南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第七章 微分方程的基本概念 7.4 一阶线性微分方程

第四节一阶线性微分方程

第四节 一阶线性微分方程

一、有关的概念 方程会+y=Qx)叫做一阶线性微分方程其中P,Q)为已知函数 已知函数 只含未知函数 的一阶导数且 +Py=Q 系数为1 dx 已知函数 未知函数是一 次的 如果Q()=0,则方程称为齐次线性方程，否则方程称为非齐次线性方程 方程密+代y-0叫做对应于非齐次线性方程密代-Q的齐次线性方程 dx

方程 P(x)y Q(x) dx dy   叫做一阶线性微分方程其中P x Q x ( ), ( ) 为已知函数. 一、有关的概念 P(x)y Q(x) dx dy   如果 Q x( ) 0   则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 P(x)y0 dx dy 叫做对应于非齐次线性方程 P(x)y Q(x) dx dy   的齐次线性方程 已知函数 已知函数 只含未知函数 的一阶导数且 系数为1 未知函数是一 次的

一、有关的概念 已知函 已知函数 数 +Pxy=O dx 只含未知函数 未知函数是一 的一阶导数且 次的 系数为1 例1：判断正误 (1) -xy=sinx是一阶线性微分方程 d (2) -x2y=sinx不是一阶线性微分方程， dx (3) 少-2少=0是一阶齐次线性微分方程。 dx x+1 (4) 少-2少=x+1)是一阶非齐次线性微分方程. dx x+1 (5) (x2+y2)dk-3d=0是一阶线性微分方程

一、有关的概念 P(x)y Q(x) dx dy   例 1：判断正误 (1) 2 sin dy x y x dx   是一阶线性微分方程 未知函数是一 次的 已知函数 只含未知函数 的一阶导数且 系数为1 已知函 数 (2) 2 sin dy y x y x dx   不是一阶线性微分方程 （3） 2 0 1 dy y dx x    是一阶齐次线性微分方程 (4)   5 2 2 1 1 dy y x dx x     是一阶非齐次线性微分方程 (5) 2 2 ( ) 0 x y dx xydy    是一阶线性微分方程

二、一阶齐次线性方程的解法 注记1：齐次线性方程会+咖=0是可分离变量的微分方程 定理1：一阶齐次线性方程票+-0的通解是 y=CeJ体(C=士eS)(积分中不再加任意常数). 注记2：解一阶齐次线性方程的步骤 第一步：分离变量：少=-Px, 第二步：两边积分得nl咋∫P(x)d+C, 第三步：求出y=CeP(C=±e9) 就是齐次线性微分方程的通解（积分中不再加任意常数）

二、一阶齐次线性方程的解法 注记 1：齐次线性方程 P(x)y0 dx dy 是可分离变量的微分方程 注记 2：解一阶齐次线性方程的步骤 第一步：分离变量： P x dx y dy  ( )  第二步：两边积分得 1 ln| y| P(x)dxC   就是齐次线性微分方程的通解（积分中不再加任意常数） 定理 1：一阶齐次线性方程 P(x)y0 dx dy 的通解是 ( ) 1 P(x)dx C y Ce Ce    （积分中不再加任意常数） 第三步： 求出 ( ) 1 P(x)dx C y Ce Ce   

三、一阶非齐次线性方程的解法一一常数变易法 定理2：一阶非齐次线性方程会+代ey-Q的通解为 y=CeJP+e JPxk∫ecxe在. 对应的齐次线性方 非齐次线性方程的特解 程通解

定理 2：一阶非齐次线性方程 P ( x ) y Q ( x ) dx dy   的通解为 y Ce e Q x e dx P x dx P x dx P x dx        ( )  ( ) ( ) ( )  三、一阶非齐次线性方程的解法---常数变易法 对应的齐次线性方 程通解 非齐次线性方程的特解

注记2求一阶非齐次线性方程的方法有两种 方法一：常数便易法—一步骤 第一步：求齐次线性方程+Py=0的通解y=CePw体(C=±eS) 第二步：将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数)，把y=xeP4 设想成非齐次线性方程的通解.代入非齐次线性方程求得(x) 第三步：将求得的)代入y(eha即可得到会+Py=Q的通解

注记 2 求一阶非齐次线性方程的方法有两种 方法一：常数便易法---步骤 第一步：求齐次线性方程 P(x)y0 dx dy 的通解 ( ) 1 P(x)dx C y Ce Ce    第二步：将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u x( )  把    P x dx y u x e ( ) ( ) 设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 u x( ) 第三步：将求得的 u x( ) 代入    P x dx y u x e ( ) ( ) 即可得到 ( ) ( ) dy P x y Q x dx   的通解

阶非齐次线性方程密+Pe=Q)的通解y-Ce*+eA∫Xx)elrd 方法二：公式法 第一步：确定P(x),Q(x) 第二步：求∫P(x、era达与。（积分中不再加任意常数） 第三步：求∫Qx)eadk及ea咖Qxek(积分中不加任意常数) 第四步：求Cef+ea2prad在

一阶非齐次线性方程 P(x)y Q(x) dx dy   的通解 y Ce e Q x e dx P x dx P x dx P x dx        ( )  ( ) ( ) ( )  方法二：公式法 第一步：确定 P x Q x ( ), ( ) 第二步：求 P x dx ( )  、 P x dx ( ) e   与 P x dx ( ) e  （积分中不再加任意常数） 第三步：求 ( ) ( ) P x dx Q x e dx   及 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx e Q x e dx     （积分中不加任意常数） 第四步：求 ( ) ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx P x dx Ce e Q x e dx       

可以使用公式 例2求方程会头+的通解 解：这是一个一阶非齐次线性方程。先求对应的齐次线性方程会升0的通解 分离变量得少-2血，积分得1nl2nlkx+1+C,即齐次线性方程的通解为y=C(x+ y x+l 用常数变易法把C换成u,即令y=(x+1),代入所给非齐次线性方程，得 (x+'W+20x+1M-2 中7+u=任+) 从而d=+12,两边积分得u-+2+C. 再把上式代入y=(x+)'中，即得所求方程的通解为 2 y=x+3+Cx+

例 2 求方程 2 5 ( 1) 1 2     x x y dx dy 的通解 解：这是一个一阶非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程 0 1 2    x y dx dy 的通解 分离变量得 1 2   x dx y dy ，积分得 1 ln 2ln 1 y x C    ，即齐次线性方程的通解为   2 y C x  1 用常数变易法把C 换成 u  即令   2 y u x  1 ，代入所给非齐次线性方程 得 5 2 2 2 2 ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 1 x u x u x u x x          从而 2 1 u  (x1) 两边积分得 u x 2 C 3 ( 1) 3 2  再把上式代入   2 y u x  1 中 即得所求方程的通解为 2 2 7 ( 1) ( 1) 3 2 y  x  C x   可以使用公式