习题(A) 1.选择题 (1)n阶方阵A与B相似的充分条件是() (A)A=B:(B)R(A)=R(B):(C)2E-A=2E-B卧：(D)A与B有相同的特征 值，…，入n,且入，，n两两不等。 (2)若A与B相似，则下列结论不正确的是() (A)A和B有相同的特征多项式：(B)A=B:(C)A与B有相同的特征值和特征向量： (D)tr(A)=tr(B) (3)设A为n阶实对称矩阵，P为n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值元 的特征向量，则矩阵(PAP)了属于特征值1的特征向量是() (A)P-a:(B)PTa;(C)Pa:(D)(P-)'a 2判断下列结论的正误，并给出理由。 (1)若对某个向量x有=x,则是A的特征值 (2)矩阵A不可逆的充要条件是零是A的特征值. (3)数c是A的特征值的充要条件是(cE-)x=0有非零解。 (4)若存在数1使Ar=元x成立，那么x是A的特征向量。 (5)若户，P是线性无关的特征向量，则它们是对应于不同特征值的特征向量 (6)A的行列式值等于其对角线上元素的乘积。 3填空题 (1)设A满足A2-4A+4E=0,则A的特征值是 ,A的特征值是。 (2)已知3阶方阵A的特征值为1,1,2，则3A?-2A-2E的特征值为 (3)已知3阶方阵A的特征值为1,23，求4-5AP+7= (4)若A~A= 则A的特征值为 ,A=,R(A0= 0 tr(40= (5)设A是3阶实对称矩阵，若P=A,且R(A)=2,则A的特征值是 (6)若A是3阶方阵，且矩阵A的各行元素之和是5，则矩阵A必有特征向量 且对应的特征值为 4,求下列矩阵的特征值和特征向量
习题（A） 1.选择题 （1）n 阶方阵 A 与 B 相似的充分条件是（ ） （A） A B ；（B） R() () A RB ；（C） EA EB ；（D）A 与 B 有相同的特征 值 1, , n ，且 1, , n 两两不等。 （2）若 A 与 B 相似，则下列结论不正确的是（ ） （A）A 和 B 有相同的特征多项式；（B） A B ；（C）A 与 B 有相同的特征值和特征向量； （D）tr A tr B () () （3）设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 属于特征值 1 (P AP ) T 的特征向量是（ ） (A) 1 P ;(B) T P ;（C） P ；（D） 1 ( )T P 2.判断下列结论的正误，并给出理由。 （1）若对某个向量 x 有 Ax x ，则 是 A 的特征值。 （2）矩阵 A 不可逆的充要条件是零是 A 的特征值。 （3）数 c 是 A 的特征值的充要条件是( ) cE A x 0 有非零解。 （4）若存在数 使 Ax x 成立，那么 x 是 A 的特征向量。 （5）若 1, 2 p p 是线性无关的特征向量，则它们是对应于不同特征值的特征向量。 （6）A 的行列式值等于其对角线上元素的乘积。 3.填空题 （1）设 A 满足 2 A AE 4 4 0 ，则A的特征值是 ， A1 的特征值是 。 （2）已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1，‐1，2，则 2 3 22 A A E 的特征值为_____________. （3）已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1,2,3，求 3 2 A 5 7 A A =____________________. （4）若 ，则 1 2 0 A A 的特征值为_________， A _____ ( ) ____ A ，R A ， tr A( ) _____ 。 （5）设 A 是 3 阶实对称矩阵，若 2 A ，且 R A( ) 2，则 A 的特征值是________. （6）若 A 是 3 阶方阵，且矩阵 A 的各行元素之和是 5，则矩阵 A 必有特征向量________, 且对应的特征值为________. 4.求下列矩阵的特征值和特征向量
（-110)-211100 102 -413 5.设数列{un,{y}满足： 4,=24n-1-3yn =4之 且4=l,%=0,求{u}的通项4，及1im4。· 6.设向量a=(a,4,,a)了，B=(,b,…,b,)了，满足aB=0,且a,h≠0，记A=p 求(1)？：(2)矩阵A的特征值和特征向量。 7.设A,B均为n阶方阵，证明AB与BA有相同的特征值。 123 8不计算，求A=123的一个特征值，并验证其结果 123 9.(2005数四)设A为3阶矩阵，a,a,a是线性无关的3维列向量，且满足 Aa =a+a+a,Aa =2a,+a,Aa,=2a,+3a,, (1)求矩阵B使得A(a,a2,a)=(a,a2,a)B: (2)求矩阵A的特征值： (3)求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵。 1b…b 10.设n阶矩阵A= b1…b (bb…1 (1)求A的特征值和特征向量： (2)求可逆矩阵P,使得PAP为对角阵。 201 11.设矩阵A=31x可相似对角化，求x。 (405
（1） ；（2） ;（3） ；（4） 。 3 1 1 3 A 110 430 1 02 A 211 0 2 0 413 A 100 2 3 0 456 A 5.设数列u v n n , 满足： 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 nn n nn n uu v vu v 且u v 0 0 1 0 , ，求un 的通项 及 。 n u lim n n u 6.设向量 ( , , , ), ( , , , ) aa a bb b 1 2 n T 1 2 n T ，满足 0, T 且 ，记 1 1 a b 0 T A ， 求（1） ；（2）矩阵 2 A A 的特征值和特征向量。 7.设 A, B 均为 阶方阵，证明 n AB 与 BA 有相同的特征值。 8.不计算，求 的一个特征值，并验证其结果。 123 123 123 A 9.（2005 数四）设 A 为 3 阶矩阵， 123 , , 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A112 3 ， 2 2 2 A 3 ， 3 2 A 2 3 3 ， （1）求矩阵 B 使得 123 123 A B (, , )(, , ) ； （2）求矩阵 A 的特征值； （3）求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵。 P 1 P AP 10.设 n 阶矩阵 ， 1 1 1 b b b b A b b （1）求 A 的特征值和特征向量； （2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。 P 1 P AP 11.设矩阵 201 3 1 405 A x 可相似对角化，求 x
1-2-45 2设矩4之25Λ4相， -4-21 (1)求x,y: (2)求一个正交阵P,使得PAP=A。 11) 1已知4气22来， 14.设=1+2 y,=4x1+3y ，且=2，%=1，求xm 15.设3阶矩阵A满足Aa,=ia,0=1,2,3),其中列向量 a=(1,2,2),a2=(2,-2,1),a=(-2,-1,2),试求矩阵A。 16.设3阶对称矩阵A的特征值为入=1，元=-1，元=0，对应元，乙2的特征向量依次为 1 2 A=2P2=1,求A (2 （-2 (322）(010 17.设矩阵A=232,P=101, B=PAP,求B+2E的特征值与特征向 (223 001 量。 18.设A,B是同阶方阵，(1)如果A,B相似，证明A,B的特征多项式相同：(2)举一个2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立：(3)当A,B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆 命题成立。 习题(B) 1、选择题 1 (1)(2012数一)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-AP= P=(pP,P),Q=(B+,P,P),则Q'A0=（）
12.设矩阵 与 相似， 1 24 2 2 4 21 A x 5 4 y （1）求 x, y ； （2）求一个正交阵 ，使得 P 1 P AP 。 13.已知 ，求 。 1 1 2 2 A n A 14. 设 ，且 ，求 1 1 1 2 4 3 nn n nn n xx y yx y 1 0 0 x y 2 1 , 100 x 。 15.设 3 阶矩阵 A 满足 ( ,, 123 A ii i i ) ，其中列向量 12 3 (, , ) , ( , , ) , ( , , ) 12 2 2 21 2 12 T T T ，试求矩阵 A 。 16.设 3 阶对称矩阵 A 的特征值为 12 3 1 1 , , 0，对应 1 2 , 的特征向量依次为 1 2 1 2 2 2 2 p p, 1 1 * ，求 A 17.设矩阵 ， ， 322 232 223 A 010 1 0 1 001 P P AP B ，求 B 2E 的特征值与特征向 量。 18.设 A, B 是同阶方阵，（1）如果 A, B 相似，证明 A, B , 的特征多项式相同；（2）举一个 2 阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当 A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆 命题成立。 习题（B） 1、选择题 （1）（2012 数一）设 A 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 ， ，Q ，则 P 1 1 1 2 P AP 123 P pp p (, , ) 1 22 ( ,, p ppp3 ) 1 Q AQ （ ）
2 2 (2)(2010数一)设A为4阶对称矩阵，且A2+A=0,若A的秩为3，则A相似于() 1 1 :(c) -1 :D 0 0 0 x (3)(2008数一)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x,水，)Ay=1在正交变 换下得标准方程的图形如图则A的正特征值的个数为： (A)0:(B)1:(C)2:(D)3 （2-1-1100 (4)(2007数-)设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B() (-1-12(000 (A)合同且相似：(B)合同但不相似：(C)不合同但相似：(D)既不合同也不相似。 (5)设入，入是矩阵A的不同的特征值，对应的特征向量分别为a,a,则a,4(C+a) 线性无关的充分必要条件是() (A)1≠0：(B)1,≠0：(C)1=0:(D)元=0 2.填空题 (1)设A是3阶矩阵，且4=2A+E=A-E=0,则A-5E=」 (2)设A是3阶矩阵，已知A的特征值为1,23，A,是4中元素a,的代数余子式，则 A1+A2+A=—· (3)已知x是A的属于特征值的特征向量，则PAP对应特征值的特征向量为
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 （2）（2010 数一）设 A 为 4 阶对称矩阵，且 2 A A 0，若 A 的秩为 3，则 A 相似于（ ） （ A ） ；（ B ） ；（ C ） ；（ D ） ； 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 （3） (2008 数一)设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变 换下得标准方程的图形如图则 , , 1 x xyz A y z A 的正特征值的个数为： （A）0；（B）1；（C）2；（D）3 （4）（2007 数一）设矩阵 2 11 12 1 1 12 A ， ，则 100 010 000 B A 与 B （ ） (A) 合同且相似；（B）合同但不相似；（C）不合同但相似；（D）既不合同也不相似。 （5）设 1 2 , 是矩阵 A 的不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 , ，则 1 12 ,( ) A 线性无关的充分必要条件是（ ） （A） 1 0 ；（B） 2 0 ；（C） 1 0 ；（D） 2 0 2.填空题 （1）设 A 是 3 阶矩阵，且 A AE AE 2 0 ，则 A E 5 ____________ 。 （2）设 A 是 3 阶矩阵，已知 的特征值为 1,2,3， 1 A Aij 是 A 中元素 的代数余子式，则 ij a 11 22 33 AAA _____ 。 （3）已知 x 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 对应特征值 1 P AP 的特征向量为 ____________
(4)已知A~A= ,则RA-E)+RA-2E)=— -2 (-260)1 (5)己知A=-130~B=1,则x=。 (4x1 2 (6)设A是n阶矩阵，B,P,,P是n个线性无关的n维列向量，且满足 p,=p0=1,2,,n),则A= Q只有一个线性无关的特征向量，则a=一· ()已知矩阵4=5月 (8)设A是n阶矩阵，A=2,若矩阵A+E不可逆，则矩阵A的伴随矩阵必有特征 (9)设A是3阶方阵，且矩阵A的各列元素之和是2，则A必有特征值 (10)(2008,数一)设A为2阶方阵，a,a为线性无关的2维列向量，Aa=0, Aa2=2a+a,则A的非零特征值为 (11月(-11) 3.(2011数一)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且400=00求(1) (-111 A的特征值与特征向量：(2)矩阵A。 4.(2009数-)设二次型f(6,x2,)=a+a+(a-10x+2x5-2x (1)求二次型∫的矩阵的所有特征值： (2)若二次型∫的规范型为片+片，求a的值。 5.(2007数一)设三阶实对称矩阵A的特征值元=1,2=2，元，=-2，a=(1,-1,1)是A 的属于入的一个特征向量，记B=-4?+E,其中E为3阶单位阵， (①)验证a,是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量。 ()求矩阵B
（4）已知 ，则 1 1 2 A RA E RA E ( ) ( ) ______ 2 2 ______ 。 （5）已知 ，则 260 1 130 1 4 1 A B x x 。 （ 6 ） 设 A 是 n 阶矩阵， 1 2 ,,, n p p p A _____ 是 个线性无关的 n 维列向量，且满足 ，则 。 n Ap p i i ( ,, , i n 1 2 ) （7）已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，则 3 1 5 a A a _____ 。 （8）设 A 是 n 阶矩阵， A 2 ，若矩阵 A E 不可逆，则矩阵 A 的伴随矩阵 必有特征 值_________. * A （9）设 A 是 3 阶方阵，且矩阵 A 的各列元素之和是 2，则 A 必有特征值_______. （10）（2008，数一）设 A 为 2 阶方阵， 1 2 , 为线性无关的 2 维列向量， 1 A 0 ， 2 1 A 2 2 ，则 A 的非零特征值为______. A 的秩为 2，且 ，求（1） 1 1 11 00 00 11 1 1 A 3.（2011 数一）设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的特征值与特征向量；（2）矩阵 A 。 4.（2009 数一）设二次型 22 2 1 2 3 1 2 3 13 23 f (, , ) ( ) x x x ax ax a x x x x x 12 2 （1）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （2）若二次型 f 的规范型为 ，求 的值。 2 1 y y 2 2 a 5.（2007 数一）设三阶实对称矩阵 A 的特征值 12 3 1 2 , , 2 ，1 (, , ) 1 11 T 是 A 的属于1 的一个特征向量，记 5 4 3 B A A E ，其中 E 为 3 阶单位阵， （I）验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量。 （ii）求矩阵 B
71) (2-12) 6.已知p=1是矩阵A=5a3的一个特征向量 -1 -1b-2 (1)求参数a,b的值及特征向量p所对应的特征值 (2)讨论A是否能相似对角化？并说明理由。 7.已知A是3阶实对称矩阵，特征值是3，-6,0,1=3的特征向量是a=(1,a,),1=-6 的特征向量是a,=(a,a+1,1),求矩降A. 8.设a=(a,a,,an)了，a≠0，A=aa (1)证明入=0是A的n-1重特征值： (2)求A得非零特征值及n个线性无关的特征向量。 9.设3阶对称矩阵A的特征值为元=6，入2=入=3，与特征值入=6对应的特征向量为 B=(,l,,求A 142 10.设A=0-34,求A0。 043 11.(2000)某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练 工支援其他部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新，老非熟练工经过培训及实践至年终 考核有二成为熟练工，设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x,和y, 2度有[任 a气位)关乱辉短彩小任 1
6.已知 是矩阵 的一个特征向量 1 1 1 p 2 12 5 1 2 A a b 3 （1）求参数 的值及特征向量 a b, p 所对应的特征值 （2）讨论 A 是否能相似对角化？并说明理由。 7.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 3，‐6，0， 3 的特征向量是1 (, , ) 1 1 a T ， 6 的特征向量是 2 ( , ,) a a 1 1 T ，求矩阵 A 。 8.设 (, , , ) aa a 1 2 n T ， ， 1 a 0 T A （1）证明 0是 A 的 重特征值； n 1 （2）求 A 得非零特征值及 n 个线性无关的特征向量。 9.设 3 阶对称矩阵 A 的特征值为 1 6 ， 2 3 3，与特征值 1 6 对应的特征向量为 1 (,, ) 111 T p ，求 A。 10.设 ，求 。 142 0 34 043 A 100 A 11.（2000）某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 1 6 熟练 工支援其他部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新，老非熟练工经过培训及实践至年终 考核有 2 5 成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x 和 n y ， 记成向量 n n x y 。 （1）求 与 1 1 n n x y n n x y 的关系式，并写成矩阵形式 1 1 n n n n x x A y y ； （2）验证 ， 是 1 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； 4 1 2 1 1 （3）当 1 1 1 2 1 2 x y 时，求 。 1 1 n n x y
111） 12.设矩阵A=x4y有三个线性无关的特征项链，且元=2时A的二重特征值，试 -3-35 求可逆矩阵P,使得PAP为对角阵。 13.(2006)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a=(-1,2,-1)7,a=(0,-1,1 是线性方程组A水=0的两个解。 (1)求A的特征值和特征向量。 (2)正交阵Q和对角阵A,使得QAQ=A。 211) (1 14,设矩阵A=121可逆，向量a=b是矩阵A的件随矩阵A的一个特征向量，2 11a 1 是a对应的特征值，试求a,b和1的值。 (220 15.若矩阵A=82a相似于对角阵A,试确定常数a的值，并求可逆矩阵P，使 (006 PAP=A。 例6设某城市共有30万人从事农、工、商各行业的工作，假定这个总人数在若干年内保 持不变，而社会调查表明： (1)在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，而有6万人经 商。 2)在从农人员中，每年约有20%改为从工，10%改为经商。 (3)在丛工人员中，每年约有20%政为从农，10%政为经商。 (4)在经商人员中，每年约有10%政为从农，10%政为从工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋 势
12.设矩阵 1 11 4 3 35 A x y 有三个线性无关的特征项链，且 2时 A 的二重特征值，试 求可逆矩阵 P，使得 为对角阵。 1 P AP 13.(2006)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 是线性方程组 的两个解。 1 2 ( , , ), (, ,) 1 2 1 0 11 T T Ax 0 （1）求 A 的特征值和特征向量。 （2）正交阵 Q 和对角阵 ，使得 T Q AQ 。 14.设矩阵 可逆，向量 是矩阵 211 121 1 1 A a 1 1 b A 的伴随矩阵 的一个特征向量， * A 是 对应的特征值，试求 和 a b, 的值。 15.若矩阵 220 8 2 006 A a 相似于对角阵 ，试确定常数 a 的值，并求可逆矩阵 ，使 。 P 1 P AP 例 6 设某城市共有 30 万人从事农、工、商各行业的工作，假定这个总人数在若干年内保 持不变，而社会调查表明： （1）在这 30 万就业人员中，目前约有 15 万人从事农业，9 万人从事工业，而有 6 万人经 商。 （2）在从农人员中，每年约有 20%改为从工，10%改为经商。 （3）在丛工人员中，每年约有 20%改为从农，10%改为经商。 （4）在经商人员中，每年约有 10%改为从农，10%改为从工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋 势
