南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第一章 函数与极限

第一章函数与极限 作者杨永举 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

第一章 函数与极限 作者 杨永举 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

第一节 映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数

第一节 映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数

一、集合 集合的表示法： 列举法：将集合中的全体元素一一列举出来 例：有限集合A={a1,a2,…,an} 描述法：M={xx具有性质P) 例：整数集合Z={xx∈N或-xeN+) 有理数集0-{pe7,9eNtp与g互质} 评注：无限集合常用描述法表示 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

列举法： 评注：无限集合常用描述法表示 例: 有限集合 A   21  ,,, aaa n  描述法：   xM x具有性质P  例: 整数集合 Z   x xN或 x  N   有理数集 qp  Q  ,N,Z  qp  p 与 q 互质 集合的表示法： 集合的表示法： 将集合中的全体元素一一列举出来 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、集合

(二)集合的运算 1、基本运算： ·并集：AUB。 ·交集：A∩B ·差集：AB, ·补集：A9 ·直积A×B={(x,y)川x∈A,y∈B} 特例：RxR记-R为平面上的全体点集 注意：对R从符号，集合，几何三个角度方面理解 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

1、基本运算： • 并集：A∪B。 • 交集：A∩B。 • 差集：A\B, • 补集： • 直积    yxBA ),( xA, yB  特例: RR 记 2 R 为平面上的全体点集 （二）集合的运算 （二）集合的运算 C A 注意：对 从符号，集合，几何三个角度方面理解 2 R 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

3.区间与邻域 区间的概念： (1)开区间：设a和b都是实数，且a<b,数集 a<x<bj 称为开区间，记作(a,b) (a,b)={a<x<b} (2)闭区间：设a和b都是实数，且a<b,数集 有限区间 {xla≤x≤b} 称为闭区间，记作[a,b] [a,b]={xa≤x≤b} (3)半开区间： [a,b)={la≤x<b} (a,b]={xa<x≤b}

区间的概念: (1)开区间:设 a 和 b都是实数,且 a < b,数集 3. 区间与 邻域 称为开区间,记作 (a ,b ) )(   bxaxba,  (2)闭区间: 设 a 和 b都是实数,且 a < b,数集 称为闭区间,记作 [a ,b ]   bxax    bxax  ][   bxaxba,  (3)半开区间: 有限区间 )[   bxaxba,  ](   bxaxba, 

(4)无限区间： (-o,o)={x∈R} [a,o)={xa≤x} (a.)-a<x) (-o,b)={x<b} (-o,b]={x≤b} 注意1：全体实数的集合R=(-∞，+o),其中-∞，+∞只是表示无限性的一种 记号，它们不是某个确定的数，不能像数一样进行运算 注意2：实数区间仅有上述9种类型 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

)(   Rxx,  (4)无限区间: )[   xaxa,  )(   xaxa,  )(   bxxb,  ](   bxxb,  注意 1：全体实数的集合R  (,)   ，其中  , 只是表示无限性的一种 记号，它们不是某个确定的数，不能像数一样进行运算 注意 2：实数区间仅有上述 9 种类型 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

邻域的概念 设是任一正数，则开区间(-6，+6)称为，点a的 邻域。 U(a,6)={xa-8<x<a+8} ={xx-a8} 去心6邻域 U(a,6)={x0<x-a<6} 其中，a称为邻域中心，6称为邻域半径 左δ邻域：(a-6,a), af 8 aa o 右6邻域：(a,a+δ). 注意：U(a,6)=(a-δ，a+δ)， U(a,δ)=(a-6,a)U(a,a+6)

 ),(U    xa  邻域的概念   ),(   xa a    x  a      x  ax    0   ax   其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . 去心  邻域 左  邻域 :   aa ,),( 右  邻域 : aa   .),( )( a   a a   设 是任一正数，则开区间（a- ，a + ）称为点 a 的 邻域。 ) ( , ), ) ( ,) (, ) a a a a aa             注 意 ： U(a, U(a

二、映射 (一)映射的概念 定义 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使 得对X中的每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确 定的元素y与之对应，则称∫为从X到Y的映射。 记作 f:X→Y 元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x) 元素x称为元素y在映射f下的原像 集合X称为映射f的定义域； Y的子集f(X)={f(x)x∈X}称为f的值域 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

二、映射 （一）映射的概念 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使 得对X中的每个元素x，按法则 f ,在Y中有唯一确 定的元素y与之对应，则称 f 为从X到Y的映射。 记作 定义：  YXf .: 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作  xfy ).( 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f X )(   )(  Xxxf  称为 f 的 值域 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

注意： 1、构成映射必备的三要素： ①定义域 ②值域（值域由定义域和对应法则确定） ③对应法则是对每个xEX,有唯一确定的 y=x)与之对应。 2、元素x的像y是唯一的，但y的原像不 一定唯一 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

1、构成映射必备的三要素： 2、 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不 一定唯一 . ③ 对应法则f是对每个x∈X，有唯一确定的 y=f(x)与之对应。 ② 值域（值域由定义域和对应法则确定） ① 定义域 注意： 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

满射：对映射f:X→Y若fX)=Y,则称f为满射： 单射：若廿x1,x2∈X,x1≠x2,有f(x1)≠f(x2) 则称f为单射； 双射：若f既是满射又是单射， 则称f为双射或一一映射 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

对映射 f : X Y 若 f X)( Y, 则称 f 为满射; 若 ,,, 21 21  xx  X  xx 有 )()( 1 2 f x  f x 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 满射： 单射： 双射： 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件