第四节对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例设曲面形构件具有连续面密度P(x,y,),求质 量M. 类似求平面薄板质量的思想，采用 (5k,7k,5k) “分割，近似代替，求和，取极限” 的方法，可得 M=1im∑p(5,7k,5k)△S 1→0k=1 其中，几表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两，点间距离的最大者）
O x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例 设曲面形构件具有连续面密度 ρ (x, y,z), 类似求平面薄板质量的思想, 采用 k k k k ρ (ξ ,η ,ζ )ΔS 可得 ∑ = n k 1 0 lim λ→ M = ( , , ) ξ k ηk ζ k 求质 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 的方法, Σ 量 M. 其中, λ 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)
定义设∑为光滑曲面，f化y,)是定义在∑上的一 个有界函数，若对∑做任意分割和局部区域任意取点， “乘积和式的极限” ∑f5,,5AS记作 J∬fcx,y,2ds k=1 都存在，则称此极限为函数f化，”，)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f化，y,z)叫做被积 函数，∑叫做积分曲面 曲面形构件的质量为M=厂p(x)ds 曲面的面积为S=小as
定义 设 ∑ 为光滑曲面, “乘积和式的极限” k k k Sk ∑ f (ξ ,η ,ζ )Δ = n k 1 0 lim λ→ 都存在, 的曲面积分 ∫∫ Σ f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对∑ 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 函数, ∑ 叫做积分曲面. M ρ( , , )d xyz S Σ = 曲面形构件的质量为 ∫∫ 曲面∑的面积为 S S d Σ = ∫∫
·积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续， 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若∑是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面，∑2，则有 rs-sro.ds 对面积的曲面积分与对孤长的曲线积分性质类似
• 对积分域的可加性. , , Σ1 Σ 2 则有 1 2 f ( , , )d ( , , )d ( , , )d xyz S f xyz S f xyz S Σ ΣΣ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 若∑ 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 则对面积的曲面积分存在. • 积分的存在性. 若 f (x, y,z)在光滑曲面∑ 上连续
二、对面积的曲面积分的计算法 定理设有光滑曲面 卫：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy ∫化，乃)在∑上连续，则曲面积分 ∬fc八)ds存在，且有 .ds ∬fx1+x+,2x,ad 2==(x,y) dS=1+z2(x.y)+=,2(x,y)dxdy
O x y z 定理 设有光滑曲面 Dxy Σ : z = z(x, y), (x, y)∈ f (x, y, z) 在 ∑ 上连续, 存在, 且有 (, , ) Dx y = f xy ∫∫ z x y z x y x y x y 1 ( , ) ( , )d d 2 2 + + 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 Dxy Σ f xyz S ( , , )d Σ ∫∫ f ( , , )d xyz S Σ ∫∫ z(, ) x y z = zxy (, ) 2 2 1 ( , ) ( , )d d x y dS z x y z x y x y =+ +
说明 如果曲面方程为 x=x(y,z),(y,2)∈D2 或y=y(x,2),(x,)∈Dx 可有类似的公式
说明 Dyz x = x( y,z), ( y,z)∈ Dxz 或 y = y(x,z), (x,z)∈ 可有类似的公式. 如果曲面方程为
例1.计算曲面积分 其中∑是球面x2+y2+z2 =a被平面z=h(0<h<a截出的顶部. 解：z=Va2-x2-y2,(x,y)eDy Dwx2+y2≤a2-h2 4+ a s-川 -aag-2a h
Dxy 例1. 计算曲面积分 d , Sz Σ ∫∫ 其中∑ 是球面 2 2 2 x + y + z 被平面 z = h (0 < h < a) 截出的顶部. 解 Dxy : z = a − x − y , (x, y)∈ 2 2 2 Σ 2 2 2 2 D : x y a h xy + ≤ − 2 2 1 x y + z + z 2 2 2 a x y a − − = ∫ = 2 π 0 a dθ ha = 2 π a ln 222 d d Dx y a xy axy = ∫∫ − − ∫ − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r 2 = a Σ x z y h a O d S z Σ ∫∫
练习 若∑是球面x2+y2+z2=a2被平行平面z=±h截 出的上下两部分，则 s-(。) 0暗-(4a号)
练习 若 ∑ 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, d ( ) S z Σ = ∫∫ d ( ) S z Σ = ∫∫ 0 4 π ln a a h 则 Σ h − h x z y Σ O
例2.计算 xyzdS,其中∑是由平面x+y+z=1与 坐标面所围成的四面体的表面. 解设1,2,3,24分别表示∑在平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1上的部分，则 原支-（∬-s 24 1-xyeD,P6经 3rd。0-x-ndv-620
例2. 计算 xyz S d , Σ ∫∫ 其中 ∑ 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解 设 上的部分, 则 1 2 3 4 Σ , Σ , Σ , Σ ⎜ ⎝ ⎛ 4 x yz S d Σ = ∫∫ : 1 , 4 Σ z = − x − y ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ − ∈ 0 1 0 1 ( , ) : x y x x y D x y ∫ − − − x y x y y 1 0 ( 1 ) d 120 3 = x + y + z = 1 与 x = 0, y = 0,z = 0, ∫ = 1 0 3 x d x x + y + z = 1 ΣΣΣΣ 1234 +++ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⎟ x y z d S ⎠ 原式 ⎞ = 分别表示 ∑ 在平面 z y x 1 1 1 O
P2462.∑：x2+y2+z2=a2(z≥0)，，为2在第一卦 限中的部分，则有(C).(2000考研) a∬as-as®)jus-as ass()dS--us
P246 2. : ( 0), 2 2 2 2 Σ x + y + z = a z ≥ Σ1为Σ在第一卦 限中的部分, 则有( ). 1 () d 4 d A xS xS Σ Σ = ∫∫ ∫∫ 1 () d 4 d B yS xS Σ Σ = ∫∫ ∫∫ 1 () d 4 d C zS xS Σ Σ = ∫∫ ∫∫ 1 () d 4 d D xy z S x y z S Σ Σ = ∫∫ ∫∫ C ( 2000 考研 )