第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学{曲线积分 曲面积分
第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重积分
第一节二重积分的概念与性质 一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质
三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义 二重积分的概念与性质
一、引例 z=f(x,y) 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体： 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于Z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “分割，近似代替，求和，取极限
解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z f yx 0),( 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，近似代替，求和，取极限” D z f yx ),(
1)分割” 用任意曲线网分D为n个区域 z=f(x,y) △o1,△022，△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5k, 小曲顶柱体 D 2)近似代替” (5k,7k)△0A 在每个△ok中任取一点(5k,Ik),则 △V≈f(5,nk)△ok(k=1,2,…,n) 3)“求和” -2-26w k=I
D z f yx ),( 1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域 n ,,, 21 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“近似代替” 在每个 k ,),( k k 3)“求和” n k V Vk 1 n k kkk f 1 ),( ),( k k f V f k n),,2,1(),( k k k k 中任取一点 则 小曲顶柱体 k ( , ) k k
4)“取极限” 定义△o的直径为 (△ok)=max{BDB,L2∈△ok} 令1=max{2(Aok)} 1≤k≤n z=f(x,y) V=lm∑f5A,a)△cx 元→0k=1 f(Ek (5,7R
4)“取极限” 定义 k 的直径为 k max)( ,PPPP 2121 k 令 )(max 1 k k n n k kkk V f 1 0 ),(lim z f yx ),( ),( k k f k ( , ) k k
2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有区域D,其面密 度为(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)三u(常数)，设D的面积为o,则 M=u·o y 若4(x,y)非常数，用 “分割，近似代替，求和，取极限” 解决 1)分割 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,…,△on, 相应把薄片也分为小区域
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 x y C,),( 计算该薄片的质量 M . 若 yx 常数),(),( 设D 的面积为 , 则 M 若 x y),( 非常数 , 用 其面密 “分割，近似代替，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 ,,,, 21 n 相应把薄片也分为小区域 . D y x
2)近似代替” 在每个△ok中任取一点(5k,7k),则第k小块的质量 AMk≈I(5,nk)△ok(k=1,2,…,n) 3)“求和” y M=AMμ（⑤，k)△a k=1 k=1 4)“取极限” 令1=max{(△ok)} (5k,7k)△o飞 l≤k≤n M=1im∑(5x,nk)Aok 元→0k=1
2)“近似代替” 在每个 k 中任取一点 ),,( k k 3)“求和” n k MM k 1 n k kkk 1 ),( 4)“取极限” )(max 1 k k n 令 n k M kkk 1 0 ),(lim k ),( k k M k n),,2,1(),( k k k k 则第 k 小块的质量 y x
两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 “大化小，常代变，近似和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： V-lim∑f5x,)△o& 元→0k=1 平面薄片的质量： M=Iim∑4(5k,7k)△ok 元-→0k=1
两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” n k kkk V f 1 0 ),(lim n k M kkk 1 0 ),(lim 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:
二、二重积分的定义及可积性 定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域△ok(k=1,2,…,nm), 任取一点(5k,)∈△ok,若存在一个常数I,使 1=15,)o2作 九-→0 川nfx,)do k=1 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 da x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素
二、二重积分的定义及可积性 定义 : 设 f x y),( 将区域 D 任意分成 n 个小区域 k n),,,2,1( k 任取一点 ,),( k k k 若存在一个常数 I , 使 n k kkk fI 1 0 ),(lim 则称 yxf ),( 可积 , D yxf d),( 为称 yxfI ),( 在 D上的二重积分. , yx 称为积分变量 积分和 D yxf d),( 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数
如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ok=△xk△yk,因此面积元素do也常 记作dxdy,二重积分记作 f(x.)dxdy 引例1中曲顶柱体体积： v=f(x.y)do=pf(x.y)dxdy 引例2中平面薄板的质量： M=u(x.y)do=u(x.y)dxdy
D yxfV d),( 引例1中曲顶柱体体积: D M yx d),( 引例2中平面薄板的质量: 如果 f x y),( 在D上可积, d 也常 x y,dd 二重积分记作 .dd),( D yxyxf , k k k 分区域D , 这时 x y 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 D dd),( yxyxf D dd),( yxyx
