南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第五章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元法及分部积分法

第三节定积分的换元法及分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

第三节 定积分的换元法及分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

一、定积分的换元法 定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=o()满足条件： (1)p(t)在[a,B]上单调且具有连续的导数 (2)p(x)=a,p(B)=b 定积分的换元公式 则有∫fx)dx=∫2flo】o')dt 注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限； 2.不必变量还原

（1） ( )t 在 [ , ]   上单调且具有连续的导数 定理 1：设函数 f x( )在区间[ ] a b, 上连续，函数x t ( )满足条件: （2）    ( ) , ( )   a b 一、定积分的换元法 则有 ( ) [ ( )] ( ) b a f x dx f t t dt        定积分的换元公式 注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限； 2.不必变量还原

一、定积分的换元法 注记1：(1)求定积分时换元必换限.不必再返回到原来的变量， 直接往下计算并运用牛顿一莱布尼兹公式便可得到定积分的结果· (2)不换元时不换（上下）限 注记2：当B<a时，公式仍成立

一、定积分的换元法 注记 1：（1）求定积分时换元必换限. 不必再返回到原来的变量， （2） 不换元时不换(上下)限 直接往下计算并运用牛顿—莱布尼兹公式便可得到定积分的结果 . 注记 2：当  时，公式仍成立

例1计算Va2-x2dk(a>0) (对应第二类换元法) 解 a-xds =as acost- =cosd-号0+eos2nh si. 提示： a2-x2-a2-a2sin2t=acost,dx=acostdt. 当0时0，当xa时1-号

     2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t 解 例 1 计算  a a x dx 0 2 2 (a>0) 例1 提示： a x a a sin t acost 2 2 2 2 2 a x  a a sin t acost  dxacostdt  2 2 2 2 2      dxacostdt      2  0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a           2  0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a            2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t      2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t 当 x0 时 t0 当 xa 时 2  t  （对应第二类换元法）

例2 计算cos xsin xdx. (对应第一类换元法) 解臣cos xsinxx=-径cosdcosx sg-rah=可rdi=2r,=石 或径cos'xsin xd=-疗cos3 xdcosx =片co明=言os号+后ow0 6 提示 换元一定要换积分限，不换元积分限不变

例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0   例2  解 cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6       x  6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6       x  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0      或 提示： 当 x0 时 t1 当 2  x 时 t0 提示： 换元一定要换积分限不换元积分限不变 （对应第一类换元法）

例3计算sm2x--sin xd. 解 3 sinx-sinxd sincos -原smxcosxd-sn2 xcosx -原sn2dsmr-sn2dsmr 3 "π 提示： 3 sin3 x-sin3x=/sin3x(1-sin2x)=sin2 xlcosxl. 在0,1上clcos=cosx,在[吃，π上cos-cosx

解 例3 例 3 计算   0 3 5 sin x sin xdx  sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5       sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5              2 2 3 2 0 2 3 sin xcosxdx sin xcosxdx        2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 提示： sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x x  x  x  x x  在 ] 2 [0,  上|cos x|cos x 在 , ] 2 [   上|cos x|cos x

计点 21+2 解 +=得+-g华 楼泰w时A,当时包

提示： 解             3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 解 3 22 3)] 3 1 9) ( 3 27 [( 2 1 3 ] 3 1 [ 2 1 3 1 3  t  t       3 22 3)] 3 1 9) ( 3 27 [( 2 1 3 ] 3 1 [ 2 1 3 1 3  t  t       解             3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 解             3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 解             3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 2 1 2   t x  dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 2 1 2   t x  dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 例4 例 4 计算 dx x x   4  0 2 1 2 

例5证明：若fx)在-a,叫上连续且为偶函数，则 (dx=)dx 证明 因为，fa=。fak+6fxk, 而 0 fr)ds兰-0f-at -(-di=f(-x)dx =J"f(xdx 所以，“fx)d=20fax. 讨论： 若f孔x)在[-a,ad上连续且为奇函数，间fx)dx=?

证明 例5 证明: 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则     a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( )  证明 因为 f x dx f x dx f x dx a a a a ( ) ( ) ( ) 0 0         而             a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 而              a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令 而              a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令  而          a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令  讨论： 若 f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问    a a f (x)dx ？          a a a f x f x dx f x f x dx f x dx 0 0 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 ( )  0 ( ) a  f x dx 0  ( ) a   f x dx  ( ) a a f x dx  所以

例6若fx)在0,1上连续，证明 (I)f(sinx)d=原f(cosx)d; 2)(sn达=牙f(sinx)ds. 证明()令x=子1，则 [信fsnx=gsn受-0h =fsm(子-0h=S(cosxys

证明 例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明 (2)       0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  (1)    2 0 2 0 (sin ) (cos )   f x dx f x dx  证明 (1)令 x t 2   则 f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0             2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx  f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0             2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx 

例7设函数f(x)= xe-x2 x≥0 1 计算∫fx-2)dk. 1+cOSx 解设x-2=t,则 [f(x-2)dx-[(di -+eos4+ie'dh =tam吃-er6=tn2e+号 提示： 当=1时仁=-1，当x=4时仁2

提示： 解 设x2t 则             2 0 0 1 2 1 4 1 2 1 cos 1 ( 2) ( ) dt te dt t f x dx f t dt t 2 1 2 1 2 1 ] tan 2 1 ] [ 2 [tan 4 2 0 0 1 2         e e t t              2 0 0 1 2 1 4 1 2 1 cos 1 ( 2) ( ) dt te dt t f x dx f t dt t             2 0 0 1 2 1 4 1 2 1 cos 1 ( 2) ( ) dt te dt t f x dx f t dt t 2 1 2 1 2 1 ] tan 2 1 ] [ 2 [tan 4 2 0 0 1 2         e e t t  例7 例 7 设函数            1 0 1 cos 1 0 ( ) 2 x x xe x f x x  计算   4 1 f (x 2)dx  当x1时t1当x4时t2