南阳师范学院一数学与统计学院 (14) 三向量a,6,c共面的充要条件是(ax)c=0 《高等数学》第七章-—一向量代数与空间解析几何 练习题—一王阳 (15)曲面+上，2 +专亏1与o,平面的交线方程为护+：=16 x=3 一、判断正误题（制所下列各思是否正第，正确的划，帽误的划×） (16)曲线 x2+y2+:=3 s=1 在网面上的投影曲线的方程+广=2 Ξ=0 (1)AB=-BA () (2)B=0=H=0台A与B重合一B的方向任意. 二、近择愿（将正确答素的序号填写在括号内） (3)零向量既与任意的向量垂直，又与任意的向量平行 (1)+列=同+成立的充要条件是（ (4)对任意的三点AB,C,都有AB+BC=AC成立。 A:向量a,6共线 B:向量a,b垂直 (5)对任意的三点A,B,C,都有AB-AC=CB成立 C:向量a=0或6=6 D:向量ā，五同方向 (2)下列结论错误的是() (6)ā=0÷λ=0或a=0. A:a+b=b+a. B:(a+)+=a+(6+d司 (?)两向量的夹角既与两向量的模有关又与两向量的方向有关 C:a-b=a+(-b) D:a+0=a (8)在空间直角坐标系中，点M的坐标为（化，片，）的充要条件是() E:(a+)=a+6 F:若a=乃，则a,五一定同方向 OM=xi+万+k=(x,y,） (3)与ā=(-2，-l2)同方向的单位向量为( ) (9)设a=(L,0,),b=(x,y,),若ā=五，则x==1y=0. A:E=(-2,-l,2) (-引 方方 (9)向量ā=(0,1)的方向余弦为 (10)直线5-为-与三=名的夹角为5 c -时到 101-101 (11)a.a=a×. (4)对任意的向量ā，b,c及任意的实数1，下列结论不一定正确的是( (12)i.了=ik三f.0 A币=a B:a+bc=ac+bc (13)A4c的面积S=Bx4d-cx-引xC网 c:(a品)：=a(6) D:ab=0一a⊥b E:= F:(d= 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第七章-——向量代数与空间解析几何 练习题——王阳 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1） AB BA . （ ） （2） AB AB A 0 0 与 B 重合 AB 的方向任意. （ ） （3） 零向量既与任意的向量垂直，又与任意的向量平行. （ ） （4） 对任意的三点 A B C , , ，都有 AB BC AC 成立. （ ） （5） 对任意的三点 A B C , , ，都有 AB AC CB 成立. （ ） （6） a 0 0 或 a 0 . （ ） （7） 两向量的夹角既与两向量的模有关又与两向量的方向有关. （ ） （8） 在空间直角坐标系中，点 M 的坐标为 ( , , ) x y z 的充要条件是 （ ） OM xi yj zk x y z , , . （9） 设 a b x y z 1,0,1 , , , , 若 a b , 则 x z y 1, 0 . （ ） （9） 向量 a 1,0,1 的方向余弦为 1 1 ,0, 2 2 . （ ） （10）直线 1 0 1 x y z 与 1 0 1 x y z 的夹角为 2 . （ ） （11） a a a a . （ ） （12） i j i k k j 0. （ ） （13） ABC 的面积 1 1 1 2 2 2 S AB AC BC BA CA CB （ ） （14） 三向量 a b c , , 共面的充要条件是 a b c 0 （ ） （15） 曲面 2 2 2 1 4 4 9 x y z 与 xoy 平面的交线方程为 2 2 16 3 y z x （ ） （16） 曲线 2 2 3 1 x y z z 在 xoy 面上的投影曲线的方程 2 2 2 0 x y z （ ） 二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） （1) a b a b 成立的充要条件是（ ） A：向量 a b, 共线 B：向量 a b, 垂直 C：向量 a 0 或 b 0 D：向量 a b, 同方向 （2）下列结论错误的是 （ ） A： a b b a . B： a b c a b c C： a b a b D： a a 0 E： a b a b F： 若 a b ，则 a b, 一定同方向 （3）与 a 2, 1,2 同方向的单位向量为（ ） A： e 2, 1,2 B： 2 1 2 , , 3 3 3 e C： 2 1 2 , , 333 e D： 2 1 2 , , 3 3 3 e （4）对任意的向量 a b c , , 及任意的实数 ，下列结论不一定正确的是（ ） A： ab ba B： a b c ac bc C： ab c a bc D： ab a b 0 E: ab a b F: 2 2 2 ab a b
南阳师范学院一数学与统计学院 (5)若ā×b±0，则下列结论不正确的是( (10)关于平面x:x-y-1=0,下列结论不正确的是( A:a×b⊥a,a×b⊥6 A:与：轴没有交点 B:与x轴的交点坐标为(L,0,0) B:a×b垂直于向量a,b所确定的平面 C不过原点： D与面-10的交线方程为号- C::a×b的指向按右手规则从ā转向b来确定 (11)空间中，下列结论正确的是（) D:后x-asin A:方程y2=:的图形为母线平行于x的抛物柱面 (6)对任意的向量ā，b,c及任意的实数1，下列结论不一定正确的是( B:方程 4+。=1的图形为母线平行于：的椭圆柱面 A:axb=bxa B:(a+b)xc=a×c+bxa C:axb=0台alb D:(a+b)×a-b)=2(a×b G方程士4上 手+)=1的图形为母线平行于y的双曲柱面 (7)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是( x=f D:方程 [y=0 +子+：子=1的图形为椭球面 A:x轴的一般方程为 B:x轴的参数方程为 :=0 y=0 :=0 E方程+上 专+行~)1的图形为单叶旋转双曲面 C辅的对称式方程为名-后 D:以上结论都不正确 (12)空间中，下列结论不正确的是 (8)在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是( .y2 x=0 A:方程 A:y轴的一般方程为=0 芳+长~的图形为椭圆抛物面 :=0 B:,轴的参数方程为y=1 (=0 品：方程上 6：的图形为双曲抛物面 C:y轴的一般方程为y=0 Dy抽的对称式方程为后一后 (9)在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是( :方程5 469引的图形双叶双曲面 x=0 A:抽的一般方程为=0 y=0 B::轴的参数方程为{y=0 D:方程x2+)y2=4的图形为圆 =1 C::轴的一般方程为：=0 D:轴的对称式方程为后-名-号 E:方程F+了=：的图形为圆锥面 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 （5）若 a b 0, 则下列结论不正确的是（ ） A： a b a a b b , B： a b 垂直于向量 a b, 所确定的平面 C： a b 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 D： a b a b a b sin , （6）对任意的向量 a b c , , 及任意的实数 ，下列结论不一定正确的是（ ） A： a b b a B： a b c a c b c C： a b a b 0 D： a b a b a b 2 （7） 在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A： x 轴的一般方程为 0 0 y z B： x 轴的参数方程为 0 0 x t y z C: x 轴的对称式方程为 1 0 0 x y z D: 以上结论都不正确 （8）在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是（ ） A： y 轴的一般方程为 0 0 x z B： y 轴的参数方程为 0 0 x y t z C: y 轴的一般方程为 y 0 D: y 轴的对称式方程为 010 x y z （9）在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是（ ） A： z 轴的一般方程为 0 0 x y B： z 轴的参数方程为 0 0 x y z t C: z 轴的一般方程为 z 0 D: z 轴的对称式方程为 0 0 1 x y z （10）关于平面 ： x y 1 0 ，下列结论不正确的是（ ） A：与 z 轴没有交点 B：与 x 轴的交点坐标为 (1,0,0) C 不过原点： D: 与平面 z 1 0 的交线方程为 1 1 1 1 0 x y z （11） 空间中，下列结论正确的是 （ ） A：方程 2 y z 的图形为母线平行于 x 的抛物柱面 B：方程 2 2 1 4 9 x z 的图形为母线平行于 z 的椭圆柱面 C：方程 2 2 1 4 9 x y 的图形为母线平行于 y 的双曲柱面 D：方程 2 2 2 1 9 4 x y z 的图形为椭球面 E: 方程 2 2 2 1 4 4 9 x y z 的图形为单叶旋转双曲面 （12） 空间中，下列结论不正确的是 （ ） A：方程 2 2 4 16 3 x y z 的图形为椭圆抛物面 B：方程 2 2 4 16 x y z 的图形为双曲抛物面 C：方程 2 2 2 1 4 16 9 x y z 的图形双叶双曲面 D： 方程 2 2 x y 4 的图形为圆 E：方程 2 2 x y z 的图形为圆锥面
南阳师范学院一数学与统计学院 (13)关于平面，下列说法错误的是() 13.若a=L,-2,1),万=(1，l,-1),则axb= ,后x= A:与x轴平行的平面可设为+C+D=0(D￥0) 与ā，万都垂直的单位向量为 B:与y轴平行的平面可设为r+C:+D=0(D≠0) 14.已知三点4,1，B1,0,,C(1,L0,则 C:与：轴平行的平面可设为r+B=0 (1)AB= .AC= D:与：平面平行的平面可设为是x十D=0(D≠0) (2)A瓜.AC= ·cos∠A= ·∠A= E:与xO平面平行的平面可设为：+D=0(Dz0) (3)AB×4C= ,因此△4BC的面积为 F:与xx平面平行的平面可设为y+D=0(Dz0) (4)取△4BC的所在平面的法向量= 一，从而△4BC的所在 三、填空题（将正确答案填写在横钱上） 平面的点法式方程为 ·整理得一般方程为 1.若ā=(x,水，，=(1,2，)共线，则x= y= 2.若ā=(x,2,16=(L,0,)垂直，则x= (5)取直线AB的方向向量i= ,从而直线AB的的对称式方 3曲面x2+y2+2=25与平面x=3的交线方程为 程 过D1,-1,1)并与直线AB的平行的直 4.平面x+2y-3:=6的截距式方程为 线1对称式方程为 参数方程为 5.xy的平面上曲线y2=2:绕：轴旋转一周产生的抛物面的 方程为 15设平面π1：x+y+:=-1,平面π：x-y+:=0,则 x=1 6直钱2，十3：=4的对称式方程为 一，参数 (1)平面河，的法向量元= 一·平面而的法向量元，= 式方程为 (2)故m与元，的对应坐标 比例，因此平面开，与平面河，相交 7平面x+=0与直线千片-的夹角为 且交线L的一般方程为 ·= 是交线L的方向 8.若问=4，a与轴u的夹角为行，则Ph,a= 向量 ),方向向量=_ 9.过点(6，-3,2)与平面4x-2y+:=8垂直的直线方程为 3)直线r号=号过以 (4)由于与的对应坐标 成比例，且直线上点M,不满足直 10.过M0,-山-)并与直线==号垂直的平面方程为 线L的方程，故直线L与L'平行 12.点(2,1,0)到平面3x+4y+5:=0的距离d= 第3页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 （13）关于平面，下列说法错误的是（ ） A：与 x 轴平行的平面可设为 By Cz D D 0 ( 0) B：与 y 轴平行的平面可设为 Ax Cz D D 0 ( 0) C：与 z 轴平行的平面可设为 Ax Bz 0 D：与 yoz 平面平行的平面可设为是 x D D 0 ( 0) E：与 xoy 平面平行的平面可设为 z D D 0 ( 0) F：与 xoz 平面平行的平面可设为 y D D 0 ( 0) 三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 a x y b ( , ,1), (1,2,1) 共线，则 x y . 2. 若 a x b ( ,2,1), (1,0,1) 垂直，则 x . 3 曲面 2 2 2 x y z 25 与平面 x 3 的交线方程为 . 4. 平面 x y z 2 3 6 的截距式方程为 . 5. xoy 的平面上曲线 2 y z 2 绕 z 轴旋转一周产生的抛物面的 方程为 . 6. 直线 1 2 3 4 x y z 的对称式方程为 ，参数 式方程为 . 7. 平面 x y 0 与直线 1 0 1 x y z 的夹角为 . 8. 若 a 4, a 与轴 u 的夹角为 , 3 则 Pr u j a . 9. 过点 (6, 3,2) 与平面 4 2 8 x y z 垂直的直线方程为__________. 10. 过 M(1, 1, 1) 并与直线 1 2 1 x y z 垂直的平面方程为__________. 12 . 点 (2,1,0) 到平面 3 4 5 0 x y z 的距离 d =______. 13. 若 a 1, 2,1，b 1,1, 1 ，则 a b =____________， a b =____________， 与 a b, 都垂直的单位向量为_______________________ 14. 已知三点 A B C (1,1,1), (1,0,1), (1,1,0), ，则 （1） AB =____________. AC =____________. （2） AB AC =____________，cos A ____________.， A ____________. （3） AB AC =____________，因此 ABC 的面积为____________ （4）取 ABC 的所在平面的法向量 n ____________，从而 ABC 的所在 平面的点法式方程为________________________， 整理得一般方程为 ________________________ （5）取直线 AB 的方向向量 s ____________，从而直线 AB 的的对称式方 程________________________，过 D(1, 1,1) 并与直线 AB 的平行的直 线 L 对 称 式 方 程 为 ________________________ ，参数方程为 ________________ 15 设平面 1 : 1 x y z ，平面 2 : 0 x y z ，则 （1）平面 1 的法向量 n1 ____________，平面 2 的法向量 n2 ________， （2）故 1 n 与 2 n 的对应坐标____________比例，因此平面 1 与平面 2 相交， 且交线 L 的一般方程为____________， s __________是交线 L 的方向 向量 （3）直线 1 : 1 0 1 x y z L 过 0 M ( ) ，方向向量 n ____________ （4）由于 s 与 n 的对应坐标__________成比例，且直线 L 上点 M0 不满足直 线 L 的方程，故直线 L 与 L 平行
南阳师苑范学院一数学与统计学院 《高等数学》第七章—一向量代数与空间解析几何 二、单项选择题（将正确答案的序号填写在语母内，年小题3分共18分） 自测题一王阳 (1)若MM=MM≠0，则下列结论不一定成立的是() 题号 三 四 五 总分 A:M,M,M3三点共线 B:MM×MM=i 得分 C:MM.=2MM D:M4M与MM同方向 (2)给定a,b,C,及实数1，a=b成立的充要条件是() 一、判断题（判断下列各愿是否正确，正确的划√，情误的划×，每小题2分，共20分） A:a=bB:a.c=B.C:a+d=b+D:axc=bxc (1)若AB+BC=AC,则A,B,C三点一定共线. (） (3)关于平面x:x一：=0，下列结论不正确的是( (2)对任意的向量a,b,都有a.5=a×6. () A:过原点 B:与直线=三垂直 10- (3)若x轴与平面A红+B+CZ-1=0垂直，则A:B:C=1:0:0. C:与y抽的夹角为号 D:与平面y+:=0的夹角为二 6 ④直钱年-古-5直线的夹角为号 () (4)空间中，下列结论错误的是() A:方程x2+y2=1的图形是一个母线平行于：轴的圆柱面 (5)对任意的向量a及实数2，都有ā×(a)=0. ( B:方程x2+9:2-1=0的图形是一个母线平行于y轴的椭圆柱面 (6)+--司成立的充要条件是向量ā，B共线. r C:方程，2-2=1的图形是一个是一个母线平行于x轴的双曲柱面 (7)对任意的向量a,6,都有位+)x后+)=0. ( ) D:方程，2=2x的图形是一个是抛物线 (8)(a×a+bj(a-b)=0. () (5)(a+b×a-b)=() (9)空间中x2+y2+2=1的图形是一个球心在原点半径为1的球面.（) A:0 B:2(Bxa)C:a D:0 (10)空间中，方程仁+广：！的图形母线平行于：的圆柱面与母线平行于的 y2+2=1 (6)下列说法正确的是() 圆柱面的交线 () A:旋转抛物面：=2(x2+y2)可以看做是x0c面上的抛物线：=2x 绕：轴旋转一周产生的曲面 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第七章-——向量代数与空间解析几何 自测题——王阳 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×，每小题 2 分，共 20 分） （1） 若 AB BC AC ，则 A B C , , 三点一定共线． （ ） （2） 对任意的向量 a b, ，都有 a b a b . （ ） （3） 若 x 轴与平面 Ax By CZ 1 0 垂直，则 A B C : : 1:0:0 . （ ） （4） 直线 1 0 1 x y z 与直线 1 x y z 的夹角为 3 . （ ） （5） 对任意的向量 a 及实数 ，都有 0 a a . （ ） （6） a b a b 成立的充要条件是向量 a b, 共线. （ ） （7） 对任意的向量 a b, ，都有 0 a b a b . （ ） （8） a a b a b 0 . （ ） （9） 空间中 2 2 2 x y z 1 的图形是一个球心在原点半径为 1 的球面. （ ） （10） 空间中，方程 2 2 2 2 1 1 x y y z 的图形母线平行于 z 的圆柱面与母线平行于 x 的 圆柱面的交线 （ ） 二、单项选择题（将正确答案的序号填写在括号内，每小题 3 分共 18 分） （1）若 1 2 1 3 M M M M 0 ，则下列结论不一定成立的是 （ ） A： 1 2 3 M M M , , 三点共线 B： 1 2 1 3 M M M M 0 C： M M M M 1 2 1 3 D： M M1 2 与 M M1 3 同方向 （2)给定 a b c , , , 及实数 ，a b 成立的充要条件是（ ） A： a b B： a c b c C： a c b c D： a c b c （3）关于平面 ： x z 0 ，下列结论不正确的是（ ） A：过原点 B：与直线 1 1 0 1 x y z 垂直 C： 与 y 轴的夹角为 4 D: 与平面 y z 0 的夹角为 6 （4）空间中，下列结论错误的是（ ） A：方程 2 2 x y 1 的图形是一个母线平行于 z 轴的圆柱面 B：方程 2 2 x z 9 0 -1 的图形是一个母线平行于 y 轴的椭圆柱面 C：方程 2 2 y z 1 的图形是一个是一个母线平行于 x 轴的双曲柱面 D：方程 2 y x 2 的图形是一个是抛物线 （5） a b a b （ ） A： 0 B： 2b a C： 2 2 a b D： 0 （6）下列说法正确的是（ ） A：旋转抛物面 2 2 z x y 2 可以看做是 xoz 面上的抛物线 2 z x 2 绕 z 轴旋转一周产生的曲面
南阳师范学院一数学与统计学院 B:方程上 名+与十无1的图形为旋转双曲抛物面 (2)过点原点与平面x垂直的直线L的方程(5分) 五、正明愿（共16分） G方程r上 4~子1的图形单叶双曲面 己知40,0，，B1,0,),C1,0,0), D:方程F+了=：的图形为球面 (1)证明A,B,C不共线：(4分) E:方程x产-2=：的图形为椭圆抛物面 (2)证明△4BC的面积为与：(4分) 三、填空题（将正确答来填可在横线上，每小愿3分，共21分） (3)证明∠A=牙(4分) 1.i(行+j+2)= (4)证明.△ABC直角三角形(4分) 2.若ā=(x,,-)与b=(L,0,-l)共线，则x=二y=一 3.若à=（化，l)与6=1,0，垂直.则x+:=一 4.若向量2ā=(2,0，-2)，则向量ā在x轴上的射影为 5若直线子只号与平面4y4-0平行，k 6.求过两点AL,00),BL0,)的直线参数方程为 7.若a×b≠0，则与a,b都垂直的单位向量e= 四、计算题（共25分） 1.求过M。L0,1)且与平面x+y+:+1=0平行的平面x的方程.(5分) 2已加直线过内平面少+1=0平行，同时汉与直线子-片=号 垂直，求直线L的对称式方程(10分) 3.己知4L,0,1),BL,0,1,C0,0,0 (1)求A,B,C所确定的平面x的方程(5分) 第2页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 B：方程 2 2 2 1 36 9 36 x y z 的图形为旋转双曲抛物面 C：方程 2 2 2 1 4 4 y z x 的图形单叶双曲面 D：方程 2 2 x y z 的图形为球面 E: 方程 2 2 x y z 的图形为椭圆抛物面 三、填空题（将正确答案填写在横线上，每小题 3 分，共 21 分） 1. i i j k 2 2. 若 a x y ( , , 1) 与 b (1,0, 1) 共线，则 x y . 3. 若 a x z ( ,1, ) 与 b (1,0,1) 垂直，则 x z . 4. 若向量 2 2,0, 2 a ，则向量 a 在 x 轴上的射影为 . 5. 若直线 1 2 1 1 x y z k 与平面 x y z 1 0 平行， k . 6. 求过两点 A B (1,0,0), (1,0,1) 的直线参数方程为 . 7.若 a b 0, 则与 a b, 都垂直的单位向量 e . 四、计算题（共 25 分） 1. 求过 0 M (1,0,1) 且与平面 x y z 1 0 平行的平面 的方程. （5 分） 2. 已知直线 L 过 0 M (1,1,1) 与平面 x y 1 0 平行，同时又与直线 1 1 1 0 x y z 垂直，求直线 L 的对称式方程 （10 分） 3. 已知 A B C (1,0,1), (1,0,1), (1,0,0), （1）求 A B C , , 所确定的平面 的方程 （5 分） （2）过点原点与平面 垂直的直线 L 的方程（5 分） 五、证明题（共 16 分） 已知 A B C (0,0,1), (1,0,1), (1,0,0), （1） 证明 A B C , , 不共线；（4 分） （2） 证明 ABC 的面积为 1 2 ；（4 分） （3） 证明 4 A .（4 分） （4） 证明. ABC 直角三角形（4 分）
