第二章、导数与微分 杨永举 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第二章、导数与微分 杨永举
一、导数的概念 (一)导数的定义 设函数fx)在x及其某个邻域内有定义，当自变 量x在x处取得增量△x时，相应地函数y取得增量 △=fx+△x)-f(x) 如果-m+-f,存在，则称函数心 Ar-0△比 △r0 △r 在x处可导，或称=fx)在x处有导数。该极限值就 是fx)在点x处的导数，记为 x=x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 （一） 导数的定义 设函数 f(x) 在 x 0及其某个邻域内有定义 , 当自变 量x 在 x 0处取得增 量Δx 时 ,相应地函数 y取得增量 Δ y =f( x 0 + Δx ) −f ( x 0 ) 0 0 0 0 ( ) () lim lim x x y f x x fx x x 如果 存在 , 在 x 0 处可导, 或称y= f(x ) 在 x 0 处有导数。该极限值就 是 f(x) 在点 x 0 处的导数，记为 0 f ( ), x 0 , x x y 0 x x dy dx 或 0 . x x df dx 则称函数 y= f(x ) 一、导数的概念
即y= Ay=limf,+Aw)-fx） a-→0△x △-→0 △x 其它形式f'x)=imf化+-fc,) h→0 h f(x)=lim (x)-f(x) x→x0 x-xo 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 即 x f xx f x x y y x x xx )()( lim lim 0 0 0 0 0 其它形 式 . )()( lim)( 0 0 0 0 h f x fh x xf h . )()( lim)( 0 0 0 0 xx f x f x xf xx
冬导函数 ()如果f(x)在I内每一点都可导，则称fx) 在开区间内可导. (2)对于任一x∈I,都对应f(x)的一个导数值， 这个函数就叫做f(x)的导函数，简称导数，记做： 八，f" dy df(x) 'dk’d 即y=+/儿该-回t》四 △x→0 △x 很明显，∫'(x)=f'(x)x, 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 导函数 很明显, .)()( 0 0 xx xfxf x f x x f x y x )()( lim0 即 0 ( ) () ( lim ) h f x h f x y h 或 () ( ) ( ) 1 . f x I f x I 如果 在 内每一点都可导，则称 在开区间 内可导 () () 2 ( ) x I fx f x 对于任一 ，都对应 的一个导数值， 这个函数就叫做 的导函数，简称导数，记做： ( ) , ( ), , dy df x yfx dx dx
注意 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽 象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面 来刻画变化率的本质 注意 点导数是因变量在点x,处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度 注意 Ay是y在以x和x,+△x为端点的区间上的平均变化 △x 率 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽 象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面 来刻画变化率的本质 注意 0 , . 点导数是因变量在点 处的变化率 它反映了因变量随 x 自变量的变化而变化的快慢程度 0 0 y y xx x x 是 在以 和 为端点的区间上的平均变化 率 注意
注意 如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导，就称函数f(x)在开区间1内可导 注意 对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 记作f(x),或 dx dx 即y'=im f(x+△x)-f(x) △x0 △x 或f'(y)=imfx+0-fx) h→0 h 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 ( ) , () . y fx I fx I 如果函数 在开区间 内的每点 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 , ( ) . ( ) . ( ) , ( ), . x I fx f x dy df x yfx dx dx 对于任一 都对应着 的一个确定的 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 记 作 或 x xfxxf y x )()( lim 0 即 . )()( lim)( 0 h xfhxf xf h 或 注意 注意
三单侧导数 1.左导数： ()=lim )-()limf() x0-0-X0 △r→-0 △x 2.右导数： ()=lim f-()=lim f(-f() x→xo+0 x-xo △r-→+0 △x 注意 函数f(x)在点x处可导一左导数f'(x)和右 导数f(x。)都存在且相等. 注意f'(x)与f'(x)的区别 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三 单侧导数 1.左导数 : ;)()( lim )()( lim)( 0 0 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xx x 2.右导数 : ;)()( lim )()( lim)( 0 0 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xx x 注意 函数 f x)( 在点 x 0处可导 左导数 )(x 0 f 和右 导数 )(x 0 f 都存在且相等 . 注意 + 0 0 fx fx () ( ) 与 的区别
注意 如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f(@)及f'(b)都存在， 就说f(x)在闭区间[a,b]上可导. 注意 f(xo)Lf(xo) 注意 若f'(x)=4,则1imf。-h)=f()-A h>0 h 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 如果 f x)( 在开区间 ,ba 内可导，且 f a)( 及 f b)( 都存在， 就说 f x)( 在闭区间 ,ba 上可导. 注意 注意 ])([)( 00 ？ xfxf . 注意 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim . h fx h fx f x A A h 若 ，则
四、由定义求导数（三步法） 步骤：()求因变量增量△y=f(x。+△x)-f(x), (2)因变量与自变量比值 △y=f(x,+A)-f(x) △x △x ③值极限fx)=m之 r0△x 例1求函数f(x)=C(C为常数)的导数. 解f'x)=lim+)-f)n =lim- -C=0. h-→0 h h-→0h 即(C)'=0. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、由定义求导数（三步法） 步骤 : 0 (1) 求因变量增量 y fx x fx ( ) ( ); 0 0 ( ) () (2) ; y f x x fx x x 因变量与自变量比值 0 0 (3) lim . x y f x x 求比值极限 例1 求函数 CCxf 为常数 的导数.)()( 解 h f x h f x xf h )()( lim)( 0 h C C h 0 lim .0 即 C .0)(
例2设函数f(x)=sinx,求(sinx)'及(sinx) 解(sinx)'=lim sin(x+h)-sinx h-→0 h h h sin -lim cos(+) h-→0 2=c0s 即 (sinx)=cosx. √2 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件
南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例2 .)(sin)(sin,sin)( 4 x 设函数 及求 xxxxf 解 h x h x x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim0 h h h x h x.cos 即 x x.cos)(sin 4 4 cos)(sin x x x x . 2 2