南阳师范学院：《线性代数》课程教学课件（同济第五版）第五章 相似矩阵及二次型

目录 第五章相似矩阵及二次型 ◆第一节 向量的内积、正交 ◆第二节 方阵的特征值与特征向量 ◆第三节 相似矩阵 ◆第四节 对称矩阵的对角化 ◆第五节 二次型及其标准形 ◆第六节 配方法化标准形 ◆第七节 正定二次型

目 录 第五章 相似矩阵及二次型 第一节 向量的内积、正交 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 对称矩阵的对角化 第五节 二次型及其标准形 第六节 配方法化标准形 第七节 正定二次型

学习基本要求 第五章相似矩阵及二次型 ◆1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求 矩阵的特征值和特征向量 ◆2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的 充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. ◆3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 ◆4.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念， 了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准 形、规范形的概念以及惯性定理. ◆5.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配 方法化二次型为标准形。 ◆6，理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别 法

学习基本要求 第五章 相似矩阵及二次型  1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求 矩阵的特征值和特征向量 .  2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的 充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 .  3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．  4．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念， 了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准 形、规范形的概念以及惯性定理．  5．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配 方法化二次型为标准形．  6．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别 法．

学习考研要求 第五章相似矩阵及二次型 ◆1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵 的特征值和特征向量。 ◆2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分 必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. ◆3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 ◆4.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解 合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范 形的概念以及惯性定理。 ◆5.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法 化二次型为标准形. ◆6.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法

学习考研要求 第五章 相似矩阵及二次型  1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵 的特征值和特征向量 .  2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分 必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 .  3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．  4．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解 合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范 形的概念以及惯性定理．  5．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法 化二次型为标准形．  6．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．

学习内容 第一节向量的内积、正交 第一节 向量的内积及正交 1.向量的内积 (1)定义 设有两个n维向量 a=(a,2,…,aB=(b,b2,…,b)' 称 (a,B)=ab+a,b+…+anb. 为与B的内积

学习内容 第一节 向量的内积、正交 第一节 向量的内积及正交 1.向量的内积 (1)定义 设有两个n维向量 , 称 为与的内积 ．  T aaa n ,,, 21     T bbb n ,,,   21      2211  bababa nn ,  =

学习内容 第一节向量的内积、正交 (2)性质 (0(a,B)=(B,a) (1)(ka,B)=k(a,B) (l)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) ()(a,a)≥0，当且仅当au=0时(a,)=0 ) 柯西-施瓦兹不等式 (a,B)2≤(a,B,B) 其中等号成立当且仅当Qx与B线性相关

(2)性质      ,,    k   k,,              ,,,   (I) (II) (III)      0,      0, (IV) , 当且仅当 时 (V) 柯西-施瓦兹不等式     ,,,   2  其中等号成立当且仅当  与  线性相关． 学习内容 第一节 向量的内积、正交

学习内容 第一节向量的内积、正交 证 若B=0,显然(a,B}≤(a,a)(B,B) 明： 若B≠0，令Y=w+xB，则 (Y,r)=(a+xB,a+xB) =(B,B)x2+2(a,B)x+(a,a) 则y,y）≥0当且仅当4(a,B}2≤4a,aB,B) 且当且仅当y=0，即α与B线性相关时，等号成立

证 明：    x ，则          xx  ),(,      ,,2,   2 x x  若   0 则     ,,4,4   2     0, 当且仅当  若   0 ，显然     ,,,   2  ，令 且当且仅当   0 ，即 与   线性相关时，等号成立. 学习内容 第一节 向量的内积、正交

学习内容 第一节向量的内积、正交 2.向量的长度及夹角 >定义称非负实数√(u,心)为a的长度或模， 记作a，即a=√(a,u)· >性质 ()非负性 la≥0当且仅当a=B时la=0 (I)齐次性ka=a (Il)三角不等式性a+sa+Bl (IV)柯西一布涅柯夫斯基不等式：（≤QB 其中等号成立当且仅当Q与B线性相关

2.向量的长度及夹角 性质 称非负实数 为 的长度或模 ， 记作 ，即 ＝ ．  ,       ,   定义 （I） 非负性   0 当且仅当    时   0 （II）齐次性  kk  （III）三角不等式性    柯西 —布涅柯夫斯基不等式： 其中等号成立当且仅当 与 线性相关． ,      （IV ）   学习内容 第一节 向量的内积、正交

学习内容 第一节向量的内积、正交 长度为1的向量称为单位向量. q 非零向量☑的单位化：B= a >定义 称B=arcc0s (a,B) 0≤0≤π a 18 为任意非零向量0与B的夹角

称 为任意非零向量 与 的夹角．       ,  arccos 0        定义 长度为１的向量称为单位向量． 非零向量  的单位化：      学习内容 第一节 向量的内积、正交

学习内容 第一节向量的内积、正交 3.向量的正交 ◆定 若(a,B)=0,称x与阝正交. 义： 显然，零向量与任意一个向量都正交， 当0，B≠0时，0与B正交 ©α与B的灭角0=7 ◆ 两两正交的非零向量组01,2，…，0 称为正交向量组. 性质：正交向量组一定线性无关

3.向量的正交  定 义： 若     0, ，称与正   交. 显然，零向量与任意一个向量都正交. 当 时    0, ， 与   正交   与  的夹角 2   两两正交的非零向量组 称为正交向量组 ．   s ,,, 21  性质：正交向量组一定线性无关 ．  学习内容 第一节 向量的内积、正交

学习内容 第一节向量的内积、正交 4.标准正交向量组 √1)定义 设向量组61,82，…，8r, 81,2,·,￡，两两正交，且均为单位向量 则称向量组81,82，…，8，是标准正交向量组 (或者规范正交向量组) 2)性质： 小茶

4.标准正交向量组  r   ,,,  21  两两正交，且均为单位向量 1） 定义 设向量组 ， r   ,,,  21  则称向量组 r   ,,,  21  是标准正交向量组 2）性质 ：         ji ji ji ,1 ,0 , （或者规范正交向量组 ） 学习内容 第一节 向量的内积、正交