南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理

第三章{ 微分中值定理与导数的应用 Bagrange 柯西，A.L 费马，P.de

第三章 微分中值定理与导数的应用

罗尔中值定理 推广 中值定理 拉格朗日中值定理 ◆泰勒公式 (第三节) 柯西中值定理 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题

中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广

第一节微分中值定理 一、 罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理

一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 第一节 微分中值定理

一 罗尔定理 1.费马引理 (1)函数fx)在点x,的某邻域U(x)内有定义，且在点x处可导； (2)对任意的x∈Ux,).有f(x)≤f(xo)(或f(x)≥f(xo), 则 f'(x)=0 导数为零的点称为函数的驻点（或称稳定点，临界点）

1. 费马引理 （2）对任意的 0 x x  ( ) ， 有 ( ) ( )  ( ) ( ), 0 0 f x  f x 或 f x  f x 则 （1）函数 f x( )在点 0 x 的某邻域 0 U x( )内有定义，且在点 0 x 处可导; 0 f x ( ) 0  一、罗尔定理 导数为零的点称为函数的驻点（或称稳定点，临界点）

一、罗尔定理 分析：不妨设x∈Ux,)时,),对于+AxeU), f(xo+Ax)f(xo) 当△x>0时 当Ar<0时 fx+△xfxo)0 f(xo+Ax)-f(xo)20. △x △x f'(xo)=f (xo)=lim f(xo+Ax)-f(xo)20 fx,)=fx)=imf+A)-f≥0 Aro △x→0 △x △x f'(x)=0

( ) ( ) 0 0 f x x  f x 分析： 不妨设 0 x U x  ( )时 ( ) ( ) 0 f x  f x ，对于 ( ) 0 0 x xU x ， 0 ( ) ( ) 0 0     x f x x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0             x f x x f x f x f x x ， 一、罗尔定理 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x              0 ( ) ( ) 0 0     x f x x f x . f (x0 )0 . 当 x 0时 当x0时

费马引理的证明 证明：不妨设xeUx,)时，f(x)sfx.),于是，对于x,+△xeU0x,), 有 fx+△x)≤f(xo), 从而当Ax>0时，f+Axfx,)0 △x 当Ar<0时，f+Axf0. △x 根据函数f)在x,可导的条件及极限的保号性，便得到 f'(x)）=f(xo)）=lim f(xo+Ax)-/(xo)s0. 130 △x f)=f)=1imf+a0-f≥0 △r0 △x 所以 f'(x)=0

有 ( ) ( ) 0 0 f x x  f x ， 根据函数 f x( )在 0 x 可导的条件及极限的保号性，便得到 证 明： 不妨设 0 x U x  ( )时， ( ) ( ) 0 f x  f x ，于是，对于 ( ) 0 0 x xU x ， 从而当  x 0时， 0 ( ) ( ) 0 0     x f x x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0             x f x x f x f x f x x ， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x              当x0时， 0 ( ) ( ) 0 0     x f x x f x . 所以 f (x0 )0 . 费马引理的证明

一、罗尔定理 (1)在闭区间上连续（2)在开区间内可导(3)端点纵坐标相等 的函数的图形上至少有一点处的切线是水平的. f(a)=f(b) 有水平的切线 y=f(x) 斜率='(5)=0 0 a b 斜率k=f'(5)=0

x y O 2  1  a b y  f (x) A B f (a)  f (b) 有水平的切线 斜率k  f ( 1 )  0 （1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导（3）端点纵坐标相等 的函数的图形上至少有一点处的切线是水平的. 一、罗尔定理 2 斜率k f   ( ) 0 

一、罗尔定理 2、罗尔定理 如果函数f(x满足 y=f(x) f(a)=f(b) (1)在闭区间[a,b上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)f(a)=f(b), 那么在a,b)内至少有一点5，使得 f'(5)=0

如果函数 f x( )满足 （1）在闭区间[ , ] a b 上连续； （2）在开区间( , ) a b 内可导； （3） f a f b ( ) ( )  ， 那么在( , ) a b 内至少有一点 ，使得. x y O A B y  f (x) f (a)  f (b) a b  1  2 f ()0 一、罗尔定理 2、罗尔定理

罗尔定理的证明 分析： f(x)在[a,b]连续 0 f(x)在[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m y M四 f(a)=f(b) M=m y M,m不能同时取在端点 fx)=是常函数 y Mm至少有一个取在(a,b)内 f'(x)=0 Q 设M取在(a,b)内部 y 至少存作一5sa6,使得③白 费马定理可得

分析 罗尔定理的证明 f x( )在[ , ] a b 连续 f x( )在[ , ] a b 上必取得它的最大值 M 和最小值 m M  m M  m f x C ( )  是常函数 f x ( ) 0  M,m 不能同时取在端点 f a f b ( ) ( )  M,m 至少有一个取在( , ) a b 内 设M 取在( , ) a b 内部   ( , ), ( ) 0 a b f 费马定理可得 至少存在一   使得 

罗尔定理的证明 证明：由已知条件知f(x)在闭区间[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m (1)如果M=m,f)是常函数，则f(x)=0定理的结论显然成立. (2)如果M≠m,fx)不是常函数.由于fa=fb),因此fx)在闭区间[a,1上 最值不能同时取在端点.不妨M≠f(a).则M≠f(b)所以在(a,b)内至少存在一点 所以在(a,b)内至少存在一点5使f(5)=M.因此存在5的某一邻域，使f(x)≤f(5). 由费马引理可得 f'(5)=0

证明 由已知条件知 f x( )在闭区间[ , ] a b 上必取得它的最大值M 和最小值m （1）如果 M  m ， f x( )是常函数 则 f x ( ) 0  定理的结论显然成立 （2）如果M  m ， f x( )不是常函数.由于 f a f b ( ) ( )  ，因此 f x( ) 在闭区间[ , ] a b 上 最值不能同时取在端点. 不妨M f a  ( ) 则M f b  ( ) .所以在( , ) a b 内至少存在一点 由费马引理可得 所以在( , ) a b 内至少存在一点   使 f M ( ) .  因此存在  的某一邻域，使 f x f ( ) ( ).   罗尔定理的证明 f ( ) 0  