第七节 常系数齐次线性微分方程 一.二阶常系数齐次线性方程定义 二.二阶常系数齐次线性方程解法
1 一.二阶常系数齐次线性方程定义 二.二阶常系数齐次线性方程解法 第七节 常系数齐次线性微分方程
一、定义 y"+@y'+@'=0 二阶常系数齐次线性方程 y"+py'+qy=f(x) 二阶常系数非齐次线性方程 2
2 y py qy 0 方程 y py qy f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 二阶常系数 齐次线性 一、定义
二、二阶常系数齐次线性方程解法 父”+py'+=0二阶常系数齐次线性方程 设解y=e"其中r为待定常数.将其代入方程，得 (r2+pr+q)ex=0ex≠0， 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根 2=p±VD2-4 2
3 rx y e 将其代入方程, ( )e 0 2 rx r pr q e 0, rx 故有 0 2 r pr q 2 4 2 1,2 p p q r 特征根 y py qy 0 二阶 设解 得 特征方程 常系数齐次线性方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中r为待定常数
设解y=e其中r为待定常数， 特征根的不同情况决定了方程 y”+py+y=0的通解的不同形式. r2+pr+q=0 特征方程 ※有两个不相等的实根（△>0） 5=+g,=-p-4 2 两个线性无关的特解 y1=enx,v2 =cax, 当 ≠常数 得齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x. 4
4 ※ , 2 4 2 1 p p q r , 2 4 2 2 p p q r e , 1 1 r x y e , 2 2 r x y 两个 特解 y ( 0) y py qy 0 的通解的不同形式. 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 0 2 r pr q 特征方程 r1x e C2e . r2x C1 2 1 y y 常数 线性无关的 得齐次方程的通解为 rx 设解 y e 其中r为待定常数
设解y=e其中r为待定常数， ※有两个相等的实根（△=0） =3=一 特解为》=e, 一 2≠常数 2 yi 设y2=(x)e,其中u(X)为待定函数. 将y2,2,y%代入到y”+y'+⑩y=0.化简得 W"+(2r+pW'+(2+pr+w=0, =0 =0 知W”=0,取u(x)=x,则y2=xenx, 得齐次方程的通解为y=Cex+C2xex =(C1+C2x)eax. 5
5 ※有两个相等的实根 e , 1 1 r x , y 2 1 2 p r r ( 0) 一特解为 ( )e . 1 1 2 r x C C x 将 y2 , y2 , y2 代入到 (2 ) ( ) 0, 1 2 u r1 p u r1 pr q u u 0, u(x) x, e , 1 2 r x y x y2 常数 1 2 y y y py qy 0. 化简得 0 0 设 u(x)e , 1 r x 知 取 则 y r1x e r x x 1 e 得齐次方程的通解为 C1 C2 rx 设解 y e 其中r为待定常数. 其中u(x)为待定函数
设解y=e用欧拉(Euer)公式： ※有一对共轭复根 (A<0eix cosx+isinx =a+i邛，Jy1=e=ea+0x=e“(cos+isin) h=a-i邛，2=e2=ea-Br=e(cos-isin) y1,y2为方程y”+y+心=0的两个线性无关的解. 为了得到实数形式的解， 新 乃=20+乃)=ccos 1 1≠常数 合 2=:(Y1-y2)=ecA sin Bx 2i 得齐次方程的通解为y=e“(C1c0s+C2sin). 6
6 ※有一对共轭复根 , r1 i , r2 i ( i ) x e r x y 2 e 2 ( 0) ( ) 2 1 1 1 2 y y y x x e cos ( ) 2 1 2 1 2 y y i y x x e sin e ( cos sin ). 1 2 y C x C x x y1 , y2为方程y py qy 0 为了得到实数形式的解, 重 新 组 合 的两个线性无关的解. rx y e 其中r为待定常数. r x y 1 e 1 ( i ) x e 用欧拉(Euler)公式: x i x ix e cos sin 设解 e (cos x isin x) x e (cos x isin x) x 2 1 y y 常数 得齐次方程的通解为
二阶常系数齐次线性方程Jy”+p少y+心=0 求通解的步骤： (1)写出相应的特征方程r2+pr+q=0 (2)求出特征根 (③)根据特征根的不同情况，得到相应的通解 特征根的情况 通解的表达式 实根≠2 y=Cenx+Ce 实根=2 y=(C]+C2x)ex 复根1,2=ax±邛 y=ec (C]cos Bx+C2 sin Bx)
7 (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征根 二阶常系数齐次线性方程 0 2 r pr q y py qy 0 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r r r x r x y C 1 C 2 e e 1 2 实根 1 2 r r r x y C C x 2 ( )e 1 2 复根 e ( cos sin ) 1 2 y C x C x x 求通解的步骤: (3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解 r1,2 i
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法， 例1求方程y”+4y'+4y=0的通解 解特征方程r2+4r+4=0 特征根 1=3=-2 故所求通解为 y=(C1+C2x)e-2x. 8
8 称为 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程 4 4 0 2 r r 2 r1 r2 故所求通解为 y 例1 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 特征方程法. 特征根 ( )e . 2 1 2 x C C x
例2求方程y”+2y'+5y=0的通解 解特征方程2+2r+5=0 特征根 1,2=-1±2i 故所求通解为 y=e *(C cos2x+C2sin2x). r=a+iB,n=a-iB, 得齐次方程的通解为 y=ea (C cos Bx+C2 sin Bx) 9
9 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程 2 5 0 2 r r 故所求通解为 y 例2 特征根 e ( cos2 sin2 ). C1 x C2 x x , r1 i , r2 i e ( cos sin ) 1 2 y C x C x x 得齐次方程的通解为 r 1 2i 1，2
16y"-24y'+9y=0, 例3解初值问题 5川=4yL=2 解特征方程 16r2-24r+9=0 3 特征根r= （二重根) 所以方程的通解为=(C,+C,)e0 C=4广(4+CxNe) →z=3+c+20 3 →C,=-1特解y=(4-. 10
10 y 例3 解初值问题 4, 2. 16 24 9 0, x 0 x 0 y y y y y 解 特征方程 16 24 9 0 2 r r 特征根 4 3 r 所以方程的通解为 C1 4 x y C x 4 3 2 (4 )e x y C C x 4 3 2 2 e 4 3 3 4 (二重根) 0 0 C2 1 特解 (4 )e . 4 3 x y x 0 0 2 x C C x 4 3 1 2 ( )e