第三部分向量 ·、选择题 1现有四个向量组 ①1,2,3)7，(3，-1,5)7，(0,4，-2,1,3,0， ②(a,l,b,0,0)',(c,0,d,2,0)',(e,0,f,0,3)', ③(a,1,2,3),(b,1,2,3)',(c,3,4,5),(d,0,0,0, ④(，0,3,1)'，(-1,3,0,2)，(2,1,7,2)，(4,2,14,5) 则下列结论正确的是 (A)线性相关的向量组为①④，线性无关的向量组为②③： (B)线性相关的向量组为③④，线性无关的向量组为①②： (C)线性相关的向量组为①②，线性无关的向量组为③④ (D)线性相关的向量组为①③④，线性无关的向量组为②。 2.设a1=(1,4,3,-1)',a2=(2,4,-1,-1),a=(-2,3,1,1+1),则 (A)对任意的t,a,a,4必线性无关： (B)仅当t=-3时，a,a,4线性无关： (C)若t=0,则a,a2,a线性相关： (D)仅t≠0且1*-3时，a,a,a线性无关。 3.设a4=(1,2,3,1),a2=(3,4,7,-1)',a=(2,6,a,6,4=(0,1,3,0，那么a=8 是a,a,a,ac,线性相关的 (A)充分必要条件： (B)充分而非必要条件 (C)必要而非充分条件；(D)既不充分也非必要条件。 4.向量组a,a,,a,线性无关的充分必要条件是 (A)存在全为零的一组数k,k,,人，使ka+k,a,++ka=0: (B)存在不全为零的一组数k,k2,,k,使ka+ka+…+k,a,≠0： (C)对于任何一组不全为零的数k,k,…,k,都有k,a+ka+…+k.a,≠0：
第三部分 向量 一、选择题 1.现有四个向量组 ○1 (1, 2, 3) , (3, 1, 5) , (0, 4, 2) , (1, 3, 0) TTT T ， T T T T ○2 (ab cd e f ,1, , 0, 0) , ( , 0, , 2, 0) , ( , 0, , 0, 3) T T ， ○3 (abcd ,1, 2, 3) , ( ,1, 2, 3) , ( , 3, 4, 5) , ( , 0, 0, 0) TTT ， ○4 (1, 0, 3,1) , ( 1, 3, 0, 2) , (2,1, 7, 2) , (4, 2,14, 5) T TT 则下列结论正确的是 （A）线性相关的向量组为○1 ○4 ，线性无关的向量组为○2 ○3 ； （B）线性相关的向量组为○3 ○4 ，线性无关的向量组为○1 ○2 ； （C）线性相关的向量组为○1 ○2 ，线性无关的向量组为○3 ○4 ； （D）线性相关的向量组为○1 ○3 ○4 ，线性无关的向量组为○2 。 2.设 12 3 (1, 4, 3, 1) , (2, , 1, 1) , ( 2, 3,1, 1) T T t t ，则 （A）对任意的 ，t 123 , , 必线性无关； （B）仅当 时， t 3 123 , , 线性无关； （C）若 ，则 t 0 123 , , 线性相关； （D）仅 且 t 0 t 3时， 123 , , 线性无关。 3.设 ，那么 是 12 3 4 (1, 2, 3,1) , (3, 4, 7, 1) , (2, 6, , 6) , (0,1, 3, ) T TT a a 1234 ,,, T a 8 线性相关的 （A）充分必要条件； （B）充分而非必要条件； （C）必要而非充分条件；（D）既不充分也非必要条件。 4.向量组 1 2 ,,, s线性无关的充分必要条件是 （A）存在全为零的一组数 ，使 1 2 ,,, s kk k 11 22 0 s s kk k ； （B）存在不全为零的一组数 ，使 1 2 ,,, s kk k 11 22 0 s s kk k ； （C）对于任何一组不全为零的数 ，都有 1 2 ,,, s kk k 11 22 0 s s kk k ；
(D)a,a,,a,中任意两个向量线性无关。 5.向量组a,a,,a,线性无关的充分必要条件是 (A)%,a2,…,a,中任意s-1个向量都线性无关： (B)a,a,,a,中每一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示： (C)向量a,不能由a,a2,…,a-,线性表出： (D)向量a可以由a,a,…,a线性表出。 6.设向量组(I):a=(a,42,4ha=(a,42,4gha=(a,42,4g),向量组 (II):月=(a1,42,43a4ha2=(a,a2,asa4ha=(a1,42,ag,a4,则正确的 命题是 (A)(I)相关三(II)相关：(B)(I)无关一(II)无关 (C)(I)无关一(D无关：(D)(ID相关一()无关： 7.设向量组（1)：g,a,,C,:向量组（Ⅱ)：a,a,…,a,C1,,a,则 正确的命题是 (A)(T)无关(TT)无关： (B)(I)无关三(II)相关： (C)(II)相关→(I)无关： (D)(D)无关→()无关： 8.设A=a,a,,abB=B,B2,…,B.1,AB=1y2,,y1都是n阶矩阵，记向 量组()a,a,…,a。,(Ⅱ)B,B,…,Bn,(Ⅲ)，2，…，y。,若向量组（Ⅲ） 线性相关，则 (A) Ⅱ)均线性相关： (B)(I)或(I)中至少有一个线性相关： (C)(I)一定线性相关； (D)(Ⅱ)一定线性相关。 9.设A是m×n矩阵，B是nXm矩阵，且满足AB=E,则 (A)A的列向量组线性无关 B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性无关，B的列向量组线性无关： (C)A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关： (D)A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。 10.己知n维向量a,a,,a线性无关，那么可能线性相关的月，月，，月是 (A)把a,=l,2,,)中第一个分量与第n个分量互换为B,: (B)把a,(i=1,2,…,s)中第一个分量改为相反数是B:
（D） 1 2 ,,, s中任意两个向量线性无关。 5.向量组 1 2 ,,, s线性无关的充分必要条件是 （A） 1 2 ,,, s中任意 个向量都线性无关； s 1 （B） 1 2 ,,, s中每一个向量都不能由其余 s 1个向量线性表示； （C）向量 s不能由 12 1 ,,, s 线性表出； （D）向量 可以由 1 2 ,,, s线性表出。 6. 设向量组（I）： 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 ( , , ), ( , , ), ( , , ) aaa aa a aaa 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 , , ), ( , , , ), ( , , , ) aa aaaa aaaa ，向量组 （II）： 1 11 12 ( , a a ，则正确的 命题是 （A）（I）相关 （II）相关； （B）（I）无关（II）无关； （C）（II）无关（I）无关； （D）（II）相关 （I）无关； 7.设向量组（Ⅰ）: 1 2 ,,, s ；向量组（Ⅱ）： 1 2 1 t ,,,, ,, ss s ，则 正确的命题是 （A）（I）无关 （II）无关； （B）（I）无关（II）相关； （C）（II）相关（I）无关； （D）（II）无关 （I）无关； 8.设 1 2 1 2 1 2 [ , , , ], [ , , , ], [ , , , AB A n n B ] n 1 2 ,,, n 都是 阶矩阵，记向 量组（Ⅰ） n 1 2 ,,, ，（Ⅱ） n 1 2 ，（Ⅲ） , , , n ，若向量组（Ⅲ） 线性相关，则 （A）（Ⅰ）、（Ⅱ）均线性相关； （B）（Ⅰ）或（Ⅱ）中至少有一个线性相关； （C）（Ⅰ）一定线性相关； （D）（Ⅱ）一定线性相关。 9.设 A 是 矩阵， 是 矩阵，且满足 m n B n m AB E ，则 （A） A 的列向量组线性无关， 的行向量组线性相关； B （B） A 的列向量组线性无关， 的列向量组线性无关； B （C） A 的行向量组线性无关， 的列向量组线性无关； B （D） A 的行向量组线性无关， 的列向量组线性无关。 B 10.已知 n 维向量 1 2 ,,, s线性无关，那么可能线性相关的 1 2 ,,, s 是 （A）把 ( ,, , 1 2 i i s) 中第一个分量与第n个分量互换为 i ； （B）把 ( ,, , 1 2 i i s) 中第一个分量改为相反数是 i ；
(c)把a,(i=1,2,,s)中第一个分量改为0得到B: (D)把a,(i=1,2,,5)的第一个分量与第二个分量之间添加0为B,。 11.设a,4,a,a,是三维非零向量，则正确命题是 (A)如果a,a,线性相关，则a,+a,a+a,线性相关 (B)如果a,a,a线性无关，则a,+a,a,+a,a+a,线性无关： (C)如果a,不能用a,a2,a3线性表出，则a%1,42,a一定线性相关： (D)如果a,凸，a,a,中任意三个向量均线性无关，则a,a,&,a,线性无关。 12.设向量组a,a2,a,线性无关，向量B可由a,a,a,线性表示，向量B不能由 ag,aa线性表示，则必有 (A)a,a,月线性无关：(B)a,a,月，线性无关： (C)a,a,B,B,线性相关：(D)a,a,a,月+月线性相关。 13.设a,a,a,B均为三维向量，现有四个命题 ①若B不能由a,a,a线性表示，则a,a,a线性相关， ②若a,a,a线性相关，则B不能由a,a,a线性表示， ③若B能由a,a,a线性表示，则a,a,a,线性无关， ④若a,a,a线性无关，则B能由a,a,a线性表示， 以上命题正确的是 (A)①②，(B)③④，(C)①④，(D)②③ 14.设向量B可由向量组4，a2,…,a线性表示，但不能由向量组(I）: a,a,…,a-1线性表示，记向量组(II)：a,a,,a-,B,则 (A)an不能由(I)线性表示，也不能由(I)线性表示： (B)a.不能由(I)线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示： (C)a能由(I)线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示：
（C）把 ( ,, , 1 2 i i s) 中第一个分量改为 0 得到 i ； （D）把 ( ,, , 1 2 i i s) 的第一个分量与第二个分量之间添加 0 为 i 。 11.设 123 ,,, 4是三维非零向量，则正确命题是 （A）如果 1 2 , 线性相关，则 1 32 , 4线性相关； （B）如果 123 , , 线性无关，则 1 42 43 , , 4线性无关； （C）如果4 不能用 123 , , 线性表出，则 123 , , 一定线性相关； （D）如果 1234 ,,, 中任意三个向量均线性无关，则 1234 ,,, 线性无关。 12.设向量组 123 , , 线性无关，向量 1可由 123 , , 线性表示，向量 2不能由 123 , , 线性表示，则必有 （A） 1 2 , , 1线性无关； （B） 122 , , 线性无关； （C） 2312 ,,, 线性相关；（D） 1231 2 ,,, 线性相关。 13.设 123 ,,, 均为三维向量，现有四个命题 ○1 若 不能由 123 , , 线性表示，则 123 , , 线性相关， ○2 若 123 , , 线性相关，则 不能由 123 , , 线性表示， ○3 若 能由 123 , , 线性表示，则 123 , , 线性无关， ○4 若 123 , , 线性无关，则 能由 123 , , 线性表示， 以上命题正确的是 （A）○1 ○2 ，（B）○3 ○4 ，（C）○1 ○4 ，（D）○2 ○3 14.设向量 可由向量组 1 2 ,,, m 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）： 12 1 , , , m 线性表示，记向量组（Ⅱ）： 12 1 ,,, , m ，则 （A） m 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示； （B） m 不能由（Ⅰ）线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示； （C） m 能由（Ⅰ）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示；
(D)a能由(I)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示。 15.设矩阵A=a,a,a,a1经行的初等变换变为矩阵B=B,B,B,B1,且 a,a,a,线性无关，a,a2,a,a,线性相关，则 (A)B,不能由B,B,月线性表示： (B)B能由B,B,B,线性表示，但表示法不唯一： (C)B,能由B,B,B线性表示，且表示法唯一； (D)B,能否由B,B,B,线性表示不能确定： 16.设A,B为n阶方阵，P,2为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是 (A)若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价： (B)若B=PA,则A的行向量组与B的行向量组等价： (C)若B=PAQ,则A的行（列）向量组与B行（列）向量组等价： (D)若A的行（列）向量组与矩阵B的行（列）向量组等价，则矩阵A与B等 价。 17.如果向量组a,4,,a,的秩为r,则下列命题中正确的是 (A)向量组中任意r-1个向量都线性无关： (B)向量组中任意•个向量都线性无关： (C)向量组中任意r-1个向量都线性相关： (D)向量组中任意r+1个向量都线性相关。 18.向量组a=(1,3,5,-1,a2=(2,-1,-3,4)，a=(6,4,4,6)，a=(7,7,9,1, a-(3,2,2,3)'的极大线性无关组是 (A)a,a2,as:(B）a,a,a:(C)a,a,a:(D）,a,a 19.已知两个n维向量组 (I)a,a,,a与(II)a,a…,a,21,an 若向量组(I)的秩为P,向量组（Ⅱ）的秩为q,则下列条件中不能判定(I) 是（Ⅱ）的极大线性无关组的是 (A)p=q,(Ⅱ)可由(I)线性表示： (B)s=q,(I)与（Ⅱ）是等价向量组：
（D） m 能由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示。 15.设矩阵 1234 A [, , , ] 经行的初等变换变为矩阵 1234 B [, , , ] ，且 123 , , 线性无关， 1 2 ,,, 3 4 线性相关，则 （A） 4不能由 1 2 , , 3线性表示； （B） 4能由 1 2 , , 3线性表示，但表示法不唯一； （C） 4能由 1 2 , , 3线性表示，且表示法唯一； （D） 4能否由 1 2 , , 3线性表示不能确定； 16.设 A ， 为B n 阶方阵， 为 P Q, n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是 （A）若 ，则 B AQ A 的列向量组与 的列向量组等价； B （B）若 ，则 B PA A 的行向量组与 的行向量组等价； B （C）若 ，则 B PAQ A 的行（列）向量组与 行（列）向量组等价； B （D）若 A 的行（列）向量组与矩阵 B 的行（列）向量组等价，则矩阵 A 与 等 价。 B 17.如果向量组 1 2 ,,, s的秩为r ，则下列命题中正确的是 （A）向量组中任意 个向量都线性无关； r 1 （B）向量组中任意 个向量都线性无关； r （C）向量组中任意 个向量都线性相关； r 1 （D）向量组中任意 个向量都线性相关。 r 1 18.向量组 ， ， ， 的极大线性无关组是 1 2 (, , , ) , ( , , , ) 135 1 2 1 34 T T , , ) 2 3 T 3 (,,, ) 6446 T 4 (, , ,) 7 791 T 5 ( , 3 2 （A） 125 , , ；（B） 135 , , ；（C） 234 , , ；（D） 345 , , 19.已知两个 n 维向量组 （I） 1 2 ,,, s与（II） 1 2 1 t ,,,, ,, ss s 若向量组（Ⅰ）的秩为 ，向量组（Ⅱ）的秩为q ，则下列条件中不能判定（Ⅰ） 是（Ⅱ）的极大线性无关组的是 p （A） ，（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示； p q （B） ，（Ⅰ）与（Ⅱ）是等价向量组； s q
(C)p=q,(I)线性无关： (D)p=g=s。 20.已知思维向量组a1,2,a,a,线性无关，且向量月=g+a+a4,月2=a2-a, 月=a+a4B=a+a,月=2a+a2+a,则r(月，月，月，B4,月)= (A)1:(B)2:(C)3:(D)4. 21.设向量组(1)a,a,4,a,线性无关，则与向量组(1)等价的向量组是 (A)a+a+a,+a+: (B)a++i (c)a+aaa+aa-a: (D）a,a+a,a+,%+a,a,-a 二、填空题 1.已知向量组a=0,2,-1,1,a,=(2,0,t,0),a=(0,-4,5,)'线性无关，则t的取 值为 2.设n维向量a,a,a满足2a,-a,+3a=0,B是任意n维向量，若B+a, B+a,aB+a,线性相关，则a= 3.向量组a=(1,-2,0,3),a42=(2,-5,-3,6,a=(01,3,0,a=(2,-1,4,7)的一 个极大无关组是 4.己知向量B=L,,-)可以由a=(a+2,7,1)7,a,=1,-1,2)7线性表示，则 a=_ 5.己知a=(2,3,3,a=1,0,3,a=(6,5,a+2),若B=(4,-3,15可由 a,a,a线性表示，B=(-2-5,a)不能由a,a,a线性表示，则a=一· 6.已知a,a,a,线性无关，若a+2a,+a,a+aa,3a-aa,线性相关，则 a=_ 7.已知a=1,4,2)',a,=(2,7,3)',a=(0,l,a)',可以表示任意一个三维向量，则a
（C） ，（Ⅰ）线性无关； p q （D） 。 pqs 20.已知思维向量组 123 ,,, 4线性无关，且向量1 13 4 ， 2 2 4 ， 3 3 4， 4 2 35 , 2 1 2 3，则 1234 r(, , , , 5 ) （A）1；（B）2；（C）3；（D）4. 21.设向量组（Ⅰ） 123 ,,, 4线性无关，则与向量组（Ⅰ）等价的向量组是 （A） 1 22 33 44 ,,, 1 ； （B） 1 22 33 , , 4； （C） 1 22 33 44 ,,, 1； （D） 11 22 33 44 ,,,, 1。 二、填空题 1.已知向量组 线性无关，则t 的取 值为____________. 1 23 (, , , ) , ( , , , ) , ( , , , ) 1 2 11 2 0 0 0 4 5 T T t t T 2.设 n 维向量 123 , , 满足 12 3 2 3 0， 是任意 n 维向量，若 1， 2 , 3 a 线性相关，则a _________ . 3.向量组 的一 个极大无关组是_____________. 1 2 34 (, , , ) , ( , , , ) , ( ,, , ) , ( , , , ) 1 203 2 5 36 0130 2 147 T TT T T 4.已知向量 ( , 1 1 a, )T 可以由 1 2 ( , , ) , (, , ) a 271 1 12 T 线性表示，则 a _______ . 5. 已 知 1 23 ( , , ) , (, , ) , (, , ) , 233 103 35 2 T T a 若 可 由 3 T 1 (, , ) 4 3 15 T 1 2 , , 线性表示， 2 ( , ,) 2 5 a T 不能由 123 , , 线性表示，则a _____ . 6.已知 123 , , 线性无关，若 1 2 31 2 2 2 , ,3 a 3 a 线性相关，则 a _________ . 7.已知 12 3 (, , ) , ( , , ) , ( ,, ) , 14 2 273 01 T T a T 可以表示任意一个三维向量，则a
的取值为 8.与4=0,2,3，-，4=0,11,2,4，=2,13,0都正交的单位向量是一 9.向量a=L,l2,3),a,=←1，l,4,-1的Schmidt正交规范化向量组是
的取值为________， 8.与 1 23 (, , , ) , ( ,,, ) , ( ,, , ) 1 2 3 1 011 2 213 0 T T T 都正交的单位向量是_______。 T 9. 向 量 的 Schmidt 正交规范化向量组是 ______________________________________。 1 2 (,, , ) , ( ,, , ) 11 2 3 11 4 1 T