南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.7 曲率

第七节曲率 曲线的弯 〔与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容： 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径

曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M M M  第七节 曲率

一、弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，其图形为AB, 弧长s=AM=S(x) y y=f(x)B △S MM'MM' A M △x MM' △x A) MM' V(△x)2+(△y)2 0 a MM' X↑bx △x X+△x + MM' MM lim =±1 ax-→0MM ÷.s()=1imA=1+0y

一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s  AM  s(x) x s   M M M M    x M M    M M M M    x x y      2 2 ( ) ( ) M M M M     2 1 ( ) x y    x s s x x       0 ( ) lim 2  1 ( y ) x A B y  f (x) a b x o y x M x  x M y lim 1 0       M M M M x

弧微分公式 s'(x)=V1+(y)7 .ds=+(y)2dx ds=/(dx)2+(dy)2 若曲线由参数方程表示： x=x(t) y=y(t) 则弧微分公式为ds=[x+[ydi

则弧微分公式为     2 2 d ( ) ( ) d s x t y t t     ds 1 ( y ) dx 2     或 2 2 ds  (dx)  (dy) 若曲线由参数方程表示:      ( ) ( ) y y t x x t 弧微分公式

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△s,对应切线 转角为△a,定义 弧段△s上的平均曲率 K= △0 △s 点M处的曲率 △ da K=lim △S->0 △S ds 注记：直线上任意点处的曲率为0！

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K      M M s 点 M 处的曲率 s K s       0 lim ds d  注记1: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 解：如图所示， M △S=R△a aA △a 1 R、 ∴.K=lim M △S→0 △s R 可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s  R s K s        0 lim R 1  可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小.  s R M M 

曲率K的计算公式 设曲线弧y=f(x)二阶可导，则由 K= da tama=y(设-7<a<孕 ds 得 o-auny一nt 又ds=1+y2d 故曲率计算公式为K= (1+y2)3 当y<1时，有曲率近似计算公式K≈y

当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan  y  ) 2 2 (    设    得   arctan y  d 故曲率计算公式为 s K d d  2 3 (1 ) 2 y y K     K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y  f (x) 二阶可导, 则由

例2.我国铁路常用立方抛物线y= 1 x3 作缓和曲线 其中R是圆弧弯道的半径，1是缓和曲线的长度，且1<<R 求此缓和曲线在其两个端点00,0,506处 处的曲率， 说明： 铁路转弯时为保证行车 平稳安全，离心力必须 连续变化，因此铁道的 曲率应连续变化. 点击图片任意处播放暂停

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y  作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化

解：当x∈[0,1]时， y=,2s X 1≈0 2R1 -2R y” 、/ X RI ∴.K≈y"= 显然 1 Kx-0=0,Kx≈R 6RI

解: 当x[0,l ]时, R l 2   0 x Rl y 1    K  y  x Rl 1  显然 0; K x0  R K x l 1   2 2 1 x Rl  y   R B y o x 3 6 1 x Rl y  l

三、曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点，在点 M处作曲线的切线和法线，在曲线 的凹向一侧法线上取点D使 M(x,y) DM=R= X K 把以D为中心，R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆，R叫做曲率半径，D叫做曲率中心. 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系： (1)有公切线；(2)凹向一致；(3)曲率相同

三、 曲率圆与曲率半径 T y o x D( , ) R M (x, y) C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 K DM R 1   把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆，R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使