南阳师范学院一数学与统计学院 (14) 三向量a,6,c共面的充要条件是(a×b)c=0 ( 《高等数学》第七章—一向量代数与空间解析几何 练习题—一王阳 (15)曲面上 年+子亏1与0平面的交线方程为广+之=16 () x=3 一、判断正误题（判新下列各题是否正确，正确的划√，情提的划X) (16)曲线 x2+y2+:=3 =1 在o面上的投影曲线的方程F+广=2 Ξ=0 (1)AB=-BA ( (2)AB=0台A=0台A与B重合台AB的方向任意. 二、选弄愿（将正确答素的序号填写在活号内） (3)零向量既与任意的向量垂直，又与任意的向量平行. ()+=问+成立的充要条件是（ (4)对任意的三点A,B,C,都有AB+BC=AC成立. A:向量a,6共线 B:向量a,6垂直 (5)对任意的三点A,B,C,都有AB-AC=CB成立. C:向量a=i或6=i D:向量a,6同方向 (2)下列结论错误的是() (6)a=0÷入=0或a=0. A:a+b=b+a. B:(a+b)+c=a+(6+e) (7)两向量的夹角既与两向量的模有关又与两向量的方向有关 ( C:a-B=a+(-B) D:a+0=a (8)在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x,八，)的充要条件是() E:a+)=2a+6 F:若ā=乃，则a,B一定同方向 OM=xi+万+k=(xy,) (3)与ā=(-2，-1,2)同方向的单位向量为( ) (9)设ā=(L,0,1),b=(x,八，），若ā=6，则x=:=1y=0. A:e=(-2.-l2) (引 (9)向量ā=(L0,1)的方向余弦为5 (10)直线子-名-与子名-的夹角为号 c-捐 -引 (11)a.a=a×. (4)对任意的向量ā，b,及任意的实数1，下列结论不一定正确的是( (12)i,)=ik三f.0 A:ab=ba B:(a+b)d=ac+bc (13)△4C的面积S=B×AG-BC×B=4xC司 c:(ab)=a6) D:ab=0=a⊥b E:- F:(ab=a 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第七章-——向量代数与空间解析几何 练习题——王阳 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1） AB BA . （ ） （2） AB AB A 0 0 与 B 重合 AB 的方向任意. （ ） （3） 零向量既与任意的向量垂直，又与任意的向量平行. （ ） （4） 对任意的三点 A B C , , ，都有 AB BC AC 成立. （ ） （5） 对任意的三点 A B C , , ，都有 AB AC CB 成立. （ ） （6） a 0 0 或 a 0 . （ ） （7） 两向量的夹角既与两向量的模有关又与两向量的方向有关. （ ） （8） 在空间直角坐标系中，点 M 的坐标为 ( , , ) x y z 的充要条件是 （ ） OM xi yj zk x y z , , . （9） 设 a b x y z 1,0,1 , , , , 若 a b , 则 x z y 1, 0 . （ ） （9） 向量 a 1,0,1 的方向余弦为 1 1 ,0, 2 2 . （ ） （10）直线 1 0 1 x y z 与 1 0 1 x y z 的夹角为 2 . （ ） （11） a a a a . （ ） （12） i j i k k j 0. （ ） （13） ABC 的面积 1 1 1 2 2 2 S AB AC BC BA CA CB （ ） （14） 三向量 a b c , , 共面的充要条件是 a b c 0 （ ） （15） 曲面 2 2 2 1 4 4 9 x y z 与 xoy 平面的交线方程为 2 2 16 3 y z x （ ） （16） 曲线 2 2 3 1 x y z z 在 xoy 面上的投影曲线的方程 2 2 2 0 x y z （ ） 二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） （1) a b a b 成立的充要条件是（ ） A：向量 a b, 共线 B：向量 a b, 垂直 C：向量 a 0 或 b 0 D：向量 a b, 同方向 （2）下列结论错误的是 （ ） A： a b b a . B： a b c a b c C： a b a b D： a a 0 E： a b a b F： 若 a b ，则 a b, 一定同方向 （3）与 a 2, 1,2 同方向的单位向量为（ ） A： e 2, 1,2 B： 2 1 2 , , 3 3 3 e C： 2 1 2 , , 333 e D： 2 1 2 , , 3 3 3 e （4）对任意的向量 a b c , , 及任意的实数 ，下列结论不一定正确的是（ ） A： ab ba B： a b c ac bc C： ab c a bc D： ab a b 0 E: ab a b F: 2 2 2 ab a b
南阳师范学院一数学与统计学院 (5)若ā×b+0,则下列结论不正确的是() (10)关于平面x:x一y-1=0,下列结论不正确的是() A:a×b⊥d,a×b⊥6 A:与=轴没有交点 B:与x轴的交点坐标为(L,0,0 B:a×b垂直于向量a,b所确定的平面 C不过原点： D:与平面：-1=0的交线方程为只==号 C:a×b的指向按右手规则从d转向b来确定 (11)空阃中，下列结论正确的是() D:axb =absin A:方程y产=：的图形为母线平行于x的抛物柱面 (6)对任意的向量ā，b,c及任意的实数1，下列结论不一定正确的是( ) B:方程上◆ 手+与=1的图形为母线平行于：的椭圆柱面 A:a×b=bxd B:(a+bxc=ā×c+bxE C:a×b=0-a‖b D:(a+b)×(a-b]=2(a×b 6:方程上4上 年+)1的图形为母线平行于y的双曲柱面 (7)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是( ) x=t 0:方程 [y=0 +片+：1的图形为椭球面 A:x轴的一般方程为 B:x轴的参数方程为 :=0 y=0 =0 E方程兰 专+年~)1的图形为单叶旋转双曲面 C轴的对称式方程为宁-名-后 D:以上结论都不正确 (12)空间中，下列结论不正确的是() (8)在空阃直角坐标系中，下列结论不正确的是( [x=0 4:方程 A:y轴的一般方程为=0 +后一的图形为稀圆抛物面 {5=0 B:y轴的参数方程为{y=1 (=0 B:方程 专6：的图形为双曲抛物面 C:y轴的一般方程为y=0 D)轴的对称式方程为后宁一后 (9)在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是( ) G方程上 46一。的图形双叶双曲面 x=0 A:轴的一般方程为：0 y=0 B::轴的参数方程为{y=0 D:方程x2+)2=4的图形为圆 :=t E:方程√F+丁=：的图形为圆锥面 C::轴的一般方程为：=0 D:轴的对称式方程为后名-月 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 （5）若 a b 0, 则下列结论不正确的是（ ） A： a b a a b b , B： a b 垂直于向量 a b, 所确定的平面 C： a b 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 D： a b a b a b sin , （6）对任意的向量 a b c , , 及任意的实数 ，下列结论不一定正确的是（ ） A： a b b a B： a b c a c b c C： a b a b 0 D： a b a b a b 2 （7） 在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A： x 轴的一般方程为 0 0 y z B： x 轴的参数方程为 0 0 x t y z C: x 轴的对称式方程为 1 0 0 x y z D: 以上结论都不正确 （8）在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是（ ） A： y 轴的一般方程为 0 0 x z B： y 轴的参数方程为 0 0 x y t z C: y 轴的一般方程为 y 0 D: y 轴的对称式方程为 010 x y z （9）在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是（ ） A： z 轴的一般方程为 0 0 x y B： z 轴的参数方程为 0 0 x y z t C: z 轴的一般方程为 z 0 D: z 轴的对称式方程为 0 0 1 x y z （10）关于平面 ： x y 1 0 ，下列结论不正确的是（ ） A：与 z 轴没有交点 B：与 x 轴的交点坐标为 (1,0,0) C 不过原点： D: 与平面 z 1 0 的交线方程为 1 1 1 1 0 x y z （11） 空间中，下列结论正确的是 （ ） A：方程 2 y z 的图形为母线平行于 x 的抛物柱面 B：方程 2 2 1 4 9 x z 的图形为母线平行于 z 的椭圆柱面 C：方程 2 2 1 4 9 x y 的图形为母线平行于 y 的双曲柱面 D：方程 2 2 2 1 9 4 x y z 的图形为椭球面 E: 方程 2 2 2 1 4 4 9 x y z 的图形为单叶旋转双曲面 （12） 空间中，下列结论不正确的是 （ ） A：方程 2 2 4 16 3 x y z 的图形为椭圆抛物面 B：方程 2 2 4 16 x y z 的图形为双曲抛物面 C：方程 2 2 2 1 4 16 9 x y z 的图形双叶双曲面 D： 方程 2 2 x y 4 的图形为圆 E：方程 2 2 x y z 的图形为圆锥面
南阳师范学院一数学与统计学院 (13)关于平面，下列说法错误的是( 13.若a=(L,-2,1),b=(Ll,-l),则a×i= A:与x轴平行的平面可设为+C+D=0(D≠0) 与ā，b都垂直的单位向量为 B:与y轴平行的平面可设为Ar+C:+D=0(D≠0) 14.已知三点4,1，，B(1,0,1,C1,1,0,则 C:与：轴平行的平面可设为r+B=0 (1)AB= .AC= D:与平面平行的平面可设为是x+D=0(D≠0) (2)AB.AC= ,cos∠A= ∠A E:与xOy平面平行的平面可设为：+D=0(D≠0) (3)ABxAC= ,因此△ABC的面积为 F:与x0:平面平行的平面可设为y+D=0(D二0) (4)取△4BC的所在平面的法向量n= ,从而△4BC的所在 三、填空魔（将正确答案填写在横线上） 平面的点法式方程为 ·整理得一般方程为 1,若a=(x,y,l),方=(L,2,)共线，则x= y=_ 2.若a=(x,2,1.b=(L,0,)垂直，则x= (5)取直线AB的方向向量i= ,从而直线AB的的对称式方 3曲面x2+y2+2=25与平面x=3的交线方程为 程 过D1,-1,1)并与直线AB的平行的直 4.平面x+2y-3:=6的截距式方程为 线L对称式方程为 ，参数方程为 5.x的平面上曲线，y2=2:绕：轴旋转一周产生的抛物面的 方程为 15设平面元1：x+y十z=-1,平面π：x-y+:=0,则 6直线品的时修式方为 ,参数 (1)平面，的法向量元= 一，平面的法向量元，= 式方程为 (2)故m与元，的对应坐标 比例，因此平面可，与平面可相交 7平面x+y=0与直线名-的夹角为 且交线L的一般方程为 = 是交线L的方向 8若问=4，a与轴u的夹角为经，则Pa=一 向量 ),方向向量方= 9.过点(6，-3,2)与平面4x-2y+:=8垂直的直线方程为 (8)直线=日=号这( (4)由于与方的对应坐标 成比例，且直线卫上点M,不满足直 10.过M0-山-)并与直线-=号垂直的平面方程为 线L的方程，故直线L与L'平行 12.点(2，L,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 第3页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 （13）关于平面，下列说法错误的是（ ） A：与 x 轴平行的平面可设为 By Cz D D 0 ( 0) B：与 y 轴平行的平面可设为 Ax Cz D D 0 ( 0) C：与 z 轴平行的平面可设为 Ax Bz 0 D：与 yoz 平面平行的平面可设为是 x D D 0 ( 0) E：与 xoy 平面平行的平面可设为 z D D 0 ( 0) F：与 xoz 平面平行的平面可设为 y D D 0 ( 0) 三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 a x y b ( , ,1), (1,2,1) 共线，则 x y . 2. 若 a x b ( ,2,1), (1,0,1) 垂直，则 x . 3 曲面 2 2 2 x y z 25 与平面 x 3 的交线方程为 . 4. 平面 x y z 2 3 6 的截距式方程为 . 5. xoy 的平面上曲线 2 y z 2 绕 z 轴旋转一周产生的抛物面的 方程为 . 6. 直线 1 2 3 4 x y z 的对称式方程为 ，参数 式方程为 . 7. 平面 x y 0 与直线 1 0 1 x y z 的夹角为 . 8. 若 a 4, a 与轴 u 的夹角为 , 3 则 Pr u j a . 9. 过点 (6, 3,2) 与平面 4 2 8 x y z 垂直的直线方程为__________. 10. 过 M(1, 1, 1) 并与直线 1 2 1 x y z 垂直的平面方程为__________. 12 . 点 (2,1,0) 到平面 3 4 5 0 x y z 的距离 d =______. 13. 若 a 1, 2,1，b 1,1, 1 ，则 a b =____________， a b =____________， 与 a b, 都垂直的单位向量为_______________________ 14. 已知三点 A B C (1,1,1), (1,0,1), (1,1,0), ，则 （1） AB =____________. AC =____________. （2） AB AC =____________，cos A ____________.， A ____________. （3） AB AC =____________，因此 ABC 的面积为____________ （4）取 ABC 的所在平面的法向量 n ____________，从而 ABC 的所在 平面的点法式方程为________________________， 整理得一般方程为 ________________________ （5）取直线 AB 的方向向量 s ____________，从而直线 AB 的的对称式方 程________________________，过 D(1, 1,1) 并与直线 AB 的平行的直 线 L 对 称 式 方 程 为 ________________________ ，参数方程为 ________________ 15 设平面 1 : 1 x y z ，平面 2 : 0 x y z ，则 （1）平面 1 的法向量 n1 ____________，平面 2 的法向量 n2 ________， （2）故 1 n 与 2 n 的对应坐标____________比例，因此平面 1 与平面 2 相交， 且交线 L 的一般方程为____________， s __________是交线 L 的方向 向量 （3）直线 1 : 1 0 1 x y z L 过 0 M ( ) ，方向向量 n ____________ （4）由于 s 与 n 的对应坐标__________成比例，且直线 L 上点 M0 不满足直 线 L 的方程，故直线 L 与 L 平行
南阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第七章一一向量代数与空间解析几何 二、单项选择题（将正确答案的序号填国在语母内，年小厘3分共18分） 自测题一王阳 (1)若M4=MM≠0，则下列结论不一定成立的是() 题号 三 四 五 总分 A:M,M,M3三点共线 B:M42×MM3=0 得分 C:MM.=2MM D:M4M与MM同方向 (2)给定a,6,c,及实数2，a=b成立的充要条件是() 一、判断题（判新下列各思是否正确，正响的划1，幢误的划×，每小愿2分，共20分） A:=bB:a.c=B.C:d+d=B+D:axe=bxe (I)若AB+BC=AC,则A,B,C三点一定共线. () (3)关于平面π：x-:=0,下列结论不正确的是() (2)对任意的向量a,b,都有aB=ā×i. A:过原点 B:与直线-.=三垂直 10-l (3)若x轴与平面红+B+CZ-1=0垂直，则A:B:C=1:0:0. () C:与y轴的夹角为艺 D.与平面y+:=0的夹角为 (④直宁台-内直仁的夫角为号 (4)空间中，下列结论错误的是() A:方程x2+y2=1的阁形是一个母线平行于：轴的圆柱面 (5)对任意的向量ā及实数2，都有ā×()=0」 B:方程2+9：2-1=0的图形是一个母线平行于y轴的椭圆柱面 (6)+-归-成立的充要条件是向量ā，B共线. C:方程2-2=1的图形是一个是一个母线平行于x轴的双曲柱面 (7) 对任意的向量a,B,都有位+)x位+)=0 ( D:方程，2=2x的图形是一个是抛物线 (8)(a×a+ba-b)=0. (5)(a+b)x(a-b)=() (9)空间中x2+y2+2=1的图形是一个球心在原点半径为1的球面.() A:0 B:2(Bxa C: D:0 10空间中，方程+：1的图形母线平行于：的圆柱面与母线平行于的 y2+2=1 (6)下列说法正确的是() 圆柱面的交线 () A:旋转抛物面：=2(x2+y2)）可以看做是xo:面上的抛物线：=2 绕：轴旋转一周产生的曲面 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第七章-——向量代数与空间解析几何 自测题——王阳 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×，每小题 2 分，共 20 分） （1） 若 AB BC AC ，则 A B C , , 三点一定共线． （ ） （2） 对任意的向量 a b, ，都有 a b a b . （ ） （3） 若 x 轴与平面 Ax By CZ 1 0 垂直，则 A B C : : 1:0:0 . （ ） （4） 直线 1 0 1 x y z 与直线 1 x y z 的夹角为 3 . （ ） （5） 对任意的向量 a 及实数 ，都有 0 a a . （ ） （6） a b a b 成立的充要条件是向量 a b, 共线. （ ） （7） 对任意的向量 a b, ，都有 0 a b a b . （ ） （8） a a b a b 0 . （ ） （9） 空间中 2 2 2 x y z 1 的图形是一个球心在原点半径为 1 的球面. （ ） （10） 空间中，方程 2 2 2 2 1 1 x y y z 的图形母线平行于 z 的圆柱面与母线平行于 x 的 圆柱面的交线 （ ） 二、单项选择题（将正确答案的序号填写在括号内，每小题 3 分共 18 分） （1）若 1 2 1 3 M M M M 0 ，则下列结论不一定成立的是 （ ） A： 1 2 3 M M M , , 三点共线 B： 1 2 1 3 M M M M 0 C： M M M M 1 2 1 3 D： M M1 2 与 M M1 3 同方向 （2)给定 a b c , , , 及实数 ，a b 成立的充要条件是（ ） A： a b B： a c b c C： a c b c D： a c b c （3）关于平面 ： x z 0 ，下列结论不正确的是（ ） A：过原点 B：与直线 1 1 0 1 x y z 垂直 C： 与 y 轴的夹角为 4 D: 与平面 y z 0 的夹角为 6 （4）空间中，下列结论错误的是（ ） A：方程 2 2 x y 1 的图形是一个母线平行于 z 轴的圆柱面 B：方程 2 2 x z 9 0 -1 的图形是一个母线平行于 y 轴的椭圆柱面 C：方程 2 2 y z 1 的图形是一个是一个母线平行于 x 轴的双曲柱面 D：方程 2 y x 2 的图形是一个是抛物线 （5） a b a b （ ） A： 0 B： 2b a C： 2 2 a b D： 0 （6）下列说法正确的是（ ） A：旋转抛物面 2 2 z x y 2 可以看做是 xoz 面上的抛物线 2 z x 2 绕 z 轴旋转一周产生的曲面
南阳师苑范学院一数学与统计学院 B:方程上 名与十无1的图形为旋转双画抛物面 (2)过点原点与平面π垂直的直线L的方程(5分) 五、证明愿（共16分） G:方程r上 一年~子1的图形单叶双曲面 已知40,0，).B1,0,0,C1,0,0), D:方程√+y产=：的图形为球面 (1)证明4，B,C不共线：(4分) E:方程x2-y2=:的图形为椭圆抛物面 (2)证明△4BC的面积为：(4分) 三、填空题（将正确答案填可在惯线上，每小愿3分，共21分） (3)证明∠A=牙(4分) 1.i-行+j+2)=」 (4)证明.△ABC直角三角形(4分) 2.若ā=(x,八-)与b=(L,0-l)共线，则x=一y=一 3.若a=(x,l)与6=L,0)垂直，则x+:=一· 4.若向量2a=(2,0,-2),则向量ā在x轴上的射影为」 5若直线子只子与平面少+10平行， 6.求过两点4L,0,0),B1,0,)的直线参数方程为 7.若a×b≠0，则与a,6都垂直的单位向量e= 四、计算题（共25分） 1,求过M几，0，)且与平面x+y+:+1=0平行的平面x的方程。(5分) 2已如直线过4内平面-少+1=0平标，同时汉与直线子片-号 垂直，求直线L的对称式方程(10分) 3.已知A1,0,1),BL,0,1,CL,0,0) (1)求A,B,C所确定的平面π的方程(5分) 第2页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 B：方程 2 2 2 1 36 9 36 x y z 的图形为旋转双曲抛物面 C：方程 2 2 2 1 4 4 y z x 的图形单叶双曲面 D：方程 2 2 x y z 的图形为球面 E: 方程 2 2 x y z 的图形为椭圆抛物面 三、填空题（将正确答案填写在横线上，每小题 3 分，共 21 分） 1. i i j k 2 2. 若 a x y ( , , 1) 与 b (1,0, 1) 共线，则 x y . 3. 若 a x z ( ,1, ) 与 b (1,0,1) 垂直，则 x z . 4. 若向量 2 2,0, 2 a ，则向量 a 在 x 轴上的射影为 . 5. 若直线 1 2 1 1 x y z k 与平面 x y z 1 0 平行， k . 6. 求过两点 A B (1,0,0), (1,0,1) 的直线参数方程为 . 7.若 a b 0, 则与 a b, 都垂直的单位向量 e . 四、计算题（共 25 分） 1. 求过 0 M (1,0,1) 且与平面 x y z 1 0 平行的平面 的方程. （5 分） 2. 已知直线 L 过 0 M (1,1,1) 与平面 x y 1 0 平行，同时又与直线 1 1 1 0 x y z 垂直，求直线 L 的对称式方程 （10 分） 3. 已知 A B C (1,0,1), (1,0,1), (1,0,0), （1）求 A B C , , 所确定的平面 的方程 （5 分） （2）过点原点与平面 垂直的直线 L 的方程（5 分） 五、证明题（共 16 分） 已知 A B C (0,0,1), (1,0,1), (1,0,0), （1） 证明 A B C , , 不共线；（4 分） （2） 证明 ABC 的面积为 1 2 ；（4 分） （3） 证明 4 A .（4 分） （4） 证明. ABC 直角三角形（4 分）
