南阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第四章—不定积分 (13)若，sin2x是c0sm在(-9，)上的一个原函数，则a=2. 练习题(A) 一、判断正误题（刺睛下列各愿是香正确，正确的划，帽横的划×） aa)jf因=nys+c. f(x) (15)设y=fx),若fx女=e+C.则y-y=0. 在区间（一。，+四）上一定有原函数 ( 0,x=0 二、填空题（特正确答秦填写在横线上） (2)「fxd=g(x)dh台fx)=g(x) () (1)下列结论错误的是() (3)若Fx)是函数fx)在区间1上一个原函数，则fx)=F(x): () A:一切初等函数在定义区间上都有原函数 (4)若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.() B:若F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数，则对任意常数C,F(x)+C也 是f(x)在区间I上的原函数 (5)若「fxk=F(x+C,则[f八u)d=Fm+C () C:若F(x)、G(x)均为f(x)在区间I上的原函数，则F(x)-G(x)一定是一 ()如果f),例x),x)都是连续函数，F()是f(u)的上一个原函数，则F(x》是 个常数. 函数f((x)p(x)的一个原函数. () B-9是-宁在(-20上的一个原高数 (7)存在这样的函数f(x),使得f(x)是它自身的一个原函数 () (2)若F(x)和G(x)分别是f(x)和g(x)在区间I上的原函数，则（ (8)arcsinx与-arccosx是同一个函数的原函数 () A:F(x)G(x)是f(x)g(x)在区间1上的一个原函数 9)若函数/与8在区间1上连线且/e)之8，则会/之g达 巴是因在区间1上的一个原函数 () G(x)g(x) 0)若/子·期= () C:Fx)士G(x)是fx)±g(x)在区间1上的一个原函数 （11)√-不是函数 产的个原品 () D:F(x)G(x)是f(x)G(x)+g(x)在区间I上的一个原函数 (3)若函数f(x)在区间1上连续，则() (12)若函数f八x)在区间I上连续，且∫f八x:=F(x)+C,则 A:y=∫f(x女在区间I上连续但不可导 Im=F()+C,∈) 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第四章-——不定积分 练习题（A） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1）函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 在区间(, ) −∞ +∞ 上一定有原函数. （ ） （2） f () () () () x dx g x dx f x g x = ⇔= ∫ ∫ . （） （3）若 F x( )是函数 f ( ) x 在区间 I 上一个原函数，则 f () () x dx F x = ∫ . （） （4）若函数 f ( ) x 在区间 I 上可导，则 f ( ) x 是 f ′( ) x 在区间 I 上的一个原函数. （ ） （5）若 f () () x dx F x C = + ∫ ，则 f () () u du F u C = + ∫ . （） （6）如果 f ( ) u ，ϕ( ) x ，ϕ′( ) x 都是连续函数，F u( )是 f ( ) u 的上一个原函数，则 F x ( ( )) ϕ 是 函数 f ( ( )) ( ) ϕ x x ϕ′ 的一个原函数. （ ） （7）存在这样的函数 f ( ) x ，使得 f ( ) x 是它自身的一个原函数. （ ） （8）arcsin x 与 −arccos x 是同一个函数的原函数. （ ） （9）若函数 f ( ) x 与 g x( ) 在区间 I 上连续且 f () () x gx ≥ ， 则 () () d d f x dx g x dx dx dx ≥ ∫ ∫ . （ ） （10）若 21 f x( ) x ′ = ，则 1 f x( ) x = . （） （11） 2 1− x 是函数 2 1 x − x 的一个原函数. （ ） （12）若函数 f ( ) x 在区间 I 上连续，且 f () () x dx F x C = + ∫ ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x dx F x C → = + ∫ ， 0 ( ) x ∈ I . （） （13）若 1 sin 2 2 x 是cos ax 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数，则 a = 2 . （） （14） ( ) ln ( ) ( ) f x dx f x C f x′ = + ∫ . （） （15）设 y = f x( ) ，若 ( ) x f x dx e C = + ∫ ，则 y y ′′ − = 0 . （） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） （1）下列结论错误的是（ ） A：一切初等函数在定义区间上都有原函数 B：若 F x( )是函数 f ( ) x 在区间 I 上的原函数，则对任意常数C ， Fx C ( ) + 也 是 f ( ) x 在区间 I 上的原函数 C：若 F x( ) 、G x( ) 均为 f ( ) x 在区间 I 上的原函数，则 Fx Gx () () − 一定是一 个常数. D： ln( ) −x 是 1 x − 在( , 0) −∞ 上的一个原函数. （2）若 F x( )和G x( ) 分别是 f ( ) x 和 g x( ) 在区间 I 上的原函数，则（ ） A： F x( ) G x( ) 是 f ( ) x g x( ) 在区间 I 上的一个原函数 B： ( ) ( ) F x G x 是 ( ) ( ) f x g x 在区间 I 上的一个原函数 C： F x( ) ± G x( ) 是 f ( ) x ± g x( ) 在区间 I 上的一个原函数 D： F x( ) G x( ) 是 2 f () () () xGx g x + 在区间 I 上的一个原函数 （3）若函数 f ( ) x 在区间 I 上连续，则（ ） A： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上连续但不可导
南阳师范学院一数学与统计学院 B:y=f八x)d在区间I上不连续 B:∫nh=F(lnx)+C C:y=∫f(x):在区间I上连续且可导 c:Jf(x)d=F(x)+C.(n>D) D:y=「fx在区间I上不可微 D:「f(e)e'=F(e)+C (4)下列等式中不成立的是( E:f(sinx)cosxdr=F(sinx)+C A:∫fxd=f)+C B:df(x)=f(x) F:f(cosx)sinxdx=-F(cosx)+C 孟=四 D:d[f(x)dx=f(x)dx (5)下列结论不正确的是《) (8)若函数fx)是连续函数，且[f(x)止=F(x)+C,则下列等式成立的是( A:cosx是sinr在(-，力)上的一个原函数 k∫aCh=F(cin)+C -x2 县如s对是mr在（仁受受上的一个原函数 cmx是十中子在四)上的一个原函数 ∫=Faa- 高品o>0,a2)是在（四）上的一个原属数 c∫码，=ea>aaz E:-sinx是cosx在(-,)上的一个原函数 ∫h=FE+c √x 《6下列插数中有-个不是)=的原函数，它是《） (9)下列等式不成立的是(：) A:coso(x)do(x)=sin(x)+C A:F(x)=ln-C(C为任意常数)B:F(x)=ln2x B.ferdo(x)=+C C:F(x)=ln+C(C为任意常数)D:F(x)=4ny c:Jsin(x)do(x)=-cos(x)+c E:Fx)=lnlC+1(C≠l,C≠0) (7)若函数f(x)是连续函数.且[f(x)d=F(x)+C,则下列等式不成立的是(） ja=lnp+d小c A:[f(ax+b)dk=F(ax+b)+C.(a0) 色%-nm 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 B： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上不连续 C： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上连续且可导 D： y = f x dx ( ) ∫ 在区间 I 上不可微 （4）下列等式中不成立的是（ ） A： f ′() () x dx f x C = + ∫ B： df x f x () () = ∫ C： () () d f x dx f x dx = ∫ D： d f x dx f x dx () () = ∫ （5）下列结论不正确的是 （ ） A： cos x 是sin x 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 B：ln cos x 是 tan x 在( ,) 2 2 π π − 上的一个原函数 C：arctan x 是 2 1 1+ x 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 D： , ( 0, 1) ln x a a a a > ≠ 是 x a 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 E：1 sin − x 是cos x 在( ,) −∞ ∞ 上的一个原函数 （6）下列函数中有一个不是 1 f x( ) x = 的原函数，它是（ ） A： Fx x C ( ) ln = − （C 为任意常数） B： Fx x ( ) ln 2 = C： Fx x C ( ) ln = + （C 为任意常数） D： Fx x ( ) 4ln = E： F x Cx ( ) ln 1 = + （C C ≠ ≠ 1, 0 ） （7）若函数 f ( ) x 是连续函数,且 f () () x dx F x C = + ∫ ，则下列等式不成立的是（ ） A： 1 f ax b dx F ax b C a ( ) ( ) , ( 0) a + = ++ ≠ ∫ B： (ln ) (ln ) f x dx F x C x = + ∫ C： 1 ( ) ( ) , ( 1) nn n f x x dx F x C n − = + > ∫ D： () () xx x f e e dx F e C = + ∫ E： f (sin ) cos (sin ) x xdx F x C = + ∫ F： f (cos ) sin (cos ) x xdx F x C = − + ∫ （8）若函数 f ( ) x 是连续函数， 且 f () () x dx F x C = + ∫ ，则下列等式成立的是（ ） A： 2 ( sin ) (arcsin ) 1 f arc x dx F x C x = + − ∫ B： 2 (arctan ) (arctan ) 1 1 f x dx F x x = − + ∫ C： ( ) ( ), ( 0, 1) ln x x x f a a dx F a a a a ∫ = >≠ D： ( ) ( ) f x dx F x C x ∫ = + （9）下列等式不成立的是（ ） A： cos ( ) ( ) sin ( ) ϕϕ ϕ x dx xC = + ∫ B： () () ( ) x x e dx e C ϕ ϕ ϕ = + ∫ C： sin ( ) ( ) cos ( ) ϕϕ ϕ x dx xC = − + ∫ D： 1 dx x a C ln x a = + + + ∫ E： 2( ) arctan ( ) 1 () d x x x ϕ ϕ ϕ = + ∫
南阳师范学院一数学与统计学院 (10)下列式子不成立的是() l5.若片/h=arctanx+C,则/)= B:[sec'xdx =tanx+C 1a若∫/女=+C,则h= C:[secutanudu=secu+C D:[escxcotxdx =esex+C 1.若f)=e,则ah= 三、选择题（将正确答来的序号填写在括号内） 18若d([fxh)=xed,则fnx)= L∫darctanx=】 19.若fx)=e,则「xf(x达=】 2语 20.若fx)=1+x,则fx)= 玉∫x+在= 高 四、计算题 sj 1.求下列不定积分 j= (1)fe'cosxds 产 ej wj达产 (6)[xd j拉= j会会o惮 2.一曲线y=(x)过点(L,)且在该曲线上任意点AM(x,y)的切线的斜率为2x,求曲线 的方程. a l.「1+sin2x+cos2xh= 12.fInxdr= 13.[xcosxd= 14.(sinxkr)'= 第3页共于页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 （10）下列式子不成立的是（ ） A： 2 1 arcsin 1 dx x C x = + − ∫ B： 2 sec tan xdx x C = + ∫ C： sec tan sec u udu u C = + ∫ D： csc cot csc x xdx x C = + ∫ 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. d x arctan = ∫ . 2. 2 2 1 x dx x = + ∫ . 3. 9 ( 1) x + = dx ∫ . 4. 2 ln dx x x = ∫ 5. cos 1 sin x dx x = − ∫ . 6. 2 sin 1 cos x dx x = + ∫ . 7. cos xdx x = ∫ . 8. 2 1 1 (1 ) dx x x + = ∫ . 9. 2 sec 1 tan x dx x = + ∫ . 10. 2 1 1 t t e dt e − = − ∫ . 11. (1 sin 2 cos 2 ) ++ = x x dx ∫ . 12. ln xdx = ∫ . 13. x cos xdx = ∫ . 14. ( sin ) xdx ′ = ∫ . 15.若 1 f ( ) arctan x dx x C x = + ∫ ，则 f ( ) x = . 16.若 2 f ( ) x dx x C = + ∫ ，则 2 xf x dx ( ) = ∫ . 17.若 2 ( ) x f x e− = ，则 f x (ln )dx x ′ = ∫ . 18.若 ( () ) x d f x dx xe dx = ∫ ，则 f (ln ) x = . 19.若 2 ( ) x f x e = ，则 xf x dx ( ) = ∫ . 20.若 f ′() 1 x x = + ，则 f ( ) x = . 四、计算题 1.求下列不定积分 （1） cos x e xdx ∫ （2） 1dx− x ∫ （3） x x dx e e− − ∫ （4） xarc xdx tan ∫ （5） 2 1dx− x ∫ （6） 2 x ln xdx ∫ （7） 2 2 dx x x − − ∫ （8） 2 2 2 xdx x x + + ∫ （9） xdx ∫ 2.一曲线 y = f x( ) 过点(1,1) 且在该曲线上任意点 M (, ) x y 的切线的斜率为 2x ，求曲线 的方程
南阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第四章一 不定积分 1.j巴=nl+C,(C为任意常数) () f( 练习题(B) 12.[(arcsinx+arccosxd=0. () 一、判断正误题（判断下列各愿是否正确，正确的划√，候横的划×） 13.若f(x)在区间I上连续，则函数族y=「f(x)中每个函数在定义区间内的任意 1.在(-，+o)上至少存在一个函数F(x)使得F(x)= x x￥0 其中实数p>0. 闭区间上必有最值. () 0,x=0 () 14.若fxk=F(x)+C,则f(u)d=F(m)+C () 2.若fx)在区间I上连续，则[f(x)止是f(x)在区间1上的一个原函数 () 15.若「dF(x)=「dG(x),则F(x)=Gx) () 3.若fx)连续，则y=「fx)必可微 () 二、选择题（将正确答案的序号填写在指号内） 生若f在区间I上连线，且∈I,则m∫fx达=∫f,达. () 1.下列结论正确的是《) A:F(x)=sgnx必是某一连续函数在(-D,+o)上的原函数 5.若F(x)和G(x)分别是函数fx)与g(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)G(x) B:F(x)=sin必是某一连续函数在(-n,+o)上的原函数 必是f(x)g(x)在区间I上的一个原函数 () 6.函数F(x)和G(x)都是f(x)的原函数的充要条件是F(x)=G(x) () C:F)=r必是某一连函数在(-，四)上的原函数 7.若函数f)在区间1上连续且)>0（或f八）<0)，则函数族y=∫fxd中每 x'sin D:F(x)= 工0必是装一连续函数在(~西，+四)上的原函数 0 x=0 一个函数无极值， () 8.若函数fx)单调可导，则尚线族y=「f(x)k无拐点 () 2.函数族y=sin2xdk中过点 区.0的函数的极大值为() 9.若函数F(x)是f(x)的一个原函数，x)可导，则F(x)是f(x)的一个原函数. A:-1 B:1 C:? () 3.下列结论正确的是(） 10.设(x)单调可导，p'(x)≠0，若F(x)是f((x)p'(x)的原函数，则F(p-x》是 A:奇函数的原函数必是偶函数 B:偶函数的原函数必是奇函数 f(x)的原函数. () C:周期函数的原函数必是周期函数D:单调函数的原函数必是单调函致 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 ( , 《高等数学》第四章-——不定积分 练习题（B） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1.在 ) 上至少存在一个函数 使得 F x( ) 1 sin , 0 ( ) 0, 0 p x x F x x x ，其中实数 . （ ） p 0 2. 若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f ( ) x dx 是 f ( ) x 在区间 I 上的一个原函数. （ ） 3. 若 f ( ) x 连续，则 y f x dx ( ) ) 必可微. （ ） 4. 若 f (x 在区间 I 上连续，且 0 x I ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x dx f x dx ) G x ( ) . （ ） 5. 若 F x( 和 分别是函数 ( ) f x 与 在区间 g x( ) I 上的一个原函数，则 F xGx () ( ) 必是 f ()( x g x) 在区间 I 上的一个原函数. （ ） 6. 函数 F x( () () )和 都是 G x f x Fx Gx () () ( ) 的原函数的充要条件是 . （ ） 7. 若函数 f x 在区间 I 上连续且 （或 f x() 0 f x( ) 0），则函数族 y f x dx ( ) ( ) 中每 一个函数无极值. （ ） 8. 若函数 f x 单调可导，则曲线族 y f x dx ( ) 无拐点. （ ） 9. 若函数 F x( ( )是 f x) 的一个原函数，( ) x 可导，则 F x (() ) 是 f (() x )的一个原函数. （ ） 10.设(x) 单调可导，( ) x 0，若 F x( )是 f ( ( )) x (x) 的原函数，则 )) 是 1 F x ( ( f ( ) x 的原函数. （ ） ( ) ln ( ) , ( ( ) f x dx f x C C f x (arcsin arccos ) 0 x x dx 11. 为任意常数）. （ ） 12. . （ ） 13. 若 f ( ) x 在区间 I 上连续，则函数族 y f x dx ( ) 中 () () 每个函数在定义区间内的任意 闭区间上必有最值. （ ） 14. 若 f x dx F x C ，则 f () () u du F u C . （ ） dF x dG x () () 15. 若 ，则 Fx Gx () () . （ ） 二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 下列结论正确的是（ ） A： Fx x ( ) sgn 必是某一连续函数在( , ) 上的原函数 B： Fx x ( ) sin 必是某一连续函数在( , ) 上的原函数 C： 1 3 Fx x ( ) 必是某一连续函数在( , ) 上的原函数 D： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x F x x x ( , sin 2 必是某一连续函数在 ) 上的原函数 2. 函数族 y xdx 中过点 ,0 4 1 的函数的极大值为（ ） A： B： C： 1 1 2 D： 1 2 3. 下列结论正确的是（ ） A：奇函数的原函数必是偶函数 B：偶函数的原函数必是奇函数 C：周期函数的原函数必是周期函数 D：单调函数的原函数必是单调函数
南阳师范学院一数学与统计学院 ?.若可h=r心sm5+C,则下列式子做立的是() 4下列式子成立的是() √x A:「e“du=en+C, B本nnr Aj/k=cm+C C:[Inxd=xnx-x :∫hk=n'x+C B:「efek=arcsine'+C E:「cosp(x)dpr)=sino(x)-l(其中C为常数) C:f(sin x)cosxdr arcsin(sinx)+C 5.若[fx)d=xarctan x+C,则[f(tanx)sec2xrd=( D.feinaresin(arcsin )+C - A:xtanx+C B:xarctanx+C 10.若函数F(x)是f八x)的原函数，则fx)d=( C:xtan'x+C D:xarctanx+C A:F(x)+C B:f(x)+C C:xF(x)+C D:f(x)-F(x)+C 6.若anar是sec2x的原函数，则a=() 三、填空题（将正确答来填写在横线上） A:2 B:-I C:-2D:1 五若可/=+C,则片付达=) 1 A B:-Le7+C 2.disind= C.e 3 8.若fx)可导，则下列等式不成立的是() 4j品 3.j(amx+cotx)d=】 j/2r+3d=x+3+c ∫fd=与f)+C 6j-在= ca)c 7.∫xnl+xd= 8.若f(sinx)d=sinx+x+C,则fx)= D:[f(secx)tan xsec xdr=fx)+C(其中C为常数) 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 ( ) arcsin f x dx x C x 4.下列式子成立的是（ ） 第 2 页 共 3 页 u 1 u e A： B： u 1 e d C, 2 cos arctan sin 1 sin x dx x ln x 1 C： ln xdx x x x D： 2 ln ln x dx x C x E： cos ( ) x d ( ) ( ) 1 x x （其中 为常数） C sin 5. 若 f ( ) x dx arctan x 2 x C ，则 f (tan )sec x xdx tan （ ） A： x x C B： x arctan x C C： 2 x tan x C 2 D： x arctan x C 6. 若 tan ax 是sec2 x 的原函数，则 a （ ） A： B： C： 2 1 2 D：1 7. 若 2 x f ( ) x d x xe C ，则 21 1 f ( )dx x x （ ） A： 2 1 1 x e x B： 2 1 1 x e C x C： 2 1 1 x e x D： 2 1 1 x e C x 8. 若 f ( ) x 可导，则下列等式不成立的是（ ） A： 1 (2 3) 2 f (2 3) x dx f x C B： 2 2 ( ) 1 ( ) 2 xf x dx fx C C： 2 (arctan ) 1 f x dx x f x C (arctan ) D： f (sec ) tan sec x x ( ) 9. 若 ，则下列式子成立的是（ ） x fx dx C （其中 为常数） C A： 1 ( ) arcsin 2 f x dx x C ( ) arcsin x x x e f e dx e C B： f (sin )cos arcsin(sin ) x xdx x C C： D： 2 (arcsin ) arcsin(arcsin ) 1 f x dx x C x 10. 若函数 F x( )是 f ( ) x 的原函数，则 xf x dx ( ) （ ） A： Fx C ( ) B： xfx C ( ) C： xFx C ( ) D： xf x Fx C () () 三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 2 2 x d e dx dx _ _ 2 d x dx sin 2. 3. 2 3 2 3 2 1 x x dx x x 4. 2 1 x x e dx e . (tan cot ) x x dx 5. 6. x 1 dx 7. x ln(1 ) x dx 8. 若 f (sin ) sin x dx x x C ，则 f ( ) x
南阳师范学院一数学与统计学院 又若f)=则达= 3.己知f'(e)=l+e,f0)=1,求fx)及「fx a制ohn4C.到可问点 4.设曲线y=fx)过点(0,0)，其上任一点M(x,y)的法线斜率为1+x2,求此曲线的 1.若fx:=(r2-3+C,则fx)在上最大值点是 方程 最小值点是 五、证明题 12.若「f(x)d=xn+C,则f(x)的单增区间为 1若r是血的-个原函致，证明e产是)的一个原函数 单诚区间为 2.若x广是f(x)的一个原函数.证明「f(x)d=x0+lnx)-r产+C 四、计算题 1.求下列不定积分 (1)「e(sinx+cosx)d 2)∫N 高 wj （s)arctnx ds 1+x2 oj在 w点 o (10)JeFd 2-+1x0 第3页共3页
4. 设曲线 y fx ( ) 过点 ，其上任一点 (0,0) M (, ) x y 的法线斜率为 2 1 x ，求此曲线的 方程. 2. 若 x x 是 f ( ) x 的一个原函数，证明 1 ( ) (1 ln ) x x xf x dx x x x C x 是 f (ln ) x x 的一个原函数，证明 x e 是 f ( ) x 的一个原函数 3. 已知 2 ( ) 1 , (0) 1 x x fe e f ，求 f ( ) x 及 f ( ) x dx . 五、证明题 南阳师范学院—数学与统计学院 1. 若 第 3 页 共 3 页 12. 若 f ( ) ln x dx x x C ，则 f ( ) x 的单增区间为 ， 11. 若 2 2 f () 3 x dx x C ，则 f ( ) x 在上最大值点是 ， 10. 若 xf x dx x C ( ) arccos ，则 21( ) dx f x 9. 若 2 1 f x( ) x ，则 f ( ) x dx 最小值点是 单减区间为 （7） 1 sin dx x （8） 2 2 2 2 2 x dx x x （1） (sin cos ) （2） x e x x dx 2 1 x dx （3） 1 dx x （4） 2 2 1 (1 ) dx x x （5） 2 2 tan 1 x arc x dx x （6） arctan x x e dx e （9） 2 1 dx x x （10） x e dx 2. 求函数 2 1 0 2 () 1 0 0 x x x x fx x e x 的原函数 F x( ) . 1. 求下列不定积分 四、计算题
南阳师范学院一数学与统计学院 二·单项选择题（在每小题的备速答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在 《高等数学》第四章— 不定积分 题干上的括号内.每小题2分，共10分) 1.若函数fx)在区间1上连续，则下列结论不正确的是() 自测题(A) A:「fx)h是fx)在区间I上的一个原函数 题号 五总分 得分 B:「f(x)体连续但不可导 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划，错误的划×，每小题2分，共20分） C∫fx)达连线且可微 I.存在无数多个导数都是fx)= 如子0的函数。 D:fx)在区间I上的任意两个原函数最多相差一个常数项 () 0, x=0 2若=子则=《） 2.函数f(x)=一定可以作为某函数在(-，+)上的原函数 () A:-c 3.若F(x)是连续函数在区间I上的原函数，则F(sinx)必是f八sinx)cosx在区间I上 c D:+C(其中C为指数) 的原函数 () 3.若fx)连续且j/xd=Fx)+C,则jefe)d=(） 4.[(arcsinx+arccosx)'dr=0. () A:F(e"+C) B:F(x)+C 5.若∫dFx)=∫aG,则F=Gx): () C:F(e)+C D:F(u)+C 6.若函数fx)在区间1上可导，则fx)达=f. () 4.若fxh=xe+C,则[xfnr)d=(） 7.曲线族y=了e本中每条曲线在(-∞，o)内都是凸的. () A:xe*+C B:Inx+C 8.f(tanx)sec'xdx=F(tanx)+C,f(x)dx=F(x)+C. () C:Inxe+C D:xinx+C 9.若函数fx)具有连续的导函数，则「'(x)k=f(x) () 5.若「u(x(x)=F(x)+C,则下列等式不成立的是() 10若f与8)在区1上连线，且/之8，则去e恤之云利gd) A:∫u(xrxd=F)+C B「r)rt)d=Fu)+C () C:u(sinx)dv(sinx)=F(sinx)+C D:v(x)du(x)=u(x)(x)-F(x)+C E:duxhv'(x)dx=(xh'(x) 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第四章-——不定积分 自测题（A） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 20 分） 1. 存在无数多个导数都是 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 的函数. （ ） 2. 函数 f ( ) x x = 一定可以作为某函数在(, ) −∞ +∞ 上的原函数. （ ） 3. 若F( ) x 是连续函数在区间I 上的原函数，则F(sin ) x 必是 f (sin ) cos x x 在区间I 上 的原函数. （ ） 4. (arcsin arccos ) 0 x x dx + = ′ ∫ . （） 5. 若 dF x dG x () () = ∫ ∫ ，则 Fx Gx () () = . （） 6. 若函数 f ( ) x 在区间I 上可导，则 f ′() () x dx f x = ∫ . （） 7. 曲线族 2 x y e dx − = ∫ 中每条曲线在(, ) −∞ +∞ 内都是凸的. （ ） 8. 若 2 f (tan ) sec (tan ) x xdx F x C = + ∫ ，则 f () () x dx F x C = + ∫ . （） 9. 若函数 f ( ) x 具有连续的导函数，则 f ′() () x dx f x = ∫ . （ ） 10. 若 f ( ) x 与 g x( ) 在区间I 上连续，且 f () () x gx ≥ ，则 ( () ) ( () ) d d f x dx g x dx dx dx ≥ ∫ ∫ （ ） 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在 题干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 1. 若函数 f ( ) x 在区间 I 上连续，则下列结论不正确的是（ ） A： f ( ) x dx ∫ 是 f ( ) x 在区间 I 上的一个原函数 B： f ( ) x dx ∫ 连续但不可导 C： f ( ) x dx ∫ 连续且可微 D： f ( ) x 在区间 I 上的任意两个原函数最多相差一个常数项 2. 若 21 f x( ) x ′ = ，则 f ( ) x =（ ） A： 1 C x − + B： 1 1 x − + C： 1 1 x + D： 1 C x + （其中C 为常数） 3. 若 f ( ) x 连续且 f () = () x dx F x C+ ∫ ，则 ( ) x x e f e dx = ∫ （ ） A： ( ) x Fe C+ B： Fx C ( ) + C： ( )x Fe C+ D： Fu C ( ) + 4. 若 ( ) x f x dx xe C = + ∫ ，则 1 x f x dx (ln ) − = ∫ （ ） A： x xe C+ B：ln x +C C：ln C x xe + D： x ln x C+ 5. 若 u x dv x F x C () () () = + ∫ ，则下列等式不成立的是（ ） A： u x v x dx F x C () () () ′ = + ∫ B： u t v t dt F t C () () () ′ = + ∫ C： u x dv x F x C (sin ) (sin ) (sin ) = + ∫ D： v x du x u x v x F x C () () ()() () = −+ ∫ E：d u x v x dx u x v x () () () () ′ = ′ ∫
南阳师范学院一数学与统计学院 三，填空题（将正确答案填写在空格上，每小愿2分，共16分） )片n女 6)j 2.求函数fx)=maxx,的原函数F(x).(6分) 2.「xe=」 3.已知∫fx)d=e+C,求∫fcn型h.(4分) 3.[(e'+tan'd= 1+x2 4.已知曲线y=f八x)过点，0)且在该曲线上任意一点M(x,y)的切线的斜率 4.∫2= 为2x,求曲线的方程.(4分) 5.∫W= 五.证明题（共10分） &腰 1 1.若y=「ek,证明y-2=0.(4分) 12+2x+2 2.若「x2fx)k=arctanx+C,证明 &若e达=e+C,则) 1。+J-arctan+C.(6分） ∫h=+可 四.计算题（共44分） 1.求下列不定积分（每小题5分，共30分） (1)Je'sinxds 2)j2-2h (3)「x2nxd 0罗 第2页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 16 分） 1. 2 sin d x dx dx = ∫ . 2. 2 x xe dx = ∫ . 3. 2 ( tan ) x e x dx + = ∫ . 4. 2x dx = ∫ . 5. x x dx = ∫ . 6. 2 arcsin 1 x dx x = − ∫ . 7. 2 12 2 dx x x = + + ∫ . 8. 若 1 ( ) x f x dx e C x = + ∫ ，则df x( ) = . 四．计算题（共 44 分） 1. 求下列不定积分（每小题 5 分，共 30 分） （1） sin x e xdx ∫ （2） 2 2 x dx x x − − ∫ （3） 2 x ln xdx ∫ （4） arctan x dx x ∫ （5） 2 21 1 sin dx x x ∫ （6） 1 x x dx e e− − ∫ 2. 求函数 f ( ) max{ ,1} x x = 的原函数 F x( ) .（6 分） 3. 已知 ( ) x f x dx e C − = + ∫ ，求 2 (arctan ) 1 f x dx x ′ + ∫ .（4 分） 4. 已知曲线 y = f x( ) 过点(1, 0) 且在该曲线上任意一点M (, ) x y 的切线的斜率 为2x ，求曲线的方程.（4 分） 五．证明题（共 10 分） 1. 若 2 x y e dx = ∫ ，证明 y xy ′′ ′ − 2 0 = .（4 分） 2. 若 2 x f x dx x C ( ) arctan = + ∫ ，证明 2 1 1 ( ) arctan (1 ) xf x dx x C xx x ′ = +− + + ∫ .（6 分）
南阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第四章 不定积分 二。单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题 自测题(B) 干上的话号内.每小题2分，共10分) 题号 二 五总分 1.下列函数中可以作为某些函数在(-，+)上的原函数的是() 得分 A:F(x)=sinx B:F=手 一判断题（判断下列各题是否正确，正确的划，错误的划×，每小题2分，共24分） C:F(x)=sgnx D:F(x)= 'sin I x0 sinx ,x>0 0,x=0 .函数fx) x=0在(-中，+)上有无数多个原函数 () x0。 () C:Inx+In2x D:nx+n 10.函数族y=「e中每个函数在(-，+)内都是单调递增 () 5.若d=kn2x+C,则k=(） A:1 B:-1 C:2D:3 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第四章-——不定积分 自测题（B） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） 1. 函数 sin , 0 ( ) 1, 0 , 0 x x x x fx x e x ⎧ > ⎪⎪ = = ⎨⎪ . （） 10. 函数族 2 x y = e dx ∫ 中每个函数在(, ) −∞ +∞ 内都是单调递增. （ ） 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题 干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 1. 下列函数中可以作为某些函数在(, ) −∞ +∞ 上的原函数的是（ ） A： Fx x ( ) sin = B： 2 3 Fx x ( ) = C： Fx x ( ) sgn = D： 3 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x F x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 2. 若 x ln x 是函数 f ( ) x 的一个原函数，则 ( ) x x e f e dx = ∫ （ ） A： x xe B： 1 x xe + C： 1 x xe − D： x xe C+ （其中C 为常数） 3. 若 ( ) arctan f x dx x C x = + ∫ ，则 f ( ) x =（ ） A： 1 1+ x B： 1 1+ x C： ( ) 2 1 2 1+ x D： ( ) 1 2 1+ x 4. 若 f ( ) x 的导数是 ln x x ，则 xf x ′′( )有一个原函数为（ ） A：ln x B： 1 2 ln ln 2 x − x C： 2 ln ln x + x D： 1 2 ln ln 2 x + x 5. 若 1 dx k x C ln 2 x = + ∫ ，则k =（ ） A：1 B：−1 C：2 D：3
南阳师范学院一数学与统计学院 三.填空题（将正确答案填写在空格上，每小题2分，共14分） (4)∫h-+) 1.若f(x)=e,且f0)=1,则fx)= (6 2京k=一 (6)4 3.若F'(x)=fx),则fx+I达= m点 4若∫四=scmx+C,则re= 1 8》jF+ 2.求函数fx)=max{x,的原函数F(x).(5分) 3.求函数族=s2达中过点（行0的函数的极值.《6分） 元j2s 五.证明题（每小题7分，共14分） 四.计算题(42分) 上设-小mh,证明：人-方nx4”片 1.求下列不定积分（每小题4分） 2若是f)的一个原函数，证明：∫yh=6sx-2sn+C (2)「sin2xcos3xdk (3)+ 第2页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 14 分） 1. 若 () , x f ′ x xe = 且 f (0) 1 = ，则 f ( ) x = . 2. 2 1 1 dx x = − ∫ . 3. 若 Fx fx ′() () = ，则 f ( 1) x dx + = ∫ . 4. 若 ( ) arctan f x dx x C x = + ∫ ，则 f ′( ) x dx = ∫ . 5. 1 1 dx x = − ∫ . 6. 2 arcsin 1 x dx x = − ∫ . 7. 2 14 5 dx x x = + + ∫ . 四．计算题（42 分） 1. 求下列不定积分（每小题 4 分） （1） 9 4 10 5 10 11 2 1 x x dx x x + + + ∫ （2） 2 5 sin cos x xdx ∫ （3） 3 1 dx x + x ∫ （4） ( ) 2 ln 1 x − + x dx ∫ （5） 2 tan 1 cosx dx x+ ∫ （6） 2 arctan x dx x ∫ （7） 1 sin dx − x ∫ （8） ( ) 2 2 1 1 4 dx x x + ∫ 2. 求函数 f ( ) max{ ,1} x x = 的原函数 F x( ) .（5 分） 3. 求函数族 y = cos 2xdx ∫ 中过点 , 0 4 ⎛ ⎞ π⎜ ⎟ ⎝ ⎠的函数的极值.（5 分） 五．证明题（每小题 7 分，共 14 分） 1. 设 sinn n I = xdx ∫ ，证明： 1 2 1 1 sin cos n n n n I xx I n n − − − =− + . 2. 若 sin x x 是 f ( ) x 的一个原函数，证明： 2sin ( ) cos x xf x dx x C x ′ =− + ∫