南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第十章 重积分

第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学{曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重积分

第一节二重积分的概念与性质 一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义 二重积分的概念与性质

一、引例 z=f(x,y) 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体： 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于Z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “分割，近似代替，求和，取极限

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z  f yx  0),( 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，近似代替，求和，取极限” D z  f yx ),(

1)分割” 用任意曲线网分D为n个区域 z=f(x,y) △o1,△022，△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5k, 小曲顶柱体 D 2)近似代替” (5k,7k)△0A 在每个△ok中任取一点(5k,Ik),则 △V≈f(5,nk)△ok(k=1,2,…,n) 3)“求和” -2-26w k=I

D z  f yx ),( 1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域     n ,,, 21  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“近似代替” 在每个  k ,),( k k 3)“求和”    n k V Vk 1     n k kkk f 1 ),(  ),( k k f   V f k n),,2,1(),( k   k k  k   中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , )  k k

4)“取极限” 定义△o的直径为 (△ok)=max{BDB,L2∈△ok} 令1=max{2(Aok)} 1≤k≤n z=f(x,y) V=lm∑f5A,a)△cx 元→0k=1 f(Ek (5,7R

4)“取极限” 定义 k 的直径为   k  max)(  ,PPPP 2121  k 令  )(max  1 k k n            n k kkk V f 1 0 ),(lim   z  f yx ),( ),( k k f    k ( , )  k k

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有区域D,其面密 度为(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)三u(常数)，设D的面积为o,则 M=u·o y 若4(x,y)非常数，用 “分割，近似代替，求和，取极限” 解决 1)分割 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,…,△on, 相应把薄片也分为小区域

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 x y C,),( 计算该薄片的质量 M . 若 yx   常数),(),( 设D 的面积为 , 则 M    若  x y),( 非常数 , 用 其面密 “分割，近似代替，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 ,,,,   21   n 相应把薄片也分为小区域 . D y x

2)近似代替” 在每个△ok中任取一点(5k,7k),则第k小块的质量 AMk≈I(5,nk)△ok(k=1,2,…,n) 3)“求和” y M=AMμ（⑤，k)△a k=1 k=1 4)“取极限” 令1=max{(△ok)} (5k,7k)△o飞 l≤k≤n M=1im∑(5x,nk)Aok 元→0k=1

2)“近似代替” 在每个 k 中任取一点 ),,( k  k 3)“求和”    n k MM k 1     n k kkk 1 ),(  4)“取极限”  )(max  1 k k n      令      n k M kkk 1 0 ),(lim    k ),( k k M k n),,2,1(),(  k    k k  k   则第 k 小块的质量 y x

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 “大化小，常代变，近似和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： V-lim∑f5x,)△o& 元→0k=1 平面薄片的质量： M=Iim∑4(5k,7k)△ok 元-→0k=1

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”      n k kkk V f 1 0 ),(lim        n k M kkk 1 0 ),(lim   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:

二、二重积分的定义及可积性 定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域△ok(k=1,2,…,nm), 任取一点(5k,)∈△ok,若存在一个常数I,使 1=15,)o2作 九-→0 川nfx,)do k=1 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 da x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素

二、二重积分的定义及可积性 定义 : 设 f x y),( 将区域 D 任意分成 n 个小区域 k n),,,2,1(   k   任取一点 ,),( k k    k 若存在一个常数 I , 使      n k kkk fI 1 0 ),(lim   则称 yxf ),( 可积 ,   D yxf d),(  为称 yxfI ),( 在 D上的二重积分. , yx 称为积分变量 积分和  D yxf d),(  积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数

如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ok=△xk△yk,因此面积元素do也常 记作dxdy,二重积分记作 f(x.)dxdy 引例1中曲顶柱体体积： v=f(x.y)do=pf(x.y)dxdy 引例2中平面薄板的质量： M=u(x.y)do=u(x.y)dxdy

  D yxfV d),(  引例1中曲顶柱体体积:   D M yx d),(  引例2中平面薄板的质量: 如果 f x y),( 在D上可积, d 也常 x y,dd 二重积分记作 .dd),( D yxyxf , k k k 分区域D , 这时   x y 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作   D dd),( yxyxf   D  dd),( yxyx