第三节幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数
一、函数项级数的概念 设un,(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数，称 ∑n(x)=4(x)+42(x)+…+4n(x)+… n=1 为定义在区间I上的函数项级数， 对x0∈I,若常数项级数∑4，(xo)收敛，称x0为其收 n=1 敛，点，所有收敛点的全体称为其收敛域； 若常数项级数 ∑山n(x)发散，称x0为其发散点，所有 n=l 发散点的全体称为其发散域
一 、 函数项级数的概念 设 ∑ ∞ = = + + + + 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x " u x " 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 , 0x ∈ I 若常数项级数 ∑ ∞ =1 0 ( ) n n u x 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 ∑ ∞ =1 0 ( ) n n u x 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2,") n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数，并写成 和函数的定义域是收敛域 S(x)= 2州 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和，即 S,(x)=∑44(x) k=1 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim (x)=S(x),lim r(x)=0 n-→0
S(x) , 为级数的和函数 , 并写成 ( ) ( ) 1 S x u x n ∑ n ∞ = = 若用 S (x) n ( ) ( ) 1 S x u x n k n ∑ k = = 令余项 r (x) S(x) S (x) n = − n 则在收敛域上有 lim S (x) S(x) , n n = →∞ lim ( ) = 0 →∞ r x n n 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 和函数的定义域是收敛域
00 例如等比级数∑x”=1+x+x2+…+x”+… n=0 它的收敛域是(-1,1)，当x∈(-1,1)时，有和函数 含清 n=0 思考 级数 — 的收敛域是 (-0,+0 n
例如 等比级数 它的收敛域是 (−1,1 ) , ∑ = + + +"+ +" ∞ = n n n x x x x 2 0 1 x x n n − ∑ = ∞ = 1 1 0 思考 级数 4 1 sin n nx n ∞ = ∑ 的收敛域是 当x∈(−1,1 )时, 有和函数 (, ) −∞ +∞
二、幂级数及其收敛性 形如∑a(x-xo)”=a+a(x-x0)+a2(x-x)》2+ n=0 +an(x-o)”+ 的函数项级数称为幂级数，其中数列an(n=0,1,)称 为幂级数的系数 下面着重讨论x0=0的情形，即 a-w+ax+0x2++a.r+ n=0 倒如，事级改立”=x<1即是此种付形 n=0
二、幂级数及其收敛性 形如 ∑ ∞ = − 0 0 ( ) n n n a x x = + − + − + 2 0 1 0 2 0 a a ( x x ) a ( x x ) 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a ( n = 0,1," ) n 下面着重讨论 x 0 = 0 ∑ ∞ n = 0 n n a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + " + a n x n + " 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 < − ∑ = ∞ = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 " + a n ( x − x 0 ) n + " 称
定理1(Abel定理)若幂级数 ∑anx”在x=0点收敛， n=0 则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散 收敛发散 散 收O敛 发散x
收敛 发散 若幂级数 ∑ ∞ n=0 n n a x , 在x = x0 点收敛 则对满足不等式 0 x x 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 发 散 收 O 敛 发 散 x 定理1(Abel定理)
证设∑anx收敛，则必有1 im anx心=0，于是存在 n=0 1n-→o0 常数M>0,使 anx≤M(n=l,2,…) 看6's后 当x<时，∑M”收敛所以∑ax n=0 n=0 也收敛，故原幂级数绝对收敛 等比级数
证 设∑ ∞ =0 0 n n n a x lim 0, 0 = →∞ n n n 收敛, 则必有 a x ( 1, 2, ) an x0n ≤ M n = " 于是存在 常数 M > 0, 使 当 x < x0 时, ∑ ∞ n=0 0 n x x M 收敛, 所以 也收敛, 故原幂级数绝对收敛 . n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = ⋅ n x x M 0 ≤ ∑ ∞ n=0 n an x 等比级数
反之，若当x=x0时该幂级数发散，用反证法证明 假设有一点x,满足x>x且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点X。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真. 所以若当x=x0时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散
反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 , 用反证法证明. 假设有一点 1 x 1 0 x > x 0 x 满足不等式 0 x > x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾
定理1(Abel定理)若幂级数 a,x在=点收敛 n=0 则对满足不等式xxo的一切x,该幂级数也发散. 由Abel定理可以看出，∑anx”的收敛域是以原点为 n=0 中心的区间
定理1 (Abel定理) 若幂级数 ∑ ∞ n=0 n n a x , 在x = x0 点收敛 则对满足不等式 0 x x 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 由Abel 定理可以看出, ∑ ∞ n=0 n n a x 中心的区间. 的收敛域是以原点为
推论如果幂级数∑a,x"不是仅在点x=0一点收敛，也 不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数 R存在，使得 当x<R时，幂级数绝对收敛； 当x心R时，幂级数发散， 当x=R与=-R时，幂级数可能收敛也可能发散 注：±R是幂级数收敛与发散的分界点。 R称为收敛半径，(~R,R)称为收敛区间 (RR)加上收敛的端点称为收敛域收敛域有以下四种 情况： (-R,R),[-R,R),(-R,R],[-R,R]
推论 如果幂级数∑anxn不是仅在点x=0一点收敛, 也 不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数 R存在,使得 当|x|R时, 幂级数发散; 当x=R与x=−R时, 幂级数可能收敛也可能发散. 注： ±R 是幂级数收敛与发散的分界点. (-R, R)加上收敛的端点称为收敛域. 收敛域有以下四种 情况： R 称为收敛半径 ，(-R, R) 称为收敛区间. ( , ),[ , ),( , ],[ , ] −−−− R R RR RR RR