛数列必定有界； （2）有界数列必定收敛； （3）发散数列必定无界； （4）无界数列必定发散. 上述命题中正确命题的个数是 （ ） A、一； B、二； C、三； D、四. 14．设 1 1 1 1 2 n a n n n      ，则 （ ） A、{ }n a 单调递增无上界， lim n x a    ； B、{ }n a 单调递增有上界，故有极限； C、{ }n a 单调递减有下界，故有极限且 lim 0 n x a   ； D、{ }n a 单调递减有下界，故有极限且 lim 0 n x a   . 四、计算题 1. 求下列极限： (1）   2 lim 1 n n n    ； (2） 2 1 1 1 lim 1 4 4 4n n           ； (3） 3 lim sin x x  x ； (4） 2 0 sin(sin ) lim 1 x x x  e  ； (5）   3 0 sin 2 lim x tan x  x ； (6） 3 0 tan sin lim x 2arcsin x x  x  . 2. 利用迫敛性求下列极限： (1） 1 1 1 lim 1 2 n n n n n             (2）                n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 1 lim  . (3） x x x x cos lim   (4） 4 sin lim 2  x  x x x . 3. 试问 y x | | 是初等函数吗？ 4．设 f 和 g 都是初等函数，定义 M x f x g x ( ) max{ ( ), ( )}  ，m x f x g x ( ) min{ ( ), ( )}  ， x D

试问M(x)和mx)是否为初等函数？ 5.讨论狄利克雷函数D(x)= 化的有数有男，华满与用性 6.试求下列极限： (1)mn: (2）lin xsinx: （(3)画xn (4)limxsinx: (5)▣xsm子 分折这几个极限不小心时容易混清把1误认为四血：(2)与(4)函数相同。但 变量x的趋向不同：(3)与(5)也有类似的情况注意变理的趋向是避免出错的关键， 7.讨论下列函数在x→0时的极限或左、右极限： 「2x>0 ④)=LI ②)fx)=x(3)fx)={0x=0 1+x2x0 1.设函数∫x)= 1x=0, 1+x2,x0 在x=0存在极限. a+ln(l+x2),x≤0

试问 M x( ) 和 m x( ) 是否为初等函数？ 5.讨论狄利克雷函数 1, ( ) 0, x D x x     当 为有理数 当 为无理数 的有界性，单调性与周期性. 6．试求下列极限： （1） x x x sin lim  ； （2） x x x lim sin 0 ； （3） x x x 1 lim sin 0 ； （4） x x x lim sin  ； （5） x x x 1 lim sin  ； 分析 这几个极限不小心时容易混淆.把（1）误认为 x x x sin lim 0 ；（2）与（4）函数相同，但 变量 x 的趋向不同；（3）与（5）也有类似的情况.注意变理的趋向是避免出错的关键. 7．讨论下列函数在 x  0 时的极限或左、右极限： ⑴ x x f x | | ( )  ⑵ f (x)  [x] ⑶           1 0 0 0 2 0 ( ) 2 x x x x f x x 五、证明题 1. 设函数 2 2 , 0 ( ) 1, 0 , 1 , 0 x x f x x x x           (1)讨论函数 f x( ) 在 x  0 的左、右极限以及极限； (2)讨论函数 f x( ) 在 x  0 是否连续. 2. 当 a 取何值时，函数 2 sin , 0, ( ) ln(1 ), 0. x x f x x a x x           在 x  0 存在极限