南阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第三章一中值定理与导数的应用 =f+fXx-组x- 2 练习题(A) 其中5在和x之间。 () 一、判断正误题（刺断下列各愿是香正确，正确的划1，帽黄的划×） （3)质致y=一m在受引上单调送或 () (1)可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点 () (14)如果函数在某驻点两边的导数同号，则不改变函数的单调性 () (2)若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论可能不成立 () (15)曲线y=ln-x)在(-n,0)是凹的. () (3)若数fx)在a,]上连续.在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则方程f"(x)=0在 (16)若y=∫(x)在定义域内一阶导数单调.则曲线y=f(x)无拐点. () (a,b)内至少有一个实根. () (17)函数的极值点可能在区间内部取得，也可能在端点取得。 () (4)在两个高度相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切线， (18)函数的极大值不一定比极小值大 () 则其中必至少有一条水平切线· () 二、填空题（将正精答案填写在横线上） (5)若函数y=fx)在压，x+△r]上连续，在(x,x+△x)内可导，则必有4y=f(x+r)Ax (1)下列函数中满足罗尔定理条件的是() 其中0<0<1 () A:fx)=sgnx,xe-l,B:fx)=,x∈-l刂 (6)在两个高度不相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切 ca·九aha后爱 线，则其中必至少有一条切线平行于两端点的连线 () (2)设函数f(x)=(x2+x-2)c0sx,则方程(x)=0在（仁2，x)内根的个数是(） (7)若函数f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则至少有一点5∈(a,b) A:0个B:至多一个C:至少3个 D:2个 (3)下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是() 使得f(x)在5处的瞬时变化率等于f(x)在a,b上平均变化率 () (8)f(x)=C(常数)(（x∈)白f(x)=0(x∈I). () xe[-1I] (9)至少存在一点5∈(a,b),使得e(sinb-sina)=(e°-e)cos5 () 0,x=0 （1o)若imf因不存在，则mf但也一定不存在 () e-a受 g'(x) g(x) 若mg在，则im但-m细 () c:f(x)= xe[-1I] g'(x) g(x) g'(x) 0,x=0 (12)若f(x)在点x=x。处的第近有连续的二阶导数，则 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第三章-——中值定理与导数的应用 练习题（A） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1）可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点. （ ） （2）若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论可能不成立. （ ） （3）若函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在 (,) a b 内可导，且 f () () a fb = ，则方程 f x ′() 0 = 在 (,) a b 内至少有一个实根. （ ） （4）在两个高度相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切线， 则其中必至少有一条水平切线 . （ ） （5）若函数 y fx = ( ) 在[, ] x x x + Δ 上连续，在(, ) x x x + Δ 内可导，则必有 Δ= +Δ Δ y fx x x ′( ) θ 其中0 1 < < θ . （） （6）在两个高度不相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切 线，则其中必至少有一条切线平行于两端点的连线. （ ） （7）若函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，且 f () () a fb = ，则至少有一点ξ ∈(,) a b 使得 f ( ) x 在ξ 处的瞬时变化率等于 f ( ) x 在[,] a b 上平均变化率. （ ） （8） f ( ) x C≡ （常数）( ) ∀ ∈x I ⇔ f x ′() 0 = ( ) ∀x∈ I . （） （9）至少存在一点ξ ∈(,) a b ，使得 (sin sin ) ( ) cos b a e b a ee ξ − =− ξ . （） （10）若 ( ) lim ( ) f x g x ′ ′ 不存在，则 ( ) lim ( ) f x g x 也一定不存在. （ ） （11）若 ( ) lim ( ) f x g x ′ ′ 存在，则 ( ) lim ( ) f x g x = ( ) lim ( ) f x g x ′′ . （） （12）若 f ( ) x 在点 0 x = x 处的邻近有连续的二阶导数，则 2 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 f f x fx f x x x x x ′′ ξ = + −+ − ′ ， 其中ξ 在 0 x 和 x 之间. （ ） （13）函数 2 y = −x x sin 在[ ,] 2 2 π π − 上单调递减. （ ） （14）如果函数在某驻点两边的导数同号，则不改变函数的单调性. （ ） （15）曲线 y = ln( ) −x 在( , 0) −∞ 是凹的. （ ） （16）若 y = f x( ) 在定义域内一阶导数单调，则曲线 y = f x( ) 无拐点. （ ） （17）函数的极值点可能在区间内部取得，也可能在端点取得. （ ） （18）函数的极大值不一定比极小值大. （ ） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） （1）下列函数中满足罗尔定理条件的是（ ） A： f x xx ( ) sgn , [ 1,1] = ∈ − B： fx xx ( ) , [ 1,1] = ∈− C： 3 fx x x ( ) , [ 1,1] = ∈− D： 5 ( ) ln sin , [ , ] 6 6 f x xx π π = ∈ （2）设函数 2 f ( ) ( 2) cos x xx x = +− ，则方程 f x ′() 0 = 在( 2, ) − π 内根的个数是（ ） A：0 个 B：至多一个 C：至少 3 个 D：2 个 （3）下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是（ ） A： 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = ， x∈ −[ 1,1] B： f ( ) sin x x = ， [ ,] 2 2 x π π ∈ − C： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = ， x∈ −[ 1,1]
南阳师范学院一数学与统计学院 D:f(x)= 过，x0 ·xe[-l,] (8)下列不是曲线y 5渐近线的是() 0x=0 A:y=0 B:x=1 E.f()=.xe[-LI] C:x=-1 D:y=r+bk≠0) (4)如果函数在定义区间上连续，除去有限个点外导数处处存在，则函数单调区间的分 (9)下列结论错误的是( 界点( A:闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、驻点及不可导点处取得 A:一定是驻点 B:一定是导数不存在的点 B:闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、及极值点处取得 C:可能是驻点也可能是一阶导数不存在的点 D:一定是极值点 C:若闭区间上连续函数的最值在区间内取得，则最值一定是函数在区间内所有 (5)若点(，f(》是曲线y=f(x)的拐点，则（） 极小值中的最小者 A:必有f"()=0 B:f“(红)一定不存在 D:闭区间上连续函数的最大值一定是函数所有极值和函数在区间端点的函数值 C:可能是f"(x)也可能是f"()不存在 D:以上答案都不正确 中最大者 (6)下列结论正确的是() (10)不能直接使用洛必达法则求极限的是( A:若函数f(x)在点x的左第域内∫(x)>0,在点x的右邻域内f"(x)0,则x。是 a0+边 x E=兴 f(x)的极大值点 n (11)下列结论正确的是( C:如果y=f(x)在区间I内单调，则在区间I内没有极值点 A:x=0是函数f(x)=闪的极大值点 D:如果函数f八x)在点无处左、右近旁的导数同号，则点无是函数y=f(x)的极值点 B:若函数f(x)在点处二阶可导，且f"(,)>0,则x。是f(x)的极小值点 (7)下列结论错误的是() C:设函数f(x)具有二阶导数.且∫"(x)>0,△r>0,则△y<d山 A函数的极值不可能在不可导的点处取得 D:曲线y=x没有拐点 B:二阶导数大于零的驻点一定是函数的极小值点 三、选择题（将正确答案的序号填写在指母内） C:二阶导数为零的驻点可能是极值点也可能不是极值点 D:二阶导数小于零的驻点一定函数的极大值点 1 第2页共于页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 D： , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = ， x∈[ 1,1] − E： 1 3 f ( ) x x = ， x∈ −[ 1,1] （4）如果函数在定义区间上连续，除去有限个点外导数处处存在，则函数单调区间的分 界点（ ） A：一定是驻点 B：一定是导数不存在的点 C：可能是驻点也可能是一阶导数不存在的点 D：一定是极值点 （5）若点 0 0 ( , ( )) x f x 是曲线 y f = ( ) x 的拐点，则 （ ） A：必有 0 f x ′′() 0 = B： 0 f ′′( ) x 一定不存在 C：可能是 0 f ′′( ) x 也可能是 0 f ′′( ) x 不存在 D：以上答案都不正确 （6）下列结论正确的是（ ） A：若函数 f ( ) x 在点 0 x 的左邻域内 f x ′() 0 > ，在点 0 x 的右邻域内 f x ′() 0 ，则 0 x 是 f ( ) x 的极大值点 C：如果 y = f x( ) 在区间 I 内单调，则在区间 I 内没有极值点 D：如果函数 f ( ) x 在点 0 x 处左、右近旁的导数同号，则点 0 x 是函数 y = f x( ) 的极值点 （7）下列结论错误的是（ ） A：函数的极值不可能在不可导的点处取得 B：二阶导数大于零的驻点一定是函数的极小值点 C：二阶导数为零的驻点可能是极值点也可能不是极值点 D：二阶导数小于零的驻点一定函数的极大值点 （8）下列不是曲线 2 1 x y x = − 渐近线的是（ ） A： y = 0 B： x =1 C： x = −1 D： y kx b k =+ ≠ ( 0) （9）下列结论错误的是（ ） A：闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、驻点及不可导点处取得 B：闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、及极值点处取得 C：若闭区间上连续函数的最值在区间内取得，则最值一定是函数在区间内所有 极小值中的最小者 D：闭区间上连续函数的最大值一定是函数所有极值和函数在区间端点的函数值 中最大者 （10）不能直接使用洛必达法则求极限的是（ ） A： 0 sin lim x x → x B： 1 2 lim 1 2 n n n→∞ + − C： 0 1 lim x x e → x − D： 0 ln(1 ) lim x x → x + E： sin lim n n →∞ n F： 0 1 lim( ) x 1 ln x → x x − − （11）下列结论正确的是（ ） A： x = 0 是函数 f ( ) x x = 的极大值点 B：若函数 f ( ) x 在点 0 x 处二阶可导，且 0 f x ′′() 0 > ，则 0 x 是 f ( ) x 的极小值点 C：设函数 f ( ) x 具有二阶导数，且 f x ′′() 0 > ，Δ >x 0 ，则Δ <y dy D：曲线 100 y = x 没有拐点 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 3 0 sin lim x x x → x − =
南阳师范学院一数学与统计学院 2.求函数y=(x之-+1的单调区间、极值及在-1，门上的最值 2品兴 3.求曲线y=x-1的拐点， 五、正明题 4y=在 1.证明方程x+x3-1=0在(0,1)内最多有一个实根。 上单调增加，在 上单调减少 5.曲线y=x的拐点为 2.证明当x>0时， <h+ 6.设函数y=f(x)二阶可导数，如果f(x)=0,f(x)=-l,则点无是函数y=f(x)的 3证明in+cas=号，-l, 极值点 1股=云路运线是 及商数y=加在(-受内的板小值点为 2 四、计算题 1.求下列极限 e2-1-x2 (1)sin 2x 2)a+e 3)mr子 11 （4m宁xn云 (5)lim(nx) (6)lim(cos) ()m6 第3页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 2. 1 lim x x x →+∞ e − = . 3. 100 100 1 lim x 1 x →+∞ x − = + . 4. 2 3 y x = 在 上单调增加，在 上单调减少. 5. 曲线 3 y = x 的拐点为 . 6. 设函数 y = f x( ) 二阶可导数，如果 0 f x ′()0 = ， 0 f x ′′() 1 = − ，则点 0 x 是函数 y = f x( ) 的 极 值点. 7. 曲线 2 1 x y x = + 的斜渐近线是 . 8. 函数 y x = sin 在( ,) 2 2 π π − 内的极小值点为 . 9. 2 ln lim n n →∞ n = . 四、计算题 1.求下列极限 （1） 2 2 2 0 1 lim sin 2 x x e x → x − − （2） 2 2 ln(1 ) lim x x e →+∞ x + （3） 2 0 lim x x x → （4） 2 0 1 1 lim( ) x→ x x x tan − （5） 2 0 lim ( ln ) x x x → + （6） 2 1 0 lim(cos ) x x x → （7） lim n n n →∞ （8） 1 lim 1 n n n x →∞ x − + 2.求函数 2 2 y x = ( 1) 1 − + 的单调区间、极值及在[ 1,1] − 上的最值. 3.求曲线 3 y = x −1的拐点. 五、证明题 1. 证明方程 5 3 x x + − =1 0 在(0,1) 内最多有一个实根. 2. 证明当 x > 0 时， ln(1 ) 1 x x x x < + < + .. 3. 证明arcsin arccos 2 x x π + = ， x∈ −[ 1,1]
南阳师范学院—一数学与统计学院 《高等数学》第三章一中值定理与导数的应用 12如果y=f(x)在区间I内单调，则在区间I内没有极值点： () 练习题(B) 1且H,山是y=经的道赠区间 () 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 14曲线y=e之在(-，0)是四的 () 1.可母函数的驻点一定是极值点 () 15.L,0)是曲线fx)=(x-1旷的拐点 () 2.若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论一定不成立 () 16函数的极值一定在区间内部取到. () 3.若方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根，则函数f代x)在a,b上连线，在 17.函数的极大值一定大于极小值 () (a,b)内可导，且fa=f(b). () 18若点(x,f(x》是曲线y=fx)的拐点，则必有∫()=0 () 4.sin(x+Ar)-sinx=cosr+x)△r其中0-),使得 C:f(x)=e(sinx+cosx),x] (sin b-sin )=(in()n(cos () D:f(x)= 0可 0 x=0 ，极限m中血工不能使用洛多达法则束曲。 () 2.设函数fx)=(x2-1)xsinx,则方程fx)=0在(-，)内根的个数 1 () 是( 11.两坐标轴x=0,y=0都是函数f)-加二的渐近线 () A:至多1个 B:2个C:3个 D:至少4个 第1页共3页
南阳师范学院——数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第三章---中值定理与导数的应用 练习题（B） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1. 可导函数的驻点一定是极值点. （ ） 2. 若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论一定不成立. （ ） 3. 若方程 f x ′() 0 = 在(,) a b 内至少有一个实根，则函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在 (,) a b 内可导，且 f () () a fb = . （ ） 4. sin( ) sin cos( ) x +Δ − = + Δ Δ x x x xx θ 其中0 1 − ( , ), ( 1) ab a ，使得 1 (sin sin ) (ln(1 ) ln(1 )) cos 1 ba b a ξ ξ − = +− + + （ ） 9. 极限 sin lim x x x →∞ x + 不能使用洛必达法则求出. （ ） 10. 1 cos 2 4 cos 1 (0 1) 2! 4! x xx x θ =− + < < θ . （ ） 11. 两坐标轴 x = 0 ， y = 0 都是函数 x x f x sin ( ) = 的渐近线. （ ） 12. 如果 y = f x( ) 在区间 I 内单调，则在区间 I 内没有极值点. （ ） 13. [-1,1]是 2 2 1 x y x = + 的递增区间. （ ） 14. 曲线 2x y e− = 在( , 0) −∞ 是凹的. （ ） 15. (1,0) 是曲线 4 fx x ( ) ( 1) = − 的拐点. （ ） 16. 函数的极值一定在区间内部取到. （ ） 17. 函数的极大值一定大于极小值. （ ） 18. 若点 0 0 ( , ( )) x f x 是曲线 y fx = ( ) 的拐点，则必有 0 f x ′′()0 = . （） 二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 在给定区间上，下列函数中满足罗尔中值定理条件的是（ ） A： 1 sin 0 ( ) , [ 1,1] 0 0 x fx x x x ⎧⎪ ≠ = ∈− ⎨⎪⎩ = B： f x x xx ( ) sgn sin , [ 1,1] = ∈ − C： 3 ( ) (sin cos ), [ , ] x fx e x x x = + ∈−π π D： 2 2 1 sin 0 2 2 () , , 0 0 x x fx x x x π π ⎧⎪ ≠ ⎡ ⎤ = ∈− ⎨ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ = 2. 设函数 2 f ( ) ( 1) sin x x xx = − ，则方程 f x ′() 0 = 在( ,) −π π 内根的个数 是（ ） A：至多 1 个 B：2 个 C：3 个 D：至少 4 个
南阳师范学院—数学与统计学院 3.下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是( 者吗+@.0，则+因 x 1+f国为() xsin I x40xel-L1] 4:0 B: c:1 D: A:f(x)= 0. x=0 9.己知函数f(x)= [In(1+x),x>0 aretanx,x>0 , ”:50则下列说法正确的是《) B:f(x)=0, x=0x∈[-L, A:x=0为极小值点 B:x=0为极大值点 e:-1,x0,△r0.则f'(0.f)f)-f0)或f(0)-f)的 大小顺序是() 1.函数(x)=x在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理时所得到的的点 A:f'>f(0)>fI)-f0) B:fI)>f)-f0)>f0) 5= 2.设f(x)=(r-10x-2x-3x-4),方程f'(x)=0至少有个根，它 c:f)-f0)>f')>f'(0) D:f(1)>f(o)-f()>f(0) 7.下列没有最值的函数是() 们分别在区间」 A:y=2x3-3r2(-1sx≤4)B:y=V100-(0≤xs8) c:yaxi (-1sxs1) D:y=x3(-l<x<1) 4.lim 5.函数y=x2-nr2的单调区间为 第2页共3页
南阳师范学院——数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 3. 下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是（ ） A： 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = x∈[ 1,1] − B： sin arctan , 0 ( ) 0, 0 1, 0 x x x fx x e x ⎧ > ⎪ = = ⎨⎪⎩ − ，则 f f ′(0) (1) 、 、 ′ f (1) (0) − f 或f (0) (1) − f 的 大小顺序是（ ） A： f ′ ′ (1) (0) (1) (0) > >− f ff B： f ff f ′(1) (1) (0) (0) >− > ′ C： ff f f (1) (0) (1) (0) −> > ′ ′ D： f fff ′(1) (0) (1) (0) > −> ′ 7. 下列没有最值的函数是（ ） A： 3 2 y = − 2 3 x x ( −≤ ≤ 1 4 x ) B： 2 y = 100 − x （0 8 ≤ x ≤ ） C： 2 3 y = x （ −≤ ≤ 1 1 x ） D： 3 y = x （ −1 1 = ⎨⎩ ≤ ，则下列说法正确的是（ ） A： x = 0 为极小值点 B： x = 0 为极大值点 C： f ( ) x 在定义域内无极值 D： f ( ) x 在定义域内单调递减 10. 下列结论正确的是（ ） A： x = 0 是函数 f ( ) x x = 的极大值点 B：若函数 f ( ) x 在点 0 x 处二阶可导，且 f x ′′() 0 ，Δ <x 0，则Δ <y dy D：曲线 1000 y = x 没有拐点 三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 函数 4 f ( ) x x = 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理时所得到的的点 ξ=_ _ 2. 设 fx x x x x ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) =− − − − ，方程 f x ′() 0 = 至少有____个根，它 们分别在区间 上 3. 3 0 tan lim x x x → x − = 4. lim x x x x e e →+∞ − = − 5. 函数 2 2 y = − x x ln 的单调区间为
南阳师范学院—一数学与统计学院 6.曲线f(x)=(x-1)乎的拐点为 4.求函数y=ln(x2+)图形的拐点及四凸区间 7.若函数y=f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，则曲线fx)在(a,b)内 5.若曲线y=am+b2+x+d在x=0处有极值y=0,点(L,)为拐点，求 取凹的充分条件是 a,b,c,d的值 &画线严一的水平素近线为 一，铅直渐近线为」 五、证明题 9.y=2的麦克劳林公式中x”项的系数是 L,证明方程x+x-1=0只有一个正根 10.函数y=eos在(0，π)内的极小值点为 2.证明对函数y=四+平+r应用拉氏中值定理时所求得的点总是位于区间 的正中间. 3设e之b-al 12.lim= 4.设函数fx)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点5∈(0，)使 四、计算题 f'(5=2Lf)-f01 1.求下列极限 nl+马 (1)recots (2)lim("Inx)(m0) 6.证明：方程snx-x=0在(-元，x）内有且仅有一解 3)左e 11 ④☏ (5)lim(l+sin) (6)meot品 m 8 2.求函数y=2x+8 (x>0)的单调区间，极值及在卫，3引上最值 3.设函数y=(x)由方程2y2-2y2+2y-x2=1所确定，试求y=x)的 驻点，并判定它是否为极值点. 第3页共3页
南阳师范学院——数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 6. 曲线 1 3 fx x ( ) ( 1) = − 的拐点为 7. 若函数 y = f x( ) 在[a b, ] 上连续，(a b, )内二阶可导，则曲线 f ( ) x 在( ) a b, 内 取凹的充分条件是 . 8. 曲线 1 1 y x = − 的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 9. x y = 2 的麦克劳林公式中 n x 项的系数是 10. 函数 y x = cos 在(0, ) π 内的极小值点为 11. 3 lim n n e →∞ n = 12. 1 lim n n n →∞ = 四、计算题 1. 求下列极限 （1） 1 ln(1 ) lim cot x x →+∞ arc x + （2） 0 lim ( ln ) ( 0) m x xxm → + > （3） 0 1 1 lim( ) 1 x x→ x e − − （4） sin 0 lim x x x → + （5） 1 0 lim(1 sin ) x x x → + （6） 1 l n 0 lim (cot ) x x x → + （7） sin 3 0 1 lim arcsin x x x e x − → − （8） 3 0 sin cos limx tan x x x → x − 2. 求函数 8 yx x 2 ( 0) x =+ > 的单调区间，极值及在[1,3]上最值 3. 设函数 y = y x( )由方程 32 2 222 1 y y xy x − + −= 所确定，试求 y = y x( ) 的 驻点，并判定它是否为极值点. 4. 求函数 ( ) 2 y x = ln 1+ 图形的拐点及凹凸区间 5. 若曲线 3 2 y = ax bx cx d + ++ 在 x = 0 处有极值 y = 0 ，点 (1,1) 为拐点，求 abcd ,,, 的值 五、证明题 1. 证明方程 5 x x + − =1 0 只有一个正根 2. 证明对函数 2 y = px qx r + + 应用拉氏中值定理时所求得的点 ξ 总是位于区间 的正中间. 3. 设 2 eabe − 4. 设函数 f ( ) x 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，证明：至少存在一点ξ ∈(0,1) 使 f ff ′( ) 2 [ (1) (0)] ξ = ξ − . 5. 证明：当0 2 x π < < 时， 2 x sin x x π < < . 6. 证明：方程sin 0 x x − = 在( ,) −π π 内有且仅有一解
南阳师范学院一数学与统计学院 10.闭区间[a,b]上连续函数的最小值一定是函数的极小值 《高等数学》第三章一—中值定理与导数的应用 11.当∫《(x)=∫(x)=0时x可能是极值点也可能不是极值点。() 自测题(A) 12.可导函数的极值点一定是驻点 () 题号 三 四 五 总分 二单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码 得分 填在题千上的括号内。每小题2分，共10分) 1.下列结论正确的是() 一判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题2分，共 A:函数的极大值一定大于极小值B:函数的极值点一定是驻点 24分) C:函数的极值点一定在区间内D:函数的极值点一定唯一 1.函数y=在【-1，】上既不满足罗尔定理的所有条件，也不满足罗尔定理的 2.能直接使用洛必达法则求极限的是(） 结论 () = 2.函数fx)= 如上20在区同上满是拉格朗日中值定理的所有条 0, x=0 C:i =员 件 () 3.下列结论不正确的是() 3若一不存在.则细也不存在 () A:函数的最大值一定大于最小值 g(x) g(x) 4.至少存在一个5e(a,b)使得sinb-sina=(b-a)cos5成立 () B:函数的最值点可能不是极值点 5.至少存在一个5e(a,b)使得(b3-a)e=3引e-e）52成立 () C:若函数的最大值在区间内取得，则函数的最大值点一定是极值点 6.设fx)在x,的附近有连续的二阶导数，则 D:函数的最值可能在驻点、导数不存在的点及区间端点处取得 化+=+r化h+组公(5在与x+h之间 [In(1+x),x>0 () 4.关于函数fx)= 21 ,150·则下列说法错误的是() 7.定义域上连续单调的函数没有极值」 () h:f(x)在x=0不可导 B:f(x)在定义域内单调递减 8.曲线y=x在(-o,+o)上是凸的. () C:(0,0)为曲线y=fx)的拐点D:x=0为极小值点 9.(0,0)不是y=x2的拐点 () 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第三章-——中值定理与导数的应用 自测题（A） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） 1. 函数 y x = 在[ 1,1] − 上既不满足罗尔定理的所有条件，也不满足罗尔定理的 结论. （ ） 2. 函数 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 在区间[ 1,1] − 上满足拉格朗日中值定理的所有条 件. （ ） 3.若 ( ) lim ( ) x f x →∞ g x ′′ 不存在，则 ( ) lim ( ) x f x →∞ g x 也不存在. （ ） 4.至少存在一个ξ ∈(,) a b 使得sin sin ( ) cos b a ba − = − ξ 成立. （ ） 5.至少存在一个ξ ∈(,) a b 使得( ) ( ) 33 2 3 b a b ae e e ξ − =− ξ 成立. （ ） 6.设 f ( ) x 在 0 x 的附近有连续的二阶导数，则 2 0 00 ( ) ( ) () () 2! f f x h fx f xh h ′′ ξ += + + ′ （ξ 在 x0 与 0 x + h 之间） （ ） 7.定义域上连续单调的函数没有极值. （ ） 8. 曲线 4 y = x 在(, ) −∞ +∞ 上是凸的. （ ） 9. (0,0) 不是 2 y x = 的拐点. （ ) 10.闭区间[,] a b 上连续函数的最小值一定是函数的极小值. （ ） 11.当 0 0 fx f x ′ ′′ () () 0 = = 时 0 x 可能是极值点也可能不是极值点. （ ） 12.可导函数的极值点一定是驻点. （ ） 二.单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码 填在题干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 1.下列结论正确的是（ ） A：函数的极大值一定大于极小值 B：函数的极值点一定是驻点 C：函数的极值点一定在区间内 D：函数的极值点一定唯一 2. 能直接使用洛必达法则求极限的是（ ） A： tan lim n n →+∞ n . B： 0 ln( 1) lim x x → x + C： sin lim x x →∞ x D： 1 lim 2x x→+∞ 3.下列结论不正确的是（ ） A：函数的最大值一定大于最小值 B：函数的最值点可能不是极值点 C：若函数的最大值在区间内取得，则函数的最大值点一定是极值点 D：函数的最值可能在驻点、导数不存在的点及区间端点处取得 4. 关于函数 2 ln(1 ), 0 ( ) , 0 x x f x x x ⎧ + > = ⎨⎩ ≤ ，则下列说法错误的是（ ） A： f ( ) x 在 x = 0 不可导 B： f ( ) x 在定义域内单调递减 C：(0, 0) 为曲线 y = f x( ) 的拐点 D： x = 0 为极小值点
南阳师范学院一数学与统计学院 5.设函数f(x)在[a,b】上连续，在(a,b)内二阶可导，则下列结论不正确的是() 6-2习 何产 A:若在(a,b)内f(x)0时产0时，e>1+x(5分) 5.若f(x)-g()=0,则f八x)-gx= &着e,则四 7.fx)=x+cosx在0,2小上单调递 四.计算题（共32分） 1.用洛必达法则求下列极限（每小题4分，共24分） w (④安 第2页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 5.设函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在 (,) a b 内二阶可导，则下列结论不正确的是（ ） A：若在 (,) a b 内 f x ′′() 0 0 时， ln(1 ) 1 x x x x 0 时， 1 x e x > + .（5 分）
南阳师范学院一数学与统计学院 《高等数学》第三章—中值定理与导数的应用 自测题(B) 二。单项选择题（在每小逦的备选答案中速出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题 干上的括号内.每小题2分，共10分) 题号 五总分 得分 1.下列结论正确的是() A:函数的极小值一定小于极大值B:函数的驻点一定是极值点 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划，错误的划×.每小题2分，共20分） 1.存在这样的函数，不满足罗尔定理的条件，但满足其结论. () C:函数的极值点一定在区间内 D:函数的最大值一定是极大值， m宁0在-4上满起拉格朗日中值定理的条件.《) 2.在下列函数中，在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件但不满足罗尔中 2.fx)= 0 x=0 值定理条件的是() x'sin! 3.可以使用洛必达法则求极限m一工 x≠ () A:f(x)= ,xe[-1,l] 0 x=0 至少存在-个ea,.使-)点-气}度立《) B:f(x)=maxfl,x),xe[-1,1] 5.x-2x3+x之-1按(x-)的乘幂展开后(x-1的系数是1. () C:f(x)= r'sinI x20 x∈[-l 6.若函数(x)在驻点左右邻域内的一阶导数同号，则点无一定不是 0x=0 函数的极值点 () D:fm)=e-可，x∈[L2 3.设函数fx)=(x2+x-2)cosx,则方程f(x)=0在(-2,2)内根的个数 7.曲线y=(x-)没有拐点 () 是() 8.闭区间[a,b)上连续函数的最值可能在不可导点处取得， () A:至少3个B:至多1个C:2个D:至少4个 9.若f'(x)=f"(6)=0,则x。一定不是函数f(x)的极值点. () 10.若函数∫(x)在定义区间上连续，除去有限个点外导数处处存在，则 4.已知函数f), ln(1+x,x>0 ,则下列说法错误的是() x50 fx)单调区间的分界点一定是驻点 A:fx)在x=0不可导 B:f(x)在定义城内单调递减 () C:(0,0)为曲线y=fx)的拐点 D:x=0为极小值点 第1页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 2 页 《高等数学》第三章-——中值定理与导数的应用 自测题（B） 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 20 分） 1. 存在这样的函数，不满足罗尔定理的条件，但满足其结论. （ ） 2. 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 在[ 1,1] − 上满足拉格朗日中值定理的条件. （ ） 3. 可以使用洛必达法则求极限 2 0 1 sin lim x x x → x . （） 4. 至少存在一个ξ ∈(,) a b ，使得( ) 1 1 ln 1 1 b a b ee e a ξ ξ ⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 成立. （ ） 5. 4 32 x xx − +− 2 1按( 1) x − 的乘幂展开后 3 ( 1) x − 的系数是 1. （ ） 6. 若函数 f ( ) x 在驻点 0 x 左右邻域内的一阶导数同号，则点 0 x 一定不是 函数的极值点. （ ） 7. 曲线 1 3 y x = − ( 1) 没有拐点. （ ） 8. 闭区间[,] a b 上连续函数的最值可能在不可导点处取得. （ ） 9. 若 0 0 fx f x ′ ′′ () () 0 = = ，则 0 x 一定不是函数 f ( ) x 的极值点. （ ） 10. 若函数 f ( ) x 在定义区间上连续，除去有限个点外导数处处存在，则 f ( ) x 单调区间的分界点一定是驻点. （ ） 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题 干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 1. 下列结论正确的是（ ） A：函数的极小值一定小于极大值 B：函数的驻点一定是极值点. C：函数的极值点一定在区间内 D：函数的最大值一定是极大值. 2. 在下列函数中，在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件但不满足罗尔中 值定理条件的是（ ） A： 2 1 1 sin 0 ( ) , [ 1,1] 0 0 x fx x x x ⎧⎪ + ≠ = ∈− ⎨⎪⎩ = B： fx x x ( ) max{1, }, [ 1,1] = ∈ − C： [ ] 4 4 1 sin 0 ( ) , 1,1 0 0 x x fx x x x ⎧⎪ ≠ = ∈− ⎨⎪⎩ = D： [ ] 3 ( ) 1, 1, 2 x fx e x x = −∈ 3. 设函数 2 f ( ) ( 2) cos x xx x = +− ，则方程 f x ′() 0 = 在( 2, 2) − 内根的个数 是（ ） A：至少 3 个 B：至多 1 个 C：2 个 D：至少 4 个 4. 已知函数 2 ln(1 ), 0 ( ) , 0 x x f x x x ⎧ + > = ⎨⎩ ≤ ，则下列说法错误的是（ ） A： f ( ) x 在 x = 0 不可导 B： f ( ) x 在定义域内单调递减 C：(0, 0) 为曲线 y = f x( ) 的拐点 D： x = 0 为极小值点
南阳师范学院一数学与统计学院 5.设函数f(x)在0，]上f(x)0)的单调区间为 5.曲线y-+型的水平渐近线为 1.证明方程x+x-1=0只有一个正根. (4分) e 6.设>0常数，函数fx)=nx-工+k在(0，+切)内零点的个数为】 2设a>b>0,证明：行<h号<片之 (6分) a 3.证明：当0<x<号时，二x<sinx<r (6分) 7.若rx)-g)=0(xe0,则fx)-g)= 四.计算题（共40分） 1.用洛必达法则求下列极限：（每小题3分，共18分） 品器 a ④ 第2页共2页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 2 页 5. 设函数 f ( ) x 在[0,1]上 f x ′′() 0 的单调区间为 . 5. 曲线 ln(1 ) x x y e+ = 的水平渐近线为 . 6. 设k > 0常数，函数 ( ) ln x f xx k e = −+ 在(0, ) +∞ 内零点的个数为 . 7. 若 f ′ ′ ( ) ( ) 0( ) x gx x I − ≡∈ ，则 f () () x gx − = . 四．计算题（共 40 分） 1.用洛必达法则求下列极限：（每小题 3 分，共 18 分） （1） 2 tan lim x tan 3 x x π → （2） 2 2 2 0 1 lim sin 2 x x e x → x − − （3） 0 1 1 lim x→ x 1 x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ln( ) + （4） tan 0 1 lim x x x → + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （5） 1 0 lim(1 sin ) . x x x → + （6） 1 l n 0 lim (cot ) . x x x 求 → + 2.用泰勒公式求下列极限：（每小题 5 分，共 10 分） （1） 3 0 sin (1 ) lim x x e xx x → x− + （2） 2 4 0 2cos 3 lim x x e x → x + − . 3. 设函数 3 2 f ( ) ( 1) xx x = − （1）求 f ( ) x 的极值点及极值.（4 分） （2）求 f ( ) x 在[ 1,1] − 上的最值点及最值 （2 分） 4. 试决定 2 2 y kx = ( 3) − 中 k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. （6 分） 五．证明题（共 16 分） 1. 证明方程 5 x x + − =1 0 只有一个正根. （4 分） 2. 设a b > > 0 ，证明： ln ab a ab a bb − − < < （6 分） 3. 证明：当0 2 x π < < 时， 2 x sin x x π < < （6 分）
